Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối Chương II có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ , do đó M(3; 4; 2). 

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{NM}=\left(1-3;-2-4;3-\left(-5\right)\right)=\left(-2;-6;8\right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có  $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$= (3 + 5; – 4 + 7; 5 + (– 1)).

Do đó, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ = (8; 3; 4).

Đáp án đúng là: B

Ta có  $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$= (1 – 5; – 2 – 4; 3 – (– 1)).

Do đó, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ = (– 4; – 6; 4).

Đáp án đúng là: C

Ta có $-3\overrightarrow{u}$ = (– 3 ∙ 1 ; – 3 ∙ (– 1); – 3 ∙ 3) = (– 3; 3; – 9).

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}=3$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có $IK=\left|\overrightarrow{IK}\right|=\sqrt{{\left(6-1\right)}^2+{\left(4-4\right)}^2+{\left(5-\left(-7\right)\right)}^2}=13$ . 

Đáp án đúng là: D

Gọi tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là (x; y; z).

Ta có $x=\frac{1+3}{2}=2;y=\frac{-2+4}{2}=1;z=\frac{3+\left(-5\right)}{2}=-1$ .

Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là (2; 1; – 1).

Đáp án đúng là: A

Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là (x; y; z).

Ta có $x=\frac{0+\left(-1\right)+1}{3}=0;y=\frac{2+\left(-2\right)+3}{3}=1;z=\frac{1+3+2}{3}=2$ .

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là (0; 1; 2).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA' và CC' nên MN // AC, MN = AC.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right)=\widehat{CA{D}^{\text{'}}}$.

Ta tính được $A{D}^{\text{'}}=AC=C{D}^{\text{'}}=a\sqrt{2}$ nên tam giác ACD' là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{CA{D}^{\text{'}}}=60°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right)=60°$ .

a) Ta có điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên cao độ của điểm C bằng 0.

Lại có CB ⊥ Ox tại B nên hoành độ của điểm C là 1, CD ⊥ Oy tại D nên tung độ của điểm C là 1. Vậy C(1; 1; 0).

Tương tự như vậy, ta xác định được B'(1; 0; 1) và D'(0; 1; 1).

Ta có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right),\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;1;0\right)$

Áp dụng quy tắc hình hộp trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' ta có

$\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\left(0+1+0;0+0+1;1+0+0\right)=\left(1;1;1\right)$.

Do đó, $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(1;1;1\right)$, suy ra C'(1; 1; 1).

b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BD là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{0+1+0}{3}=\frac{1}{3};y_G=\frac{0+0+1}{3}=\frac{1}{3};z_G=\frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}$.

Vậy $G\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$ .

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4;8\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-3;2;3\right)$ .

Suy ra  $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4;8\right)\ne k\overrightarrow{AC}=\left(-3k;2k;3k\right)$với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ  $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm D là (x_D; y_D; z_D). Ta có  $\overrightarrow{DC}$= (– 1 – x_D; 2 – y_D; – z_D).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\iff \left\{\begin{array}{l}-1-x_D=-2\\ 2-y_D=-4\\ -z_D=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=1\\ y_D=6\\ z_D=-8\end{array}\right.$.

Vậy D(1; 6; – 8).

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{2+0+\left(-1\right)}{3}=\frac{1}{3};y_G=\frac{0+\left(-4\right)+2}{3}=\frac{-2}{3};z_G=\frac{-3+5+0}{3}=\frac{2}{3}$ .

Vậy $G\left(\frac{1}{3};\frac{-2}{3};\frac{2}{3}\right)$.

d) Ta có $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2+8^2}=2\sqrt{21}$;

          $AC=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2+3^2}=\sqrt{22}$;

$BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{\left(-1-0\right)}^2+{\left(2-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(0-5\right)}^2}=\sqrt{62}$.

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}$.