20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = a\sqrt 2 \).
\(\left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = a\sqrt 3 \).
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \).
Đáp án đúng: C
Vì \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \) nên \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = 2\overrightarrow {AC} \).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho \(OM = \frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(3\overrightarrow {IM} = \overrightarrow {OI} \).
\(\overrightarrow {MO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IM} \).
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MO} \).
Đáp án đúng: B
\(OM = \frac{1}{2}MI\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IM} \).
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng \(2\sqrt 3 \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} \).
\(\sqrt 3 \).
\(\sqrt 2 \).
\(2\sqrt 6 \).
\(2\sqrt 2 \).
Đáp án đúng: C
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {CA} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\sqrt 3 .\sqrt 2 = 2\sqrt 6 \).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm B(3; 7; 5) và K(−1; −5; −7). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {BK} \) là
(−1; −12; −12).
(4; 12; 12).
(−4; −10; −12).
(−4; −12; −12).
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {BK} = \left( { - 4; - 12; - 12} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD có B(3; 0; 8) và D(−5; −4; 0). Độ dài cạnh của hình vuông đã cho bằng
\(5\sqrt 2 \).
\(6\sqrt 2 \).
6.
12.
Đáp án đúng: B
Cạnh của hình vuông có độ dài là \(\frac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 5 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 8} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 \).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0), B(2; −1; 3). Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy để tam giác ABC vuông tại
\(\left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\).
(0; 2; 0).
\(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\).
\(\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).
Đáp án đúng: D
Ta có C Oy nên C(0; b; 0).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;b - 1;0} \right)\).
Để tam giác ABC vuông tại A thì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow 1.\left( { - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; −1), B(1; −3; 2), C(−2; 1; 3). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \) là
(−12; −7; 11).
(−9; −11; 10).
(12; 7; −11).
(−7; −6; 7).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 5;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 1;4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 12; - 7;11} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 1; 1) và B(2; −1; 2). Tọa độ điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) là
(3; −3; 3).
(−3; −3; 3).
(3; −3; −3).
(−3; 3; 3).
Đáp án đúng: A
Gọi M(x; y; z). Có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;1 - y;1 - z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x; - 1 - y;2 - z} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 2\left( {2 - x} \right)\\1 - y = 2\left( { - 1 - y} \right)\\1 - z = 2\left( {2 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 3\\z = 3\end{array} \right.\).
Suy ra M(3; −3; 3).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0; 0; 0), B(0; 4; 0), D(2; 0; 0), S(0; 0; 4). Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SCD. Độ dài MG là
\(MG = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(MG = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(MG = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
\(MG = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng: D
M là trung điểm của SB nên M(0; 2; 2).
Gọi C(x; y; z). Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {x - 2;y;z} \right)\).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y = 4\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\\z = 0\end{array} \right.\) C(2; 4; 0).
Vì G là trọng tâm của tam giác SCD nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 2 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\\{z_G} = \frac{{4 + 0 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
Do đó \(MG = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1;0} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - 2} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\( - \frac{2}{{25}}\).
\( - \frac{2}{5}\).
\(\frac{2}{{25}}\).
\(\frac{2}{5}\).
Đáp án đúng: B
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \frac{{ - 2 + 0 + 0}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = - \frac{2}{5}\).
Trong khônggian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0;3;0} \right)\).
(a) Độ dài vectơ \(\overrightarrow a \) bằng 3.
(b) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) là \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 5\).
(c) Tích có hướng của vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {6;0; - 4} \right)\).
(d) Vectơ \(\overrightarrow c = \left( {3;2; - 2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)\).
a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).
b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.0 + 1.3 + \left( { - 2} \right).0 = 3\).
c) \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&3\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0;6} \right)\).
d) Có \(\overrightarrow c .\overrightarrow a = 3.2 + 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 12 \ne 0\).
Do đó vectơ \(\overrightarrow c \) không vuông góc với \(\overrightarrow a \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a.
(a) Số vectơ bằng \(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho là 5.
(b) \(\left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {B'B} } \right| = a\sqrt 3 \).
(c)\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AC'} \).
(d)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC'} = {a^2}\).
a) Có 3 vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {DC} \).
b) \(\left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {B'B} } \right| = \left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'D} } \right| = \left| {\overrightarrow {D'A} } \right| = a\sqrt 2 \).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right)\)\( = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = {a^2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 1; 1), B(1; 2; 1) và C(−2; 2; 0).
(a) Số đo góc \(\widehat {BAC}\)làm tròn tới hàng phần mười theo đơn vị độ bằng 33,6°.
(b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
(c) Diện tích của tam giác ABC bằng \(\sqrt {11} \).
(d) Đường phân giác trong của góc \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh BC tại điểm D có tọa độ là (a; b; c) thì a + b + c = 3.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;1; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{4 + 1 + 0}}{{\sqrt 2 .\sqrt {18} }} = \frac{5}{6}\)\(\widehat {BAC} \approx 33,6^\circ \).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{2 + 1 - 2}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{1 + 2 + 2}}{3} = \frac{5}{3}\\{z_G} = \frac{{1 + 1 + 0}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
c) Có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{5}{6} \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\), \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 2 ;\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {18} \).
Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {18} .\frac{{\sqrt {11} }}{6} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
d) Theo tính chất đường phân giác ta có \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {18} }} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DC} = - 3\overrightarrow {DB} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - a = - 3\left( {1 - a} \right)\\2 - b = - 3\left( {2 - b} \right)\\ - c = - 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = 2\\c = \frac{3}{4}\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b + c = \frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{4} = 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
(a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).
(b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).
(c)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
(d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(60^\circ \).
![Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (a) \(\overri (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid3-1756563710.png)
a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\)
b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\),\(\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\)\( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}\)
d) \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \],\(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)
Vậy \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\]
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\]
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0\] .
Vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(90^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho S(4; 2; 2) và các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) sao cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Khi đó:
(a)\(\overrightarrow {SA} = \left( {a - 4; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SB} = \left( { - 4;b - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 4; - 2;c - 2} \right)\).
(b) a = −3; b = 6; c = −6.
(c) SA = 3, SB = SC = 6.
(d) \({V_{S.ABC}} = 108\).
a) \(\overrightarrow {SA} = \left( {a - 4; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SB} = \left( { - 4;b - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 4; - 2;c - 2} \right)\).
b) Theo đề có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) - 2\left( {b - 2} \right) + 4 = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 4 - 2\left( {c - 2} \right) = 0\\16 - 2\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c - 2} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 24\\4a + 2c = 24\\2b + 2c = 24\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 6\end{array} \right.\).
c) \(SA = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\); \(SB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 6\);
\(SC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}} = 6\).
d) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.SA.SB.SC = \frac{1}{6}.3.6.6 = 18\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết A(1; −1; 1), B(1; 0; 1), C(2; 1; 2), D'(4; 5; −5). Một vectơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b;1} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {DD'} \) và \(\overrightarrow {D'A'} \). Tính −5a + 3b.
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {BA} = \left( {0; - 1;0} \right)\).
Gọi D(x; y; z) suy ra \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 1;y;z - 1} \right)\).
Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y = 0\\z - 1 = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(\overrightarrow {DD'} = \left( {2;5; - 7} \right)\).
Mặt khác \(\overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow {CB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {DD'} ,\overrightarrow {D'A'} } \right] = \left( { - 12;9;3} \right)\).
Do \(\overrightarrow v = \left( {a;b;1} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {DD'} \) và \(\overrightarrow {D'A'} \) nên \(\overrightarrow v \) cùng phương với \(\overrightarrow u \).
Khi đó \(\overrightarrow v = \left( { - 4;3;1} \right)\).
Do đó a = −4; b = 3. Vậy −5a + 3b = −5.(−4) + 3.3 = 29.
Trả lời: 29.
Người ta treo một chiếc đèn trang trí có trọng lượng 200 N lên trần nhà bằng ba sợi dây không dãn, bằng nhau tại ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc 30° đến được giữ ở trạng thái cân bằng (tham khảo hình vẽ). Hãy tính lực căng trong mỗi sợi dậy.
Lực căng trong mỗi dây sẽ bằng nhau.
Gọi lực căng trong mỗi dây là \(\overrightarrow {{T_A}} ,\overrightarrow {{T_B}} ,\overrightarrow {{T_C}} \). Do đèn ở trạng thái cân bằng, các lực căng phải tạo ra một hợp lực bằng với trọng lượng của đèn, hướng thẳng lên trên.
Các lực căng \(\overrightarrow {{T_A}} ,\overrightarrow {{T_B}} ,\overrightarrow {{T_C}} \) đều phân tích được thành tổng hai thành phần lực thành phần ngang và thành phần đứng. Thành phần đứng của lực căng sẽ giúp cân bằng trọng lượng của đèn và thành phần ngang sẽ triệt tiêu lẫn nhau do tam giác đều đối xứng
Mỗi dây tạo với mặt phẳng trần nhà góc 30°, do đó thành phần đứng của lực căng trong mỗi dây là: \(\left| {\overrightarrow {OA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}T\).
Tổng của ba thành phần đứng của lực căng phải cân bằng với trọng lượng của đèn nên suy ra
\(3T.\frac{1}{2} = 200 \Rightarrow T = \frac{{200}}{{\frac{3}{2}}} \approx 133\) (N).
Trả lời: 133.
Trong không gian với hệ tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo mét), một con ong bay từ điểm A(2; 4; 1) với vận tốc và hướng không đổi đến điểm B(10; 12; 5) trong 5 giây. Nếu con ong tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của con ông sau 3 giây tiếp theo đạt tại vị trí điểm M(a; b; c). Tìm 5a – b – c.
Vì hướng của con ong không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BM} \) cùng hướng.
Do vận tốc của con ong không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng \(\frac{5}{3}\) thời gian bay từ B đến M nên ta có \(3\overrightarrow {AB} = 5\overrightarrow {BM} \).
Ta có \(3\overrightarrow {AB} = \left( {24;24;12} \right)\) và \(5\overrightarrow {BM} = \left( {5a - 50;5b - 60;5c - 25} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 50 = 24\\5b - 60 = 24\\5c - 25 = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{74}}{5}\\b = \frac{{84}}{5}\\c = \frac{{37}}{5}\end{array} \right.\).
Vậy 5a – b – c = 49,8.
Trả lời: 49,8.
Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian Oxyz. Biết các kích thước của mái lều là SA = 5m, AB = 10m, độ cao từ S xuống mặt đất là 4m. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều O, A, B, C đến đuôi một chiếc đền treo từ vị trí chính giữa của SQ cách SQ 30 cm. Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OA, SQ.
\(OA = 2IA = 2\sqrt {{5^2} - {4^2}} = 6\).
Gọi H là vị trí chiếc đèn, KH = 30 cm = 0,3 m. Gọi G là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật OABC, suy ra HG = 4 – 0,3 = 3,7 m.
Do đó H(3; 5; 3,7).
Ta thấy OH = AH = CH = BH nên tổng chiều dài sợi dây màu xanh tối thiểu bạn An cần mua là 4OH.
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;5;3,7} \right) \Rightarrow 4OH = 4\sqrt {{3^2} + {5^2} + {{\left( {3,7} \right)}^2}} \approx 27,6\) m.
Trả lời: 27,6.
Trong quá trình cất cánh của một máy bay không người lái: Ban đầu máy bay ở vị trí A, máy bay cách vị trí điều khiển 300m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 100m (tham khảo hình vẽ). Một phút sau, máy bay ở vị trí B cách vị trí điều khiển 1200m về phía nam và 2100m về phía đồng, đồng thời cách mặt đấy 250 m.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với vị trí điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1m. Khi đó tọa độ vectơ dịch chuyển \(\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)\) của máy bay không người lái đó. Tính a + b + c.
Từ giả thiết ta có A(300; 200; 100), B(1200; 2100; 250).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {900;1900;150} \right)\).
Suy ra a = 900; b = 1900; c = 150. Do đó a + b + c = 2950.
Trả lời: 2950.
