Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án

Lời giải:

a) Theo tài liệu nói trên, $\widehat{xOy}$  có số đo từ 100° đến 105°.

b) Vì Ox ^ a, Oy ^ a nên nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế là góc tạo bởi hai đường thẳng tương ứng chứa Ox và Oy.

Vì $100°\le \widehat{xOy}\le 105°$  nên góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa Ox và Oy có thể nhận số đo từ 75° đến 80°.

Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ 75° đến 80°.

a) Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A mà AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ^ BC.

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC, suy ra BC ^ (SAM), do đó BC ^ SM.

Vì AM ^ BC và BC ^ SM nên là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Áp dụng định lí Côsin cho tam giác ABC, có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2–2\cdot AB\cdot AC\cdot cos\widehat{BAC}=a^2+a^2–2\cdot a\cdot a\cdot cos120°$.

$=2a^2+2a^2\cdot \frac{1}{2}=3a^2\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$

Vì M là trung điểm của BC nên $BM=MC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  .

Xét tam giác AMB vuông tại M, có $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a}{2}$

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ AM.

Xét tam giác SAM vuông tại A, có: $\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SMA}=30°$ .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Gọi I, J lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến m (qua O) của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.

Vì O là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên OI vuông góc với đường kính khung cửa, OJ vuông góc với đường kính cánh cửa. Vậy OI, OJ cùng vuông góc với m. Do đó  là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh và khung cửa.

Vì m ^ OI, m ^ OJ nên m ^ (OIJ) ⇒ m ^ IJ.

Vậy IJ cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa. Do đó IJ = 40 cm.

Mặt khác OI = OJ = 80 : 2 = 40 cm, suy ra tam giác OIJ đều và $\widehat{IOJ}=60°$  .

Vậy để khoảng cách d giữa đường kính cánh cửa và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh và khung cửa có số đo là 60°.

Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.

Mặt khác, hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Do đó hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

Vì các cạnh bên vuông góc với đáy nên mặt bên cũng vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều trước hết là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên của nó là các hình chữ nhật.

Mặt khác, các cạnh đáy của lăng trụ đều bằng nhau và các cạnh bên của một lăng trụ luôn bằng nhau. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

Hình hộp đứng là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, có 4 mặt bên là các hình chữ nhật, còn hai đáy là hai hình bình hành. Do đó hình hộp đứng có ít nhất 4 mặt là hình chữ nhật, đó là các mặt bên.

a) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng nên nó có các mặt bên là các hình chữ nhật. Hơn nữa, hai đáy của hình hộp chữ nhật là hai hình chữ nhật. Do đó hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Bởi vì, cứ hai đường chéo bất kì của hình hộp chữ nhật đều xác định nằm trong một hình chữ nhật và là hai đường chéo của hình chữ nhật đó.

Hình lập phương trước hết là hình hộp chữ nhật nên các mặt đều là hình chữ nhật.

Hơn nữa, nó có tất cả các cạnh bằng nhau nên các mặt là hình vuông.

Vậy các mặt của hình lập phương là hình vuông.

Chiếc thùng có đáy và các mặt bên là các hình chữ nhật. Do đó miệng thùng cũng là hình chữ nhật (có các cạnh tương ứng song song và bằng cạnh đáy) thuộc mặt phẳng song song với đáy.

Vì các cạnh bên song song với nhau nên thùng là một hình lăng trụ. Mặt khác, mỗi cạnh bên của thùng đều vuông góc với đáy (vì nó vuông góc với hai cạnh kề của đáy). Do đó thùng là lăng trụ đứng, hơn nữa, có đáy là hình chữ nhật nên thùng có dạng hình hộp chữ nhật.

Giả sử tháp có dạng hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Theo đề có: AB = BC = CD = DA = 34 m, SA = SB = SC = SD » 32,3 m.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt đáy nên SO ^ (ABCD).

Xét tam giác SOB vuông tại O nên $OB=\sqrt{S{B}^2-S{O}^2}$ ;

Xét tam giác SOD vuông tại O nên $OD=\sqrt{S{D}^2-S{O}^2}$  ;

Xét tam giác SOA vuông tại O nên $OA=\sqrt{S{A}^2-S{O}^2}$  ;

Xét tam giác SOC vuông tại O nên $OC=\sqrt{S{C}^2-S{O}^2}$ .

Mà SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, do đó O là tâm của hình vuông.

a) Do $S.A_1{A}_2\dots A_n$  là hình chóp đều nên SA₁ = SA₂ = … = SA_n

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng $\left(A_1{A}_2\dots A_n\right)$  nên SO ^ $\left(A_1{A}_2\dots A_n\right)$ .

Xét tam giác SOA₁ vuông tại O, có $O{A}_1=\sqrt{S{A}_1^2-S{O}^2}$  ,

Xét tam giác SOA₂ vuông tại O, có $O{A}_2=\sqrt{S{A}_2^2-S{O}^2}$  ,

…..

Xét tam giác SOA_n vuông tại O, có $O{A}_n=\sqrt{S{A}_n^2-S{O}^2}$  .

Mà SA₁ = SA₂ = … = SA_n nên OA₁ = OA₂ = … = OA_n hay O là tâm đa giác đều $A_1{A}_2\dots A_n$ .

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D mà ABC là tam giác đều nên AD ^ BC.

Mà SG ^ (ABC) nên SG ^ BC.

Vì AD ^ BC và SG ^ BC nên BC ^ (SAD), suy ra BC ^ SD.

Vì AD ^ BC và BC ^ SD nên $\widehat{SDA}$  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, AD là đường cao nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $DG=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ .

Xét tam giác ABC có AD là trung tuyến nên D là trung điểm của BC, do đó $BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SBD vuông tại D có $SD=\sqrt{S{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{12}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{\sqrt{6}}$ .

Xét tam giác SGD vuông tại G có $cos\widehat{SDA}=cos\widehat{SDG}=\frac{GD}{SD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a}{\sqrt{6}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{SDG}=45°$.

Vậy số đo góc nhị diện [S, BC, A] là 45°.

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau vì:

A₁B₁ = SA₁ – SB₁; A₂B₂ = SA₂ – SB₂; …; A_nB_n = SA_n – SB_n.

Dựa vào kết quả của hoạt động 13, ta có: SA₁ = SA₂ = … = SA_n và SB₁ = SB₂ = …= SB_n nên A₁B₁ = A₂B₂ = A_nB_n.

a) Vì SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC).

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.

Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH ^ BC.

Vì SA ^ BC và AH ^ BC nên BC ^ (SAH), suy ra (SAH) ^ (SBC).

b) Vì BC ^ (SAH) nên BC ^ SH mà AH ^ BC nên $\widehat{SHA}$  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30°$ , AC = a có: $\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow AB=\frac{AC}{\tan \widehat{ABC}}=\frac{a}{\tan 30°}=a\sqrt{3}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A có: $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=1\Rightarrow \widehat{SHA}=45°$  .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 45°.

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên có các mặt là hình vuông.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$  .

Vì AA' ^ (ABCD) nên AA' ^ AC.

Xét tam giác A'AC vuông tại A, có $A^{\text{'}}C=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$  .

Vậy đường chéo của hình lập phương có độ dài là $a\sqrt{3}$  .

b) Vì AA' ^ (ABCD) nên AA' ^ BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD mà AA' ^ BD, suy ra BD ^ (ACC'A').

Vì BD ^ (ACC'A') nên (ACC'A') ^ (BDD'B').

c) Vì BD ^ (ACC'A') nên BD ^ C'O mà CO ^ BD (do AC ^ BD) nên là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [C, BD, C'].

Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra $AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  .

Xét tam giác C'CO vuông tại C, có $\tan \widehat{C^{\text{'}}OC}=\frac{C{C}^{\text{'}}}{CO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{C^{\text{'}}OC}\approx 55°$  .

Vậy số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'] khoảng 55°.

Vì AO ^ BD (do AC ^ BD), BD ^ C'O nên $\widehat{AO{C}^{\text{'}}}$  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BD,C'].

Vì $\widehat{AO{C}^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}OC}=180°$  nên $\widehat{AO{C}^{\text{'}}}=180°-\widehat{C^{\text{'}}OC}\approx 180°-55°=125°$  .

Vậy số đo góc nhị diện [A, BD,C'] khoảng 125°.

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên BB' ^ (ABCD).

Suy ra (BDD'B') ^ (ABCD).

b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên CC' ^ (ABCD), suy ra C là hình chiếu của C' trên mặt phẳng (ABCD).

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABCD). Do đó AC là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).

c) Vì ABCD là hình chữ nhật nên $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+b^2$  .

Vì CC' ^ (ABCD) nên CC' ^ AC.

Xét tam giác C'CA vuông tại C, có $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{A{C}^2+C{C^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$  .

Vậy $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$  .

a) Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC đều nên G là tâm của tam giác ABC hay G là trọng tâm đồng thời G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi a là góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC).

Vì SG ^ (ABC) nên GA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AG. Mà (SA, AG) =  $\widehat{SAG}=\alpha$.

Kẻ AG cắt BC tại D, khi đó D là trung điểm của BC, AD ^ BC.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

giác SGA vuông tại G, có $SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$ .

$\sin \widehat{SAG}=\frac{SG}{SA}=\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}{b}=\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3b^2}}=\sqrt{1-\frac{a^2}{3b^2}}$.

Vậy sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng $\sqrt{1-\frac{a^2}{3b^2}}$ .

b) Gọi b là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Vì SG ^ (ABC) nên SG ^ BC mà AD ^ BC nên BC ^ (SAD), suy ra BC ^ SD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD, mà (AD, SD) = $\widehat{SDA}=\beta$  .

Vì $GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  .

Xét tam giác SGD vuông tại G, có

$\tan \widehat{SDG}=\frac{SG}{GD}=\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\sqrt{\frac{36\left(3b^2-a^2\right)}{9a^2}}=\sqrt{\frac{4\left(3b^2-a^2\right)}{a^2}}=\frac{2\sqrt{3b^2-a^2}}{a}$.

a) Vì hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OB, mà (OA, OB) = $\widehat{AOB}$ .

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAB, ta có:

$cos\widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\frac{2,8^2+4^2-4,8^2}{2\cdot 2,8\cdot 4}=\frac{1}{28}\Rightarrow \widehat{AOB}\approx 88°$.

Vậy số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà khoảng 88°.

b) Vì đường giao giữa hai mái nhà vuông góc với OA và OB nên đường giao giữa hai mái nhà vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Mà đường giao giữa hai mái nhà song song với mặt đất nên mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng.

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua B và song song với mặt đất với đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt đất.

Khi đó góc giữa mái nhà chứa OB và mặt đất là góc OBH.

Xét tam giác AHB vuông tại H, có: $\sin \widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}=\frac{0,5}{4,8}=\frac{5}{48}\Rightarrow \widehat{ABH}\approx 6°$  .

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAB có:

$cos\widehat{OBA}=\frac{O{B}^2+A{B}^2-O{A}^2}{2\cdot OB\cdot AB}=\frac{4^2+4,8^2-2,8^2}{2\cdot 4\cdot 4,8}=\frac{13}{16}\Rightarrow \widehat{OBA}\approx 36°$.

Do đó $\widehat{OBH}=\widehat{OBA}+\widehat{ABH}\approx 36°+6°=42°$  .

Vậy góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất khoảng 42°.

Gọi a là góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang.

Vì độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$  nên $\tan \alpha \le \frac{1}{12}\Rightarrow \alpha \le 4,76°$ .

Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá 4,76°.