Giải SGK Toán 11 CTST Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Sau khi học xong bài học này, chúng ta sẽ nhận biết được đồ thị hình sin và hình ảnh mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ chính là một ví dụ điển hình.

Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:

- Tung độ của điểm M là sint.

- Hoành độ của điểm M là cost.

Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) Nếu $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì  $\tan t=\frac{\sin t}{\text{cos}t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

Nếu  $t\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì  $\cot t=\frac{\text{cos}t}{\sin t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ

Tại x = 1 thì y = 1² = 1, x = – 1 thì y = (– 1)² = 1.

Tại x = 2 thì y = 2² = 4, x = – 2 thì y = (– 2)² = 4.

Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì

Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.

Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Với số thực T = 2π thì sin(x + 2π) = sinx.

Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;

cot(x + π) = cotx với mọi  $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.

Với $x=-\pi$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\pi \right)=-\sin \pi =0$. Ta có điểm A’(–π; 0).

Với  $x=-\frac{5\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $B\text{'}\left(-\frac{5\pi }{6};-\frac{1}{2}\right)$.

Với  $x=-\frac{2\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $C\text{'}\left(-\frac{2\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=-\frac{\pi }{2}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Ta có điểm  $D\text{'}\left(-\frac{\pi }{2};-1\right)$.

Với  $x=-\frac{\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $E\text{'}\left(-\frac{\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=-\frac{\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $F\text{'}\left(-\frac{\pi }{6};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=0$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in0}=0$. Ta có điểm O(0; 0).

Với  $x=\frac{\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $F\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=\frac{\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $E\left(\frac{\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=\frac{\pi }{2}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Ta có điểm  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.

Với  $x=\frac{2\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $C\left(\frac{2\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=\frac{5\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $B\left(\frac{5\pi }{6};\frac{1}{2}\right)$.

Với  $x=\pi$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\pi \right)=\sin \pi =0$. Ta có điểm A(π; 0).

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Ta có: – 1 ≤ s ≤ 1

⇔ – 1 ≤ 2cosπt ≤ 1

⇔  $-\frac{1}{2}$ ≤ cosπt ≤  $\frac{1}{2}$

⇔  $-\frac{2\pi }{3}$ ≤ πt ≤  $\frac{2\pi }{3}$

⇔  $-\frac{2}{3}$ ≤ t ≤  $\frac{2}{3}$.

Mà t ≥ 0 nên 0 ≤ t ≤  $\frac{2}{3}$.

Vậy với 0 ≤ t ≤  $\frac{2}{3}$ thì li độ s nằm trong đoạn [– 1; 1] (cm).