Giải SGK Toán 11 CTST Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án
23 câu hỏi
Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?
Sau khi học xong bài học này, chúng ta sẽ nhận biết được đồ thị hình sin và hình ảnh mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ chính là một ví dụ điển hình.
Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:
a) Giá trị sint và cost;
Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:
- Tung độ của điểm M là sint.
- Hoành độ của điểm M là cost.
Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.
b) Giá trị tant (nếu t≠π2+kπ,k∈ℤ) và cost (nếu t≠kπ,k∈ℤ).
b) Nếu t≠π2+kπ,k∈ℤ thì tant=sintcost xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.
Nếu t≠kπ,k∈ℤ thì cott=costsint xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.
Xét hai hàm số y = x2, y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và – 1, 2 và – 2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.
+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ
Tại x = 1 thì y = 12 = 1, x = – 1 thì y = (– 1)2 = 1.
Tại x = 2 thì y = 22 = 4, x = – 2 thì y = (– 2)2 = 4.
Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì
Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.
+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.
Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.
Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.
Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.
+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ
Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ
Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.
Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x ∈ℝ.
Với số thực T = 2π thì sin(x + 2π) = sinx.
Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx.
Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;
cot(x + π) = cotx với mọi x≠kπ,k∈ℤ.
Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.
Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.
Với x=−π thì y=sin−π=−sinπ=0. Ta có điểm A’(–π; 0).
Với x=−5π6 thì y=sin−5π6=−12. Ta có điểm B'−5π6;−12.
Với x=−2π3 thì y=sin−2π3=−32. Ta có điểm C'−2π3;−32.
Với x=−π2 thì y=sin−π2=−1. Ta có điểm D'−π2;−1.
Với x=−π3 thì y=sin−π3=−32. Ta có điểm E'−π3;−32.
Với x=−π6 thì y=sin−π6=−12. Ta có điểm F'−π6;−32.
Với x=0 thì y=sin0=0. Ta có điểm O(0; 0).
Với x=π6 thì y=sinπ6=12. Ta có điểm Fπ6;32.
Với x=π3 thì y=sinπ3=32. Ta có điểm Eπ3;32.
Với x=π2 thì y=sinπ2=1. Ta có điểm y=sinπ2=1.
Với x=2π3 thì y=sin2π3=32. Ta có điểm C2π3;32.
Với x=5π6 thì y=sin5π6=12. Ta có điểm B5π6;12.
Với x=π thì y=sinπ=sinπ=0. Ta có điểm A(π; 0).
Khi đó ta có bảng:
Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:
Li độ s(cm) của một con lắc đồng hồ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số s = 2cosπt. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 1 giây đầu thì li độ s nằm trong đoạn [– 1; 1] (cm).
Ta có: – 1 ≤ s ≤ 1
⇔ – 1 ≤ 2cosπt ≤ 1
⇔ −12 ≤ cosπt ≤ 12
⇔ −2π3 ≤ πt ≤ 2π3
⇔ −23 ≤ t ≤ 23.
Mà t ≥ 0 nên 0 ≤ t ≤ 23.
Vậy với 0 ≤ t ≤ 23 thì li độ s nằm trong đoạn [– 1; 1] (cm).
Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn [–2π; 2π] thỏa mãn điều kiện tanx = 2?
Cách 1: Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn [–2π; 2π] là:
![Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn [–2π; 2π] thỏa mãn điều kiện tanx = 2? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/07/blobid4-1689927578.png)
Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.
Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?
a) y = 5sin2x + 1;
a) Xét hàm số: y = 5sin2x + 1, có:
Tập xác định D = ℝ.
Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = 5sin2(– x) + 1 = 5sin2 x + 1 = y(x).
Vì vậy hàm số này là hàm chẵn
Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?
b) y = cosx + sinx;
b) Xét hàm số: y = cosx + sinx
Tập xác định: D = ℝ
Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = cos(– x) + sin(– x) = cosx – sin x ≠ y(x).
Vì vậy hàm số này không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?
c) y = tan2x.
c) y = tan2x.
Tập xác định D = ℝ\π4+kπ,k∈ℤ.
Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = tan(– 2x) = – tan2x ≠ y(x).
Vì vậy hàm số này là hàm lẻ.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y=1cosx;
a) Điều kiện xác định là: cosx≠0⇔x≠π2+k2π,k∈ℤ
Suy ra tập xác định của hàm số y=1cosx là: D=ℝ\π2+k2π,k∈ℤ.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
b) tanx+π4;
b) Điểu kiện xác định là: cosx+π4≠0⇔x≠π4+k2π,k∈ℤ
Suy ra tập xác định của hàm số y=tanx+π4 là: D=ℝ\π4+k2π,k∈ℤ.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
c) y=12−sin2x.
c) Điều kiện xác định là: 2−sin2x≠0
Vì −1≤x≤1 nên 2−sin2x≠0 với mọi x ∈ ℝ.
Suy ra tập xác định của hàm số y=12−sin2x là: D = ℝ.
Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cosx + 1.
Ta có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 khi đó – 1 ≤ 2cosx + 1 ≤ 3.
Vậy tập giá trị của hàm số là D = [– 1; 3].
Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, xác định các giá trị x ∈ [– π; π] thỏa mãn sinx = 12.
Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] là:
![Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, xác định các giá trị x ∈ [– π; π] thỏa mãn sinx = 1/2 . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/07/blobid5-1689927916.png)
Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng y=12 tại 2 điểm do đó phương trình sinx = 12 có hai giá trị x thỏa mãn.
Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số vx = 0,3sin α (m/s) (Hình 11).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của vx.
b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤
a) Vì – 1 ≤ sin α ≤ 1 nên – 0,3 ≤ 0,3sin α ≤ 0,3.
Do đó giá trị nhỏ nhất của vx là – 0,3, giá trị lớn nhất của vx là 0,3.
b) Ta có đồ thị hàm số:
Với góc α∈0;π2 hoặc α∈3π2;2π thì vx tăng.
Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).
a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).
a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Khi đó tọa độ điểm G(3cosα; 3sinα).
Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: 3 + 3sinα (m).
b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.
b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi 3 + 3sinα = 1,5 ⇔ sinα = −12.
Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].
Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0 < α < π).
a) Biểu diễn tọa độ xH của điểm H trên trục Tx theo α.
a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:
cotα=THAH⇔TH=AH.cotα=500.cotα (m).
Vậy trên trục Tx tọa độ xH=500.cotα.
b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với π6<α<2π3 thì xH nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
b) Ta có đồ thị của hàm số y = cotα trong khoảng π6<α<2π3 là:
Khi đó −13<cotα<3
⇒−5003<500cotα<5003 hay −5003<xH<5003⇔−288,7<xH<866.
