Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \left(2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim \left(\frac{1-4n}{n}\right)$.

Ở trên ta đã biết  $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{3n^2+1}{n^2}=1$.

a) Tìm các giới hạn lim 3 và  $\lim \frac{1}{n^2}$.

b) Từ đó, nêu nhận xét về  $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)$ và lim 3 +  $\lim \frac{1}{n^2}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{2n^2+3n}{n^2+1}$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{n}$.

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:  $1+\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\mathrm{...}$

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì u_n vượt quá 10 000; 1 000 000?

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì u_n vượt quá S?

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{-2n+1}{n}$;

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{-2n+1}{n}$;

d)  $\lim \frac{n^2-2n+3}{2n^2}$.

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a)  $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{...}$;

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

b)  $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\mathrm{...}$ .

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu p_n là chu vi của hình vuông thứ n và Q_n là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_n và Q_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQ_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H­₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, ...).

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_n và chu vi limp_n).