Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có đáp án

Đặt tên các hình như sau:

Các hình trên được phân thành hai nhóm sau:

- Nhóm Hình học phẳng gồm: Hình 1, Hình 3, Hình 6, Hình 8.

- Nhóm Hình học không gian gồm: Hình 2, Hình 4, Hình 5, Hình 7.

Các ví dụ khác về mặt phẳng: Mặt tường, mặt nền nhà, mặt ghế, ...

a) Hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là:

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Các điểm A’, B’, C’, D’ thuộc mặt phẳng (P).

Các điểm A, B, C, D không nằm trên mặt phẳng (P).

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Các điểm A, D, C thuộc mặt phẳng (Q).

Điểm B không thuộc mặt phẳng (Q).

Để gác một cây sào tập nhảy cao người ta cần dựa nó vào hai điểm trên cọc đỡ.

Có tất cả 6 đường thẳng đi qua 2 trong 4 điểm đã cho: AB, AC, AD, BD, BC, CD.

Giá đỡ của máy ảnh tiếp đất tại 3 điểm.

Qua ba điểm này ta xác định được duy nhất một mặt phẳng nên việc giá đỡ máy ảnh thường có ba chân để có điểm tựa là một mặt phẳng giữ cố định máy ảnh.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP.

Người thợ mộc kiểm tra mặt bàn phẳng bằng cách sau:

- Đặt thước vào mặt bàn và đẩy di động;

- Kiểm tra xem thước có khít với mặt bàn không, nếu thước khít với mặt bàn thì mặt bàn phẳng, còn thước bị chênh so với mặt bàn thì mặt bàn không phẳng.

Gọi H là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC của tứ giác ABCD.

Áp dụng tính chất 2, ta có (Q) là mặt phẳng duy nhất đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm thuộc đường thẳng AC đều thuộc mặt phẳng (Q). Mà H thuộc AC nên H thuộc (Q).

Chứng minh tương tự với mọi điểm bất kì thuộc đường chéo BD.

Vật các điểm nằm trên đường chéo của tứ giác ABCD đều thuộc mặt phẳng (Q).

Bốn đỉnh A, B, C, D của cái bánh giò không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm M, N, P, O là: (OMN), (ONP), (OMP), (MNP).

Phần giao nhau của hai bức tường là một đường thẳng.

Gọi giao điểm của mặt phẳng (α) và (β) là đường thẳng d.

Ta có A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) nên A, B, C ∈ d do đó A, B, C thẳng hàng.

Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm của AB;

N là trung điểm của AC

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC

 ⇒MNBC=12.

Để cánh cửa đóng mở được êm thì các điểm bản lề A, B, C của mặt phẳng cánh cửa và mặt tưởng phải nằm trên một trục quay và trục quay này là giao điểm của mặt phẳng cánh cửa và mặt tường.

Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta có một mặt phẳng duy nhất đi qua 3 điểm này là (ABC).

Qua hai điểm B và C ta vẽ được duy nhất một đường thẳng a đi qua hai điểm này .

Vì B và C thuộc (ABC) nên đường thẳng thẳng a cũng thuộc (ABC).

Ta có:

Hai điểm O và M thuộc mặt phẳng (P) nên đường thẳng a thuộc (P).

Hai điểm O và N thuộc mặt phẳng (P) nên đường thẳng b thuộc (P).

Vậy mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng a và b.

a) Ta có hình vẽ sau:

Ta có:

M ∈ mp(M, a) và M ∈ mp(M, b) nên M ∈ (M, a) ∩ (M, b).

O là giao điểm của hai đường thẳng a và b, mà a ⊂ mp(M, a) và b ⊂ mp(M, b) nên O ∈ (M, a) ∩ (M, b).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) là đường thẳng qua hai điểm M và O.

b)

Ta có: A ∈ (MAB) và A ∈ a ⊂ mp(a, b) nên A ∈ (MAB) ∩ mp(a, b).

Ta lại có: B ∈ (MAB) và B ∈ b ⊂ mp(a, b) nên B ∈ (MAB) ∩ mp(a, b).

Vậy giao tuyến của (MAB) và mp(a, b) là đường thẳng AB

c)

Ta có (MA’B’) cũng là mặt phẳng (MAB)

Mà (MAB) giao mp(a, b) là đường thẳng AB nên điểm C cũng thuộc đường thẳng này do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Qua bốn điểm không thẳng hàng ta có thể có được nhiều mặt phẳng đi qua bốn điểm này. Do đó chân ghế bốn chân hay bị khập khiễng.

Còn ghế ba chân có ba điểm tựa và qua ba điểm tựa này chỉ có thể có một mặt phẳng nên ghế ba chân không bị khập khiễng.

Giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi tia laser OA và OB với hai mặt tường lần lượt là AC và BC.

a) Các công trình kiến trúc và các đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình tam giác.

b) Điểm giống nhau là các hinh này đều có mặt bên là các hình tam giác, mặt đáy là các đa giác.

Hình chóp có số mặt ít nhất là Hình 34a).

a)

Xét mặt phẳng (SAC), có:

HK ∩ AC = {J}

Mà AC ⊂ (ABC)

Suy ra HK ∩ (ABC) = {J}.

+) Ta có:   A∈SAIA∈ABK⇒A∈SAI∩ABK

Gọi D là giao điểm của SI và BK

Ta có:  D∈SI⊂SAID∈BK⊂ABK⇒D∈SAI∩ABK

Do đó  SAI∩ABK=AD.

+) Ta có:   H∈SAIH∈BHC⇒H∈SAI∩BHC

Ta lại có:  I∈SI⊂SAII∈BC⊂BHC⇒I∈SAI∩BHC

Do đó  SAI∩BHC=HI.

a) +) Ta có  S∈SACS∈SBD⇒S∈SAC∩SBD

Ta lại có: O là giao điểm của AC và BD nên

 O∈AC⊂SACO∈BD⊂SBD⇒O∈SAC∩SBD

Suy ra  SAC∩SBD=SO.

+) Ta có  S∈SA'C'S∈SB'D'⇒S∈SA'C'∩SB'D'

Ta lại có: O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’ nên

 O'∈A'C'⊂SA'C'O'∈B'D'⊂SB'D'⇒O∈SA'C'∩SB'D'

Suy ra  SA'C'∩SB'D'=SO'.

+) Mặt khác mặt phẳng (SA’C’) cũng chính là mặt phẳng (SAC), mặt phẳng (SB’D’) cũng chính là mặt phẳng (SBD) do đó SO’ trùng SO. Vì vậy S, O’, O thẳng hàng.

b) +) Ta có  S∈SABS∈SDC⇒S∈SAB∩SDC

Ta lại có: E là giao điểm của AB và DC nên

 E∈DC⊂SDCE∈AB⊂SAB⇒E∈SAB∩SDC

Suy ra  SAB∩SDC=SE.

+) Ta có S∈SA'B'S∈SD'C'⇒S∈SA'B'∩SD'C'

Ta lại có: E’ là giao điểm của D’C’ và A’B’ nên

 E'∈A'B'⊂SA'B'E'∈D'C'⊂SD'C'⇒E'∈SA'B'∩SD'C'

Suy ra  SB'C'∩SD'C'=SE'.

+) Mặt khác mặt phẳng (SB’C’) cũng chính là mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (SD’C’) cũng chính là mặt phẳng (SDC) do đó SE’ trùng SE. Vì vậy S, E’, E thẳng hàng.

+) Chia tam giác SS’S” thành 4 tam giác bằng nhau như hình vẽ:

- Lấy A, C, B lần lượt là trung điểm của SS’, SS”, S’S”.

- Nối các đoạn thẳng AB, BC, AC ta được bốn tam giác đều bằng nhau ∆SAC, ∆S’AB, ∆ABC, ∆S”BC.

+) Gập các nếp gấp AC, BC, AB, rồi chụm các đỉnh S, S’, S” làm một ta được hình chóp SABC.

a) Ta có: M ∈ SA ⊂ (SAC);

N ∈ SC ⊂ (SAC);

⇒ MN ⊂ (SAC).

b) Ta có O là giao điểm của AC và BD

O ∈ AC ⊂ (SAC)

O ∈ BD ⊂ (SBD).

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD).

Gọi I là giao điểm của AM và SO.

Mà SO ⊂ (SBD)

Suy ra I ∈ (SBD).

Xét tam giác SAC, có:

AM, SO là các đường trung tuyến của tam giác

Mà I là giao điểm của AM và SO nên I là trọng tâm tam giác SAC

Suy ra  AI=23AM hay AI = 2 IM.

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt SD tại E.

Ta có ME ⊂ (ABM).

Do đó SD ∩ (ABM) = {E}.

c)

Gọi MN giao với BE tại J

Mà BE ⊂ (SBD)

Suy ra I là giao điểm của MN và (SBD).

a) Gọi E là giao điểm của SO và MN

Mà MN ⊂ (MNP)

Suy ra SO ∩ (MNP) = {E}.

b)

Gọi Q là giao điểm của PE và SA

Mà PE ⊂ (MNP)

Suy ra SA ∩ (MNP) = {Q}.

c)

Ta có: QM ∩ AB = {I};

Mà QM ⊂ (QMN), AB ⊂ (ABCD)

Suy ra I ∈ (QMN) ∩ (ABC) (1)

Ta lại có: QN ∩ AD = {K}

Mà QN ⊂ (QMN), AD ⊂ (ABCD)

Suy ra K ∈ (QMN) ∩ (ABCD ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (QMN) ∩ (ABCD ) = {IM}.

Mặt khác, ta có: QE ∩ AC = {J}

Mà QE ⊂ (QMN), AC ⊂ (ABCD)

Suy ra J ∈ (QMN) ∩ (ABCD )

Do đó J thuộc đường thẳng IM.

a) +) Ta có: EF ∩ BC = {I}, EG ∩ BD = {G}

Mà EF, EG ⊂ (EGF) và BC, BD ⊂ (BCD)

Suy ra (EFG) ∩ (BCD) = {IG}.

+) Ta có: EF ∩ AC = {F}, EG ∩ AD = {H}

Mà EF, EG ⊂ (EGF) và AC, AD ⊂ (ACD)

Suy ra (EFG) ∩ (ACD) = {FH}.

Thước laser phát tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng, mặt phẳng ánh sáng này giao với mặt tường sẽ tạo ra một vệt là đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.