20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Trong không gian, qua ba điểm không thẳng hàng xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
1.
4.
3.
2.
A
Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định được một mặt phẳng.
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng (tham khảo hình vẽ bên). Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
2.
4.
3.
6.
B
Dựa vào hình vẽ ta có 4 mặt phẳng là (ABC), (ABD), (ADC), (BCD).
(CMN).
(BCD).
(ABD).
(ACD).
D
Do I Î MN mà MN Ì (ABD), (CMN) nên I Î (ABD), I Î (CMN).
Do I Î BD mà BD Ì (BCD) nên I Î (BCD).
Trong không gian, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Có duy nhất một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt.
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
C
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
C
Đáp án C sai vì hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số điểm chung, không nhất thiết phải là đường thẳng chung duy nhất.
BC.
AB.
CD.
AD.
A
(ABC) Ç (BCD) = BC.
SB.
SM.
SC.
BC.
B
Có (SAM) Ç (SBC) = SM.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
SD.
SO (O là tâm của hình bình hành ABCD).
SE (E là trung điểm của AB).
SF (F là trung điểm của CD).
B
Có S Î (SMN) Ç (SAC).
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD khi đó O = AC Ç MN.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}O \in MN \subset \left( {SMN} \right)\\O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\).
Vậy (SMN) Ç (SAC) = SO với O là tâm của hình bình hành ABCD.
giao điểm của BC và SA.
giao điểm của BC và SD.
giao điểm của BC và AD.
giao điểm của AC và BD.
C
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I = AD Ç BC.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BC\\I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \cap \left( {SAD} \right) = I\).
trọng tâm của tam giác SAC.
trung điểm của AM.
trung điểm của SO.
trọng tâm của tam giác SCD.
A
Trong mặt phẳng (SAC), gọi I = AM Ç SO.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM\\I \in SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM \cap \left( {SBD} \right) = I\).
Trong tam giác SAC do AM và SO là các đường trung tuyến nên I là trọng tâm của tam giác SAC.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(M\) là một điểm trên cạnh \(SC,N\) là một điểm trên cạnh \(BC\). Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(K = AN \cap CD\). Khi đó:
a)\(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
b) Giao điểm của đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \((SBD)\) là điểm nằm trên cạnh \(SO\).
c) \(KM\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((AMN)\) và \((SCD)\).
d) Giao điểm của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((AMN)\) là điểm nằm trên cạnh \(KM\).
a) Dễ thấy \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(O = AC \cap BD\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC,AC \subset (SAC)}\\{O \in BD,BD \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)} \right.\).
Vậy \(SO = (SAC) \cap (SBD)\).
b) Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(P = AM \cap SO\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in AM}\\{P \in SO,SO \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow P = AM \cap (SBD)} \right.\).
c) Xét mặt phẳng phụ \((SCD)\) chứa \(SD\). Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((AMN)\) và \((SCD)\).
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(K = AN \cap CD\).
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{K \in AN,AN \subset (AMN)}\\{K \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow K \in (AMN) \cap (SCD)} \right.\).
Mặt khác: \(M \in SC,SC \subset (SCD) \Rightarrow M \in (SCD) \Rightarrow M \in (SCD) \cap (AMN)\).
Vậy \(KM = (SCD) \cap (AMN)\).
d) Trong mặt phẳng \((SCD)\), gọi \(H = KM \cap SD\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{H \in SD}\\{H \in KM,KM \subset (AMN)}\end{array} \Rightarrow H = SD \cap (AMN)} \right.\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \((ABCD)\), các điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,SC\). Gọi \(O = AC \cap BD\).
a)\(SO\) giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
b) Giao điểm của \(I\) của đường thẳng \(AN\) và mặt phẳng \((SBD)\) là điểm nằm trên đường thẳng \(SO\).
c) Giao điểm của \(J\) của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\) là điểm nằm trên đường thẳng \(SD\).
d) Ba điểm \(I,J,B\) thẳng hàng.
a) \(SO\) giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
b) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(O = AC \cap BD\);
Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(I = SO \cap AN\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AN}\\{I \in SO,SO \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow I = AN \cap (SBD)} \right.\).
c) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(P = CM \cap BD\);
Trong mặt phẳng \((SCM)\), gọi \(J = MN \cap SP\);
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{J \in MN}\\{J \in SP,SP \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow J = MN \cap (SBD)} \right.\).
d) Dễ thấy \(B \in (ABN) \cap (SBD)\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AN,AN \subset (ABN)}\\{I \in SO,SO \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow I \in (ABN) \cap (SBD)} \right.\).(2)
Tương tự: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{J \in MN,MN \subset (ABN)}\\{J \in SP,SP \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow J \in (ABN) \cap (SBD)} \right.\).(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(B,I,J\) cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABN)\) và \((SBD)\) nên ba điểm này thẳng hàng.
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\), \(M\) là một điểm trên cạnh \(AB,N\) là một điểm trên cạnh \(AC\). Khi đó:
a) \[IJ\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \((IBC),(JAD)\).
b) \(ND\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((MND),(ADC)\).
c) \(BI\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((BCI),(ABD)\).
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((IBC),(DMN)\) song song với đường thẳng \[IJ\].
a) Ta có: \(I \in AD,AD \subset (JAD) \Rightarrow I \in (JAD) \Rightarrow IJ \subset (JAD)\);
\(J \in BC,BC \subset (IBC) \Rightarrow J \in (IBC) \Rightarrow IJ \subset (IBC)\). Vậy \((IBC) \cap (JAD) = IJ\).
b) \(ND\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((MND),(ADC)\).
c) \(BI\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((BCI),(ABD)\).
d) Gọi \(E = DN \cap CI(\) trong \(mp(ACD))\) và \(F = DM \cap BI(\) trong \(mp(ABD))\).
\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in DN,DN \subset (DMN)}\\{E \in IC,IC \subset (IBC)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow E \in (DMN) \cap (IBC).(1)\end{array}\)
Tương tự: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F \in DM,DM \subset (DMN)}\\{F \in BI,BI \subset (IBC)}\end{array} \Rightarrow F \in (DMN) \cap (IBC)} \right.\).
Từ (1) và \((2)\) suy ra \((DMN) \cap (IBC) = EF\).
Khi đó \[EF\] cắt \[IJ\]
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(AB,N\) là điểm thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(MN\) không song song với \(BC\). Gọi \(P\) là điểm nằm trong \(\Delta BCD\). Khi đó:
a) \(MN = (MNP) \cap (ABC)\).
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP),(BCD)\) là đường thẳng cắt \(BC\).
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP),(ABD)\) là đường thẳng cắt \(AB\) và \(DC\).
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP),(ACD)\) là đường thẳng cắt \(AB\) và \(DC\).
a) \(MN = (MNP) \cap (ABC)\)
b) Trong \((ABC)\) gọi \(H = MN \cap BC\).
Ta có:
Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in (MNP)}\\{P \in (BCD)}\end{array} \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)(2)} \right.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(HP = (MNP) \cap (BCD)\)
c) Trong \((BCD)\) gọi \(K = HP \cap BD\)
Ta có:
Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (MNP)}\\{M \in AB \subset (ABD)}\end{array} \Rightarrow M \in (MNP) \cap (ABD)(2)} \right.\).
Từ (1) và (2) suy ra \(MK \in (MNP) \cap (ABD)\).
d) Trong \((BCD)\) gọi \(F = HK \cap DC\).
Trình bày tương tự như hai câu trên ta được \(NF = (MNP) \cap (ACD)\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\), biết \(AB\) cắt \(CD\) tại \(E,AC\) cắt \(BD\) tại \(F\) trong mặt phẳng đáy. Khi đó:
a) Đường thẳng \(EF\) nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\).
b) \(AB\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABCD)\).
c) SF là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD),\) SE là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
d) Gọi \(G = EF \cap AD\) khi đó, \(SG\) giao tuyến của mặt phẳng \((SEF)\) và mặt phẳng \((SAD)\).
a) Ta có: \(E = AB \cap CD \Rightarrow E \in AB,AB \subset (ABCD) \Rightarrow E \in (ABCD)\).
Tương tự: \(F = AC \cap BD \Rightarrow F \in AC,AC \subset (ABCD) \Rightarrow F \in (ABCD)\). Vậy \(EF \subset (ABCD)\).
b) Dễ thấy \(A\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABCD),B\) cũng là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABCD)\).
Suy ra \(AB = (SAB) \cap (ABCD)\).
c) Dễ thấy \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in AB,AB \subset (SAB)}\\{E \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow E \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\).
Vậy \(SE = (SAB) \cap (SCD)\).
Dễ thấy \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F \in AC,AC \subset (SAC)}\\{F \in BD,BD \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow F \in (SAC) \cap (SBD)} \right.\).
Vậy \(SF = (SAC) \cap (SBD)\).
d) Dễ thấy \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SEF)\) và \((SAD)\).
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(G = EF \cap AD\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G \in EF,EF \subset (SEF)}\\{G \in AD,AD \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow G \in (SEF) \cap (SAD)} \right.\).
Vậy \(SG = (SEF) \cap (SAD)\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SC và I là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Biết tỷ số \(\frac{{IA}}{{IM}} = a\). Tìm a.
Gọi AC Ç BD = O thì (SAC) Ç (SBD) = SO.
Trong mặt phẳng (SAC), lấy AM Ç SO = I Þ I = AM Ç (SBD).
Do trong DSAC, AM và SO là hai đường trung tuyến nên I là trọng tâm DSAC.
Vậy IA = 2IM hay \(\frac{{IA}}{{IM}} = 2\).
Trả lời: 2.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{1}{3}\). Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Biết tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính tổng S = a + b.
Do \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{1}{3};\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{1}{2}\) Þ NP không song song với AC.
Trong (ABC), gọi I = NP Ç AC.
Trong (SAC), gọi Q = IM Ç SC.
Do IM Ì (MNP) Þ Q = SC Ç (MNP).
Xét DIBC:
Kẻ NJ song song AB (J Î AC).
Do N là trung điểm của BC Þ J là trung điểm của AC Þ AC = 2AJ.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AP//NJ\\\frac{{IP}}{{NP}} = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{IA}}{{AJ}} = 2\) Þ AI = 2AJ Þ IA = AC = 2AJ.
Þ A là trung điểm của IC.
Xét DSIC:
Kẻ AK song song IQ (K Î SC).
Do A là trung điểm của IC Þ K là trung điểm của QC Þ QK = KC.
Ta có MQ // AK, M là trung điểm của SA Þ Q là trung điểm của SK.
Þ SQ = QK Þ SQ = QK = KC Þ \(SQ = \frac{1}{3}SC \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra a = 1; b = 3. Do đó a + b = 4.
Trả lời: 4.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G, J lần lượt là trọng tâm DABD, DACD. Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (AGJ) và (BCD). Biết DBCD là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng d.
Gọi H, K lần lượt là trung điểm BD, CD.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H \in AG \subset \left( {AGJ} \right)\\H \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {AGJ} \right)\) (1).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}K \in AJ \subset \left( {AGJ} \right)\\K \in CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\) Þ K Î (BCD) Ç (AGJ) (2).
Từ (1) và (2) Þ (BCD) Ç (AGJ) = HK ≡ d.
DBCD đều nên Þ d(D, d) = d(D, HK) = \(\frac{1}{2}d\left( {D,BC} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD, điểm E Ï (α). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm A, B, C, D, E.
Điểm E và 2 điểm bất kì trong 4 điểm A, B, C, D tạo thành \(C_4^2 = 6\)mặt phẳng .
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành 1 mặt phẳng.
Vậy có tất cả 7 mặt phẳng.
Trả lời: 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB. Gọi E là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN). Tỉ số \(\frac{{SE}}{{SD}}\).
Trong mặt phẳng (ABCD) có J = AN Ç CD.
Trong mặt phẳng (SCD) có E = JM Ç SD mà JM Ì (AMN) nên E = SD Ç (AMN).
Vì AB // DJ nên \(\frac{{DN}}{{NB}} = \frac{{DJ}}{{AB}} = 3\).
Trong DSAD, kẻ CP // ME mà M là trung điểm SC Þ E là trung điểm của SP.
Xét DDEJ có CP // EJ nên \(\frac{{DE}}{{DP}} = \frac{{DJ}}{{DC}} = 3\)Þ SE = EP = 2DP Þ \(\frac{{SE}}{{SD}} = \frac{2}{5} = 0,4\).
Trả lời: 0,4.
