Góc	Trường hợp 1	Trường hợp 2	Trường hợp 3
M	75°	132°	56°
N	115°	120°	90°
P	105°	48°	124°
Q	65°	60°	90°

Qua điểm O vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M và CD tại N.

Ta có OA = OB = OC = OD = R, suy ra đường thẳng d là đường trung trực của AB và CD.

Tam giác AOB cân tại O có OM là đường trung trực nên OM cũng là đường phân giác, suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}.\)

Tương tự, \(\widehat {DON} = \widehat {CON}.\)

Khi đó, ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {AOD} + \widehat {DON} = \widehat {BOM} + \widehat {BOC} + \widehat {CON} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}.\)

Xét ∆AOD và ∆BOC có:

OA = OB, \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC},\) OD = OC.

Do đó ∆AOD = ∆BOC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ODA} = \widehat {OCB}\) (hai góc tương ứng).

Lại có \(\widehat {ODC} = \widehat {OCD}\) (vì ∆ODC cân tại O do OD = OC).

Khi đó, \(\widehat {ODA} + \widehat {ODC} = \widehat {OCB} + \widehat {OCD}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên ABCD là hình thang cân.

Tứ giác ABCD là hình thoi nên \(\widehat A = \widehat C.\)

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) nên \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ .\)

Suy ra \(\widehat A = \widehat C = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ .\)

Hình thoi ABCD có \(\widehat A = \widehat C = 90^\circ \) nên là hình vuông.

Khi đó, hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn có bán kính là

\[R = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\]

Gọi I là trung điểm của DO.

Ta có BD và AD là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên \(\widehat {DBO} = 90^\circ \) và \(\widehat {DFO} = 90^\circ .\)

Tam giác DBO vuông tại O nên tam giác này nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính bằng \(\frac{1}{2}DO.\)

Tương tự, tam giác DFO vuông tại F nên nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính bằng \(\frac{1}{2}DO.\)

Do đó, tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính bằng \(\frac{1}{2}DO.\)

Ta có \(\widehat {HCB} = 90^\circ \) (do MN ⊥ OA tại C), \(\widehat {AKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB) hay \(\widehat {HKB} = 90^\circ .\)

Khi đó, tam giác BCH vuông tại C và tam giác BKH vuông tại K cùng nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Do đó, tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Ta có \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (do ABCD là hình vuông), \(\widehat {BHD} = 90^\circ \) (do BH ⊥ DH).

Khi đó, tam giác BHD vuông tại H và tam giác BCD vuông tại C cùng nội tiếp đường tròn đường kính BD.

Do đó, tứ giác BHCD nội tiếp đường tròn đường kính BD.

Gọi I là trung điểm của BD, khi đó I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHCD

• Ta có \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD) hay \(\widehat {ABE} = 90^\circ .\)

Ta cũng có \(\widehat {AFE} = 90^\circ \) do EF ⊥ AD.

Tam giác ABE vuông tại B và tam giác AFE vuông tại F cùng nội tiếp trong đường tròn đường kính AE.

Do đó, tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn đường kính AE.

• Ta có \(\widehat {ECD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD), \(\widehat {EFD} = 90^\circ \) (do EF ⊥ AD xc).

Tam giác ECD vuông tại C và tam giác EFD vuông tại F cùng nội tiếp trong đường tròn đường kính ED.

Do đó, tứ giác DCEF nội tiếp đường tròn đường kính ED.