Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
8 câu hỏi
Cho đường thẳng a và điểm O với khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là 1 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 3 cm.
a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).
b) Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
a) Kẻ OH vuông góc với a tại H. Khi đó, ta có: OH=1 cm. Suy ra OH<3 cm.
Vậy đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.
b) Xét∆OAB có OA = OB (bán kính đường tròn tâm O) nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường cao OH cùng đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của AB nên AB = 2AH.
Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = OH2 + AH2
Suy raAH=OA2−OH2=32−12=8=22 cm.
Vậy AB=2AH=2⋅22=42 cm.
Cho xOy^=30° và điểm O’ thuộc tia Ox sao cho OO’ = 4 cm.
a) Tính khoảng cách từ điểm O’ đến tia Oy.
b) Xác định vị trí tương đối của tia Oy và đường tròn (O’; R) tuỳ theo độ dài R với R ≤ 4 cm.
Kẻ O’H vuông góc với tia Oy.
Khi đó, O’H là khoảng cách từ điểm O’ đến tia Oy.
Do ∆OO’H vuông tại H nên:O'H=⋅sinO'OH^=4⋅sin30°=4⋅12=2 (cm).
b) Nếu R<2 cm thì đường tròn (O’) và tia Oy không giao nhau.
Nếu R=2 cm thì đường tròn (O’) và tia Oy tiếp xúc nhau.
Nếu 2 cm< R ≤4 cm thì đường tròn (O’) và tia Oy cắt nhau.
Cho hình thang vuông ABCD A^=D^=90° có AB = 4 cm, BC = 13 cm, CD = 9 cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AD.
b) Đường thẳng AD có tiếp xúc với đường tròn đường kính BC hay không? Vì sao?
Kẻ BH vuông góc với CD tại H, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, kẻ IK vuông góc với AD tại K, gọi M là giao điểm của IK và BH.
Do IK ⊥ AD nênAKI^=IKD^=90°.
ABCD là hình thang vuông có A^=D^=90° nên AB ⊥AD, CD ⊥AD.
Mà IK ⊥ AD nên IK // AB // CD.
Lại có BH ⊥ CD nên BH ⊥ IK tại M.
Tứ giác ABHD có A^=D^=H^=90°, suy ra ABHD là hình chữ nhật.
Tứ giác ABMK có A^=K^=M^=90°, suy ra ABMK là hình chữ nhật.
a) Do tứ giác ABHD là hình chữ nhật nên AD = BH và DH = AB = 4 cm.
Ta có: CH=CD‒DH=9 – 4 = 5 cm.
Xét ∆BCH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: BC2 = BH2 + CH2
Suy ra BH=BC2−CH2=132−52=144=12 cm
Vậy AD=BH = 12 cm.
b) Ta có đường tròn đường kính BC có tâm I và bán kính R=BC2=6,5 cm.
Khoảng cách từ tâm I đến AD là d=IK.
Do tứ giác ABMK là hình chữ nhật nên KM=AB=4 cm.
Xét ∆BCH có I là trung điểm của BC và IM // CH nên IM là đường trung bình của tam giác, do đó IM=12CH=12⋅5=2,5 cm.
Ta có: IK=KM+IM= 4 + 2,5 = 6,5 cm.
Do đó d= IM =R = 6,5 cm.
Vậy đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O; R) với B là tiếp điểm (Hình 14). Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.
Do AB của đường tròn (O; R) với B là tiếp điểm nên OB ⊥ AB tại B.
Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:
OA2 = OB2 + AB2
Suy ra AB=OA2−OB2=2R2−R2=3R2=R3.
Vậy AB=R3.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm F thuộc đoạn thẳng OB, tia CF cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E (Hình 15). Chứng minh EF = ED.
Do OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra OCD^=ODC^ hay OCF^=ODF^.
Xét ∆COF vuông tại O có OCF^+OFC^=90° (tổng hai góc nhọn trong)
Lại có OFC^=DFE^ (đối đỉnh)
Suy ra ODF^+DFE^=90°
Mà ODF^+FDE^=90° nên DFE^=FDE^.
Do đó ∆EDF cân tại E, suy ra EF=ED.
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD, lấy điểm H sao cho BH = AB. Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O.
a) So sánh OA, OH, HD.
b) Xác định vị trí tương đối của BD và đường tròn (O; OA).
a) Do ABCD là hình vuông nên A^=D^=90°.
Xét ∆OAB (vuông tại A) và ∆OHB (vuông tại H) có:
AB = HB, OB là cạnh chung
Do đó ∆OAB = ∆OHB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra OA=OH (hai cạnh tương ứng) (1)
Do ABCD là hình vuông nên đường chéo BD là tiaphân giác của
Suy raODH^=12D^=12⋅90°=45°.
Tam giác OHD vuông tại H có ODH^=45° nên ∆OHD vuông cân tại H.
Suy ra HD=OH (2)
Từ (1), (2) suy ra OA=OH=HD.
b) Vì OA=OH và OH vuông góc với BD tại H nên BD là tiếp tuyến đường tròn (O; OA).
Vậy BD tiếp xúc với đường tròn (O; OA).
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:
a) EB . EA = EI . EO;
b) AB2 = AC . AD.
a) Xét ∆OCD có OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI của tam giác cũng đồng thời là đường cao, hay OIC^=OID^=90°.
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên OB ⊥ AB.Suy ra OBE^=90°
Xét ∆EOB và ∆EAI có:
OBE^=EIA^ =90° và E^ là góc chung
Do đó ∆EOB ᔕ ∆EAI (g.g)
Suy ra EBEI=EOEA hay EB . EA=EI . EO.
b) Gọi R là bán kính đường tròn (O).
Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:OA2 = OB2 + AB2
Suy ra AB2=OA2 ‒ OB2 = OA2 ‒ R2.
Mặt khác, ta có: AC.AD=(AI‒CI)(AI+DI)
Mà CI=DI (do I là trung điểm của CD)
Suy ra: AC.AD =(AI‒CI)(AI+CI) = AI2 ‒CI2
Xét ∆OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:OA2 = OI2 + AI2
Suy ra AI2=OA2 ‒ OI2.
Xét ∆OCI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:OC2 = OI2 + CI2
Suy ra CI2=OC2 ‒ OI2.
Do đó AC.AD = (OA2 ‒ OI2) ‒(OC2 ‒OI2)
=OA2 ‒ OI2 ‒OC2+OI2
= OA2 – OC2 = OA2 ‒ R2.
Do đó AB2=AC. AD (vì cùng bằng OA2 ‒ R2).
Cho đường tròn (O; 4 cm) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là OH = 5 cm. Đường thẳng OH cắt đường tròn (O) tại A. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng OA. Trên đường thẳng d, lấy một điểm I (khác H), kẻ tiếp tuyến IC của đường tròn (O) với C là tiếp điểm (Hình 17). Chứng minh tam giác IBC cân tại I.
Do B là trung điểm của OA nên OB=AB=OA2.
Ta có:BH=OH−OB=OH−OA2=5−42=3 (cm).
Do OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng d nên OH ⊥ d tại H.
Xét ∆IBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:
IB2 = IH2 + BH2 = IH2 + 32 = IH2 + 9.
Xét ∆OIH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OI2 = OH2 + IH2.
Do tiếp tuyến IC của đường tròn (O) với C là tiếp điểm nên OC ⊥ IC tại C.
Xét ∆ICO vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có: IO2 = IC2 + OC2.
Suy ra IC2 = IO2 ‒ OC2 = (OH2 + IH2) ‒ OC2 = (52 + IH2) ‒ 42 = IH2 + 9.
Do đó IB2=IC2 (vì cùng bằng IH2+9).
Vậy IB=IC hay tam giác IBC cân tại I.
