15 câu trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có đáp án
15 câu hỏi
I. Nhận biết
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất 2 điểm chung.
Vậy ta chọn phương án B.
Nếu đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung thì
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
Đường thẳng cắt đường tròn.
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung.
Do đó ta chọn phương án A.
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và đường thẳng \[a.\] Kẻ \[OH \bot a\] tại điểm \[H,\] biết \[OH > R.\] Khi đó, đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\] có vị trí tương đối là
Tiếp xúc với nhau.
Cắt nhau.
Không cắt nhau.
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Vì \[OH > R\] nên đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\] không cắt nhau.
Vậy ta chọn phương án C.
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và đường thẳng \[a.\] Kẻ \[OH \bot a\] tại điểm \[H,\] biết \[OH < R.\] Khi đó, đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\]
Tiếp xúc với nhau.
Cắt nhau.
Không cắt nhau.
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: B
Vì \[OH < R\] nên đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\] cắt nhau.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và đường thẳng \[a.\] Kẻ \[OH \bot a\] tại điểm \[H,\] biết \[OH = R.\] Khi đó, đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\]
Tiếp xúc với nhau.
Cắt nhau.
Không cắt nhau.
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
Vì \[OH = R\] nên đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với nhau. Khi đó \[H\] được gọi là tiếp điểm và đường thẳng \[a\] còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[H.\]
Vậy ta chọn phương án A.
II. Thông hiểu
Cho \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng \[3{\rm{\;cm}}.\] Lấy điểm \[I\] trên \[a\] và vẽ đường tròn \[\left( {I;3,5{\rm{\;cm}}} \right).\] Khi đó đường tròn \[\left( I \right)\] với đường thẳng \[b\]
cắt nhau.
tiếp xúc nhau.
không giao nhau.
đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
Kẻ \[IH \bot b\] tại \[H.\]
Vì \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng \[3{\rm{\;cm}}\] và \[I \in a\] nên khoảng cách từ tâm \[I\] đến đường thẳng \[b\] là \[IH = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Do \[IH = 3{\rm{\;cm}} < R = 3,5{\rm{\;cm}}\] nên đường tròn \[\left( I \right)\] với đường thẳng \[b\] cắt nhau.
Vậy ta chọn phương án A.
Cho \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng \[2,5{\rm{\;cm}}.\] Lấy điểm \[I\] trên \[a\] và vẽ đường tròn \[\left( {I;2,5{\rm{\;cm}}} \right).\] Khi đó đường tròn \[\left( I \right)\] với đường thẳng \[b\]
cắt nhau.
tiếp xúc nhau.
không giao nhau.
đáp án khác.
Đáp án đúng là: B
Kẻ \[IH \bot b\] tại \[H.\]
Vì \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng \[2,5{\rm{\;cm}}\] và \[I \in a\] nên khoảng cách từ tâm \[I\] đến đường thẳng \[b\] là \[IH = 2,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Do \[IH = R = 2,5{\rm{\;(cm)}}\] nên đường tròn \[\left( I \right)\] với đường thẳng \[b\] tiếp xúc nhau tại tiếp điểm \[H.\]
Vậy ta chọn phương án B.
Cho bảng sau với \[R\] là bán kính của đường tròn, \[d\] là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng:
\[R\] | \[d\] | Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
5 cm | 4 cm | (1) |
8 cm | (2) | Tiếp xúc nhau |
Điền vào các vị trí (1), (2) trong bảng trên là
(1): Cắt nhau; (2): 8 cm.
(1): 9 cm; (2): không cắt nhau.
(1): Cắt nhau; (2): 6 cm.
(1): Không cắt nhau; (2): 6 cm.
Đáp án đúng là: A
⦁ Vì \[4{\rm{\;cm}} < 5{\rm{\;cm}}\] nên \[d < R.\] Suy ra đường thẳng cắt đường tròn.
⦁ Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên \[d = R.\] Suy ra \[d = 8{\rm{\;cm}}.\]
Do đó ở vị trí (1) ta điền “Cắt nhau”; ở vị trí (2) ta điền “8 cm”.
Vậy ta chọn phương án A.
Cho đường thẳng \[d\] và một điểm \[I\] cách \[d\] một khoảng bằng 10 cm. Vẽ đường tròn \[\left( I \right)\] đường kính 18 cm. Khi đó đường thẳng \[d\] và đường tròn \[\left( I \right)\] là
cắt nhau.
tiếp xúc nhau.
không giao nhau.
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Kẻ \[IH \bot d\] tại \[H.\] Suy ra \[IH = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Bán kính của đường tròn \[\left( I \right)\] là: \[R = \frac{{18}}{2} = 9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vì \[10{\rm{\;cm}} > 9{\rm{\;cm}}\] nên \[IH > R.\]
Do đó đường thẳng \[d\] và đường tròn \[\left( I \right)\] không giao nhau.
Vậy ta chọn phương án C.
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[4{\rm{\;cm}}\] và một điểm \[A\] cách \[O\] là \[7{\rm{\;cm}}.\] Kẻ đường thẳng \[AB\] tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\) (điểm \[B\] là tiếp điểm). Khi đó độ dài \[AB\] là
\[AB = 3{\rm{\;cm}}.\]
\[AB = \sqrt {65} {\rm{\;cm}}.\]
\[AB = \sqrt {33} {\rm{\;cm}}.\]
\[AB = 33{\rm{\;cm}}.\]
Đáp án đúng là: C
Vì \[AB\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( O \right),\] với \[B\] là tiếp điểm nên \[AB \bot OB\] tại \[B.\]
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OAB\] vuông tại \[B,\] ta được: \[O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}.\]
Suy ra \[A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {7^2} - {4^2} = 33.\] Do đó \[AB = \sqrt {33} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vậy ta chọn phương án C.
Cho đường tròn \[\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\] và một điểm \[A\] nằm ngoài \[\left( O \right).\] Qua \[A,\] kẻ đường thẳng cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[B\] và \[C\] (điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C)\] sao cho \[AB = BC.\] Vẽ đường kính \[CD\] của đường tròn \[\left( O \right).\] Khi đó độ dài đoạn \[AD\] bằng
\[15{\rm{\;cm}}.\]
\[10{\rm{\;cm}}.\]
\[2,5{\rm{\;cm}}.\]
\[5{\rm{\;cm}}.\]
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \[\left( O \right)\] có \[CD\] là đường kính nên tâm \[O\] là trung điểm \[CD\] hay \[OC = OD = \frac{{CD}}{2} = BO.\]
Xét tam giác \[BCD\] có \[BO\] là đường trung tuyến ứng với cạnh \(CD\) và \[BO = \frac{{CD}}{2}\] nên tam giác \[BCD\] vuông tại \[B.\]
Do đó \[BD \bot AC\] tại \[B.\] Vì \[AB = BC\] nên \[B\] là trung điểm \[AC.\]
Tam giác \[ACD\] có \[DB\] vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, suy ra tam giác \[ACD\] cân tại \[D.\] Do đó \[AD = CD = 2OD = 2 \cdot 5 = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vậy ta chọn phương án B.
Cho đường tròn \[\left( O \right),\] bán kính \[R = OA,\] dây \[CD\] là đường trung trực của \[OA.\] Kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại \[C,\] cắt đường thẳng \[OA\] tại \[I.\] Cho các khẳng định sau:
(i) Tứ giác \[CODA\] là hình thoi.
(ii) \[CI = R\sqrt 3 .\]
Kết luận nào sau đây đúng nhất?
Chỉ (i) đúng.
Chỉ (ii) đúng.
Cả (i) và (ii) đều đúng.
Cả (i) và (ii) đều sai.
Đáp án đúng là: C
⦁ Gọi \[H\] là giao điểm của \[CD\] và \[OA.\]
Ta có \[CD\] là đường trung trực của \[OA.\] Suy ra \[H\] là trung điểm \[OA\] và \[CD \bot OA\] tại \[H.\]
Tam giác \[OCD\] cân tại \[O\] (vì \[OC = OD = R\]) có \[OH\] là đường cao, suy ra \[OH\] cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[H\] là trung điểm \[CD.\]
Tứ giác \[CODA\] có hai đường chéo \[OA\] và \[CD\] vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm \[H\] của mỗi đường nên tứ giác \[CODA\] là hình thoi.
Do đó khẳng định (i) là đúng.
⦁ Vì tứ giác \[CODA\] là hình thoi nên \[AC = OC.\]
Mà \[OA = OC = R\] nên \[OA = OC = AC = R.\]
Vì vậy tam giác \[OAC\] là tam giác đều. Suy ra \[\widehat {COA} = 60^\circ .\]
Ta có \[CI\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( O \right)\], với \[C\] là tiếp điểm. Suy ra \[OC \bot CI.\]
Vì tam giác \[OCI\] vuông tại \[C\] nên \[CI = OC \cdot \tan \widehat {COA} = R \cdot \tan 60^\circ = R\sqrt 3 .\]
Do đó \[CI = R\sqrt 3 \] nên khẳng định (ii) là đúng.
Vậy ta chọn phương án C.
III. Vận dụng
Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] song song với nhau, cách nhau một khoảng là \[h.\] Một đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[a\] và \[b.\] Hỏi tâm \[O\] di động trên đường nào?
Đường thẳng \[c\] song song và cách đều \[a\] và \[b\] một khoảng cùng bằng \[h.\]
Đường thẳng \[c\] song song và cách đều \[a\] và \[b\] một khoảng cùng bằng \[\frac{h}{2}.\]
Đường thẳng \[c\] song song và cách \[a\] một khoảng bằng \[2h.\]
đường thẳng \[c\] song song và cách đều \[a\] và \[b\] một khoảng cùng bằng \[\frac{h}{4}.\]
Đáp án đúng là: B
Kẻ \[OA \bot a\] tại \[A\], đường thẳng \[OA\] cắt đường thẳng \[b\] tại \[B.\]
Theo đề, ta có \[AB = h.\]
Vì \[AB \bot a\] và \[a\,{\rm{//}}\,b\] nên \[AB \bot B\] tại \[B.\]
Do đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[a\] và \[b\] nên \[OA = OB\] hay \[O\] là trung điểm \[AB.\]
Suy ra \[OA = OB = \frac{{AB}}{2} = \frac{h}{2}.\]
Khi đó tâm \[O\] cách \[a\] và \[b\] một khoảng cùng bằng \[\frac{h}{2}.\]
Vì vậy \[O\] chạy trên đường thẳng \[c\] song song và cách đều \[a\] và \[b\] một khoảng cùng bằng \[\frac{h}{2}.\]
Vậy ta chọn phương án B.
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và điểm \[A\] nằm ngoài \[\left( O \right).\] Từ \[A\] kẻ hai đường thẳng \[AB,AC\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( O \right)\] (hai điểm \[B,C\] là các tiếp điểm). Gọi \[H\] là giao điểm của \[OA\] và \[BC.\] Lấy \[D\] đối xứng với \[B\] qua \[O.\] Gọi \[E\] là giao điểm của đoạn thẳng \[AD\] với đường tròn \[\left( O \right)\] (điểm \[E\] khác điểm \[D\]) . Tỉ số \[\frac{{DE}}{{BE}}\] bằng
\[\frac{{HE}}{{AD}}.\]
\[\frac{{AH}}{{BA}}.\]
\[\frac{{BA}}{{BC}}.\]
\[\frac{{BD}}{{BA}}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có \[D\] đối xứng với \[B\] qua \[O.\] Suy ra \[O\] là trung điểm \[BD.\] Do đó \[BD\] là đường kính của đường tròn \[\left( O \right).\]
Tam giác \[BED\] có \[EO\] là đường trung tuyến và \[EO = \frac{{BD}}{2}\] nên tam giác \[BED\] vuông tại \[E.\]
Ta có \[AB\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( O \right)\] tại \(B\) nên \[AB \bot BD.\]
Xét \[\Delta BED\] và \[\Delta ABD,\] có:
\[\widehat {BED} = \widehat {ABD} = 90^\circ \] và \[\widehat {BDE}\] là góc chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{BE}}{{AB}}\] hay \[\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{DB}}{{AB}}.\]
Vậy ta chọn phương án D.
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và dây \[AB = 1,2R.\] Vẽ đường thẳng tiếp xúc với \[\left( {O;R} \right)\] và song song với \[AB,\] cắt các tia \[OA,OB\] lần lượt tại \[E\] và \[F.\] Diện tích tam giác \[OEF\] theo \[R\] là
\[{S_{OEF}} = 0,75{R^2}.\]
\[{S_{OEF}} = 0,8{R^2}.\]
\[{S_{OEF}} = 1,5{R^2}.\]
\[{S_{OEF}} = 1,75{R^2}.\]
Đáp án đúng là: A
Giả sử đường thẳng \[EF\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[H.\] Khi đó \[OH \bot EF.\]
Gọi \[I\] là giao điểm của \[OH\] và \[AB.\]
Vì \[EF\,{\rm{//}}\,AB\] nên \[OH \bot AB.\]
Vì tam giác \[OAB\] cân tại \[O\] (do \[OA = OB = R\]) nên \[OI\] vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[I\] là trung điểm \[AB.\]
Vì vậy \[IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{1,2R}}{2} = 0,6R.\]
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OAI\] vuông tại \[I,\] ta được: \[O{A^2} = O{I^2} + A{I^2}.\]
Suy ra \[O{I^2} = O{A^2} - A{I^2} = {R^2} - {\left( {0,6R} \right)^2} = 0,64{R^2}.\]
Do đó \[OI = 0,8R.\]
Vì \[AI\,{\rm{//}}\,EH\] nên áp dụng định lí Thales, ta có \[\frac{{AI}}{{EH}} = \frac{{OI}}{{OH}}.\]
Suy ra \[\frac{{0,6R}}{{EH}} = \frac{{0,8R}}{R}.\]
Do đó \[EH = 0,75R.\]
Vì \[AB\,{\rm{//}}\,EF\] nên \[\widehat {OAB} = \widehat {OEF}\] (cặp góc đồng vị).
Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {OBA} = \widehat {OFE}.\]
Mà \[\widehat {OBA} = \widehat {OAB}\] (do tam giác \[OAB\] cân tại \[O\]).
Do đó \[\widehat {OEF} = \widehat {OFE}.\] Vì vậy tam giác \[OEF\] cân tại \[O.\]
Tam giác \[OEF\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường cao nên \[OH\] cũng là đường trung tuyến của tam giác.
Do đó \[H\] là trung điểm \[EF.\]
Vì vậy \[EF = 2EH = 2 \cdot 0,75R = 1,5R.\]
Diện tích tam giác \[OEF\] là: \[{S_{OEF}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot R \cdot 1,5R = 0,75{R^2}.\]
Vậy ta chọn phương án A.
