Tứ giác ABCD có tổng 4 góc bằng 360° nên $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$

Mà $\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{B}+\widehat{C}.$

Do đó $2\cdot \left(\widehat{A}+\widehat{D}\right)=360°$ hay $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$.

Suy ra AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Ta có ∆ABC vuông cân tại A, ∆BCD vuông cân tại B suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=45°.$

Vì $\widehat{B_1}$ và $\widehat{C_1}$ là hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy tứ giác ABDC là hình thang.

Hình thang ABDC có $\widehat{A}=90°$ nên ABDC là hình thang vuông.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆ECD, ta có ${\widehat{C}}_1=\widehat{D_1}$ nên ∆ECD cân tại E, suy ra EC = ED. (1)

Ta có: AB // CD nên

⦁ $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{D_1}$ (hai góc so le trong);

⦁ $\widehat{\text{EAB}}=\widehat{C_1}$ (hai góc so le trong);

⦁ ${\widehat{C}}_1=\widehat{D_1}$ (giả thiết).

Suy ra $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{\text{EAB}}$, do đó ∆BEA cân tại E.

Nên AE = BE. (2)

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Xét ∆AMN có AM = AN (giả thiết).

Do đó ∆AMN cân tại A, suy ra $\widehat{M_1}=\frac{180°-\widehat{A_2}}{2}.$

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{B_1}=\frac{180°-\widehat{A_1}}{2}.$

Lại có $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{B_1}=\widehat{M_1}.$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Vậy tứ giác MNBC là hình thang.  (1)

Mặt khác, AB = AC; AM = AN.

Suy ra AB + AM = AC + AN, do đó MB = NC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNBC là hình thang cân.

Do BE, CD là hai đường cao nên BE ⊥ AC, CD ⊥ AB.

Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CDB vuông tại D, ta có:

BC là cạnh chung; $\widehat{\text{ECB}}=\widehat{\text{DBC}}$ (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆BEC = ∆CDB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB nên AC ‒ EC = AB ‒ BD, hay AE = AD

Do đó ∆ADE cân tại A suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{AED}}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}.$ (1)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{ABC}}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Suy ra tứ giác BDEC là hình thang.

Hình thang BDEC có $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ nên là hình thang cân.