Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình vuông có đáp án
13 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.
Chứng minh các tứ giác BOCF và BDKE đều là hình vuông.
• Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra \(\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ \).
Do BE // AC suy ra \(\widehat {OBF} = \widehat {DOC}\) (hai góc đồng vị) và \(\widehat {CBE} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong).
Xét ∆DBC vuông tại C có: \(\widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {CBD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Xét ∆BCE vuông tại C có: \(\widehat {CBE} + \widehat {CEB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CBE} = 90^\circ - \widehat {CBE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)
Tam giác BDE có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBC} + \widehat {CBE} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \) và \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)
Suy ra tam giác BDE vuông cân tại B nên BD = BE
Tam giác BCE vuông tại C có \(\widehat {CBE} = \widehat {CEB} = 45^\circ \), suy ra nên là tam giác vuông cân tại C. Do đó BC = EC
Xét ∆BCF và ∆ECF có:
BC = EC, BF = EF (do F là trung điểm của BE), cạnh CF chung
Do đó ∆BCF = ∆ECF (c.c.c). Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ \).
Tứ giác BOCF có \(\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) nên BOCF là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BOCF có OB = OC nên BOCF là hình vuông.
• Ta có: BC = CD và BC = CE nên CD = CE.
Tứ giác BDKE có hai đường chéo BK và DE cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên BDKE là hình bình hành.
Hình bình hành BDKE có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) nên BDKE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BDKE có BD = BE nên BDKE là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.
Tứ giác CDOF có thể là hình vuông không? Vì sao?
Tứ giác CDOF có \(\widehat {ODC} = 45^\circ \) nên không thể là hình vuông.
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
GH // CD;
Do ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ \)
Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các \(\widehat {BAD},\widehat {ABC},\widehat {BCD},\widehat {ADC}\)
Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {EAB} = \widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {BCF} = \widehat {FCD} = \widehat {CDF} = \widehat {FDA} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ {\rm{.\;}}\)
Xét ∆ADG có: \(\widehat {ADG} + \widehat {AGD} + \widehat {GAD} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AGD} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADG} + \widehat {GAD}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \)
Do đó ∆ADG vuông cân tại G
Chứng minh tương tự các tam giác EAB, FCD, HBC đều là tam giác vuông cân.
Xét ∆GAD và ∆HBC có:
\(\widehat {GAD} = \widehat {GDA} = \widehat {HBC} = \widehat {HCB} = 45^\circ \), cạnh AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)
Do đó ∆GAD = ∆HBC (g.c.g).
Suy ra GD = HC (hai cạnh tương ứng).
Mà FD = FC, suy ra FG = FH.
∆GFH có: \(\widehat {GFH} = 90^\circ \) và FG = FH
Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F. Suy ra \(\widehat {FGH} = 45^\circ \).
Ta có: \(\widehat {FGH} = \widehat {CDF} = 45^\circ \) và \(\widehat {FGH},\widehat {CDF}\) nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
Tứ giác GFHE là hình vuông.
Ta có \(\widehat {EGF} = \widehat {AGD} = 90^\circ \) (hai góc đối đỉnh).
Tứ giác GFHE có \(\widehat {EGF} = \widehat {GFH} = \widehat {HEG} = 90^\circ \) nên GFHE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật GFHE có FG = FH nên GFHE là hình vuông.
Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).
Chứng minh:
DHAF = DADC.
Gọi K là giao điểm của AC và HF.
Do ABEF và ADGH đều là hình vuông nên \(\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^\circ \), AF = AB, AH = AD.
Do ABCD là hình bình hành nên AB = DC
Mà AF = AB nên AF = DC.
Ta có: \(\widehat {HAF} + \widehat {FAB} + \widehat {DAB} + \widehat {DAH} = 360^\circ \)
Mà \(\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HAF} + \widehat {DAB} = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ } \right) = 180^\circ \) (1)
Hình bình hành ABCD có AB // DC nên \(\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HAF} = \widehat {ADC}\).
Xét ∆HAF và ∆ADC có:
AH = AD, \(\widehat {HAF} = \widehat {ADC}\), AF = DC
Suy ra DHAF = DADC (c.g.c).
Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).
Chứng minh:
AC ⊥ HF.
Ta có: \(\widehat {HAK} + \widehat {DAH} + \widehat {DAC} = \widehat {CAK} = 180^\circ \) và \(\widehat {DAH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HAK} + \widehat {DAC} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {DAC}\) (vì DHAF = DADC chứng minh câu a), suy ra \(\widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 90^\circ \).
Trong tam giác AHK, ta có: \(\widehat {AKH} + \widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {AKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAK} + \widehat {AHF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Vậy AK ⊥ HK hay AC ⊥ HF.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.
Tứ giác EFHD là hình gì? Vì sao?
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(DG = \frac{1}{2}BG\), \(EG = \frac{1}{2}CG\).
Mà F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG nên \(BF = FG = \frac{1}{2}BG\), \(CH = HG = \frac{1}{2}CG\)
Do đó DG = BF = FG, EG = CH = HG.
Suy ra, G là trung điểm của FD, G là trung điểm của EH.
Tứ giác EFHD có hai đường chéo EH và DF cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên EFHD là hình bình hành.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.
Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác EFHD là hình vuông.
Để hình bình hành EFHD là hình vuông thì EH = DF và EH ⊥ DF.
Suy ra BG = CG, EG = DG và BD ⊥ CE.
Xét ∆BEG và ∆CDG có:
BG = CG, \(\widehat {EGB} = \widehat {DGC}\)(đối đỉnh), EG = DG
Do đó ∆BEG = ∆CDG (c.g.c). Suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)
Mà BD, CE là các đường trung tuyến của ∆ABC nên E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC
Suy ra AB = 2BE, AC = 2CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC
Dễ thấy, nếu AB = AC và BD ⊥ CE thì tứ giác EFHD là hình vuông.
Vậy tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau thì tứ giác EFHD là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.
Chứng minh AE = AM = FM.
Do ABCD là hình vuông nên AB = AD, \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC} = 90^\circ \)
Ta có: \(\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = 180^\circ \)(2 góc kề bù) nên \(\widehat {ABM} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Xét ∆ADE và ∆ABM có:
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABM} = 90^\circ \), AD = AB, DE = BM
Do đó ∆ADE = ∆ABM (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AE = AM(1) và \(\widehat {DAE} = \widehat {BAM}\).
Do AF là tia phân giác của \(\widehat {BAE}\) nên \(\widehat {EAF} = \widehat {BAF}\).
Suy ra \(\widehat {DAE} + \widehat {EAF} = \widehat {BAM} + \widehat {BAF}\) hay \(\widehat {DAF} = \widehat {MAF}\).
Mà \(\widehat {DAF} = \widehat {MFA}\) (hai góc so le trong do AD // BC), suy ra \(\widehat {MFA} = \widehat {MAF}\).
Do đó, tam giác MAF cân tại M nên AM = FM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE = AM = FM.
Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.
Tính độ dài BF.
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ADE vuông tại D, ta có: AE2 = AD2 + DE2
Suy ra AE2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
Do đó AE = 13 cm.
Mà FM = AE, suy ra FM = 13 cm.
Ta có: FM = BM + BF.
Mà BM = DE = 5 cm và FM = 13 cm
Suy ra BF = FM – BM = 13 ‒ 5 = 8 cm.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Chứng minh tam giác AEF là tam giác vuông cân.
Do ABCD là hình vuông nên AB = AD, \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 180^\circ \)nên \(\widehat {ABF} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Xét ∆ADE và ∆ABF có:
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABF} = 90^\circ \), AD = AB, DE = BF
Do đó ∆ADE = ∆ABF (c.g.c).
Suy ra AE = AF và \(\widehat {DAE} = \widehat {BAF}\).
Từ đó ta có \(\widehat {DAE} + \widehat {BAE} = \widehat {BAF} + \widehat {BAE}\)
Hay \(\widehat {BAD} = \widehat {EAF}\). Do đó \(\widehat {EAF} = 90^\circ \).
Tam giác AEF có \(\widehat {EAF} = 90^\circ \), AE = AF nên tam giác AEF vuông cân tại A.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Gọi I là trung điểm của EF. Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IK = IA. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
Do IK = IA nên I là trung điểm của AK.
Tứ giác AEKF có hai đường chéo AK, EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên AEKF là hình bình hành.
Hình bình hành AEKF có \(\widehat {EAF} = 90^\circ \) nên AEKF là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật AEKF có AE = AF nên AEKF là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Chứng minh I thuộc đường thẳng BD.
Từ điểm F kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường thẳng BD tại M.
Do ABCD là hình vuông nên \(\widehat {CBD} = \frac{{\widehat {CBA}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Mà \(\widehat {FBM} = \widehat {CBD}\) (hai góc đối đỉnh), suy ra \(\widehat {FBM} = 45^\circ \).
Do MF // CD nên \(\widehat {BFM} = \widehat {BCD} = 90^\circ \) (cặp góc so le trong).
Tam giác FBM có \(\widehat {BFM} = 90^\circ \) và \(\widehat {FBM} = 45^\circ \) nên tam giác FBM vuông cân tại F.
Suy ra MF = BF.
Mà BF = DE, suy ra MF = DE.
Tứ giác DEMF có MF = DE và MF // DE nên DEMF là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của EF, suy ra I là trung điểm của DM.
Vậy I thuộc đường thẳng DM hay I thuộc đường thẳng BD.
