Lời giải

Đáp án đúng là: D

Cách 1:

Giả sử điểm A(x₀; y₀) là giao điểm của d₁ và d₂.

Do A(x₀; y₀) thuộc d₁ nên ta có \[{y_0} = \frac{{1 - 3{x_0}}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\]

Do A(x₀; y₀) thuộc d₂ nên ta có \({y_0} = - \left( {\frac{{{x_0}}}{3} + 1} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\[\frac{{1 - 3{x_0}}}{4} =  - \left( {\frac{{{x_0}}}{3} + 1} \right)\]

Suy ra \[\frac{1}{4} - \frac{3}{4}{x_0} = - \frac{{{x_0}}}{3} - 1\]

Do đó \[ - \frac{3}{4}{x_0} + \frac{{{x_0}}}{3} = - 1 - \frac{1}{4}\]

Hay \[\frac{{ - 5}}{{12}}{x_0} = \frac{{ - 5}}{4}\]

Suy ra: x₀ = 3

Thay x₀ = 3 vào (1) ta có: \[{y_0} = \frac{{1 - 3.3}}{4} = \frac{{ - 8}}{4} = - 2\]

Vậy toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là: A(3; ‒2).

Cách 2:

• Xét điểm (0; ‒1)

Với x = 0, thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{1}{4}\), nên đường thẳng d₁ không đi qua điểm (0; ‒1). Do đó phương án A là sai.

• Xét điểm \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\)

Với \(x = - \frac{7}{3}\), thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{{1 - 3.\left( { - \frac{7}{3}} \right)}}{4} = \frac{{1 + 7}}{4} = \frac{8}{4} = 2\), nên đường thẳng d₁ đi qua điểm \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\).

Với \(x = - \frac{7}{3}\), thay vào \(y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) ta được \(y = - \left( {\frac{{ - \frac{7}{3}}}{3} + 1} \right) = - \left( { - \frac{7}{9} + 1} \right) = - \frac{2}{9}\), nên đường thẳng d₂ không đi qua điểm \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\).

Do đó phương án B là sai.

• Xét điểm \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\)

Với x = 0, thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{1}{4}\), nên đường thẳng d₁ đi qua điểm \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\).

Với x = 0, thay vào \(y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) ta được y = –1, nên đường thẳng d₂ không đi qua điểm \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\).

Do đó phương án C là sai.

• Xét điểm (3; ‒2)

Với x = 3, thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{{1 - 3.3}}{4} = \frac{{1 - 9}}{4} = \frac{{ - 8}}{4} = - 2\), nên đường thẳng d₁ đi qua điểm (3; ‒2).

Với x = 3, thay vào \(y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) ta được \(y = - \left( {\frac{3}{3} + 1} \right) = - 2\), nên đường thẳng d₂ đi qua điểm (3; ‒2).

Do đó phương án D là đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Do đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên a = 2 (thoả mãn) và b ≠ 1.

Mà đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(1; 4) suy ra 4 = 2.1 + b hay b = 2 (thoả mãn).

Suy ra tích a.b là 2.2 = 4.

Lời giải

a) Ta có: A(‒2; 0), B(0; 4).

b) Ta vẽ các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB như hình vẽ:

Từ đó ta có: M(‒1; 0), N(0; 2).

c) Do A, B lần lượt nằm trên Ox, Oy nên tam giác OAB vuông tại O.

Do đó diện tích của tam giác OAB là: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB\).

Mà M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB nên \(OM = \frac{1}{2}OA,ON = \frac{1}{2}OB\).

Do M, N lần lượt nằm trên Ox, Oy nên tam giác OMN vuông tại O nên ta có diện tích của tam giác OMN bằng:

\({S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}OA \cdot \frac{1}{2}OB = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot OA.OB = \frac{1}{4}{S_{\Delta OAB}}\)

Vậy tỉ số phần trăm của diện tích tam giác \(OMN\) và diện tích tam giác \(OAB\) là:

\(\frac{{\frac{1}{4}{S_{\Delta OAB}}}}{{{S_{\Delta OAB}}}}.100\% = 25\% \).

Lời giải

a) Để d song song với d₁ thì \(m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}m\) và \(2m - 2 \ne - 2\).

Suy ra \(\frac{1}{2}m = \frac{1}{2}\) và \(2m \ne 0\)

Do đó m = 1 và m ≠ 0. Vì vậy m = 1.

Dễ thấy với m = 1 ta có d và d₁ trở thành \(d:y = \frac{1}{2}x\) và \({d_1}:y = \frac{1}{2}x - 2\). Khi đó, d song song với d₁.

b)  Để đường thẳng d trùng với đường thẳng \({d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2\) thì \[m - \frac{1}{2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\] và \[2m - 2 = - \frac{2}{3}m + 2\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) ta có \(m = \frac{3}{2}\)   (3);

Từ (2) ta có \(\frac{8}{3}m = 4\), do dó \(m = 4:\frac{8}{3} = \frac{3}{2}\)   (4).

Từ (3) và (4) ta được \(m = \frac{3}{2}\).

c) Với x = 0 thay vào \(d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2\) ta có: y = 2m – 2. Do đó đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm A(0; 2m ‒ 2).

Với x – 0 thay vào \({d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2\) ta có y = –m + 2. Do đó đường thẳng d₃ cắt trục Oy tại điểm B(0; ‒m + 2).

Để hai đường thẳng d và d₃ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy thì \(m - \frac{1}{2} \ne \sqrt 2 \,\,\,\left( * \right)\) và điểm A trùng điểm B (**)

Từ (*) ta có \(m \ne \sqrt 2 + \frac{1}{2}\);

Từ (**) ta có 2m ‒ 2 = ‒m + 2, do đó 3m = 4. Suy ra \(m = \frac{4}{3}\) (thỏa mãn).

Dễ thấy với \(m = \frac{4}{3}\) ta có d và d₃ trở thành \(d:y = \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}\) và \({d_3}:y = \sqrt 2 x + \frac{2}{3}\). Khi đó, d và d₃ cắt nhau tại điểm \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\) nằm trên trục Oy.

Lời giải

a) Do đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) song song với đường thẳng  \(d':y = - 3x - \frac{2}{3}\) nên a = ‒3 (thoả mãn) và \(b \ne - \frac{2}{3}\).

Mà đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(‒2; ‒4) suy ra ‒4 = ‒3.(‒2) + b hay b = ‒10 (thoả mãn).

Do đó, đường thẳng cần tìm là y = ‒3x ‒ 10.

b) Đường thẳng d có hệ số góc bằng ‒3 nên y = ‒3x + b.

Với y = 0 vào y = 2x – 2 ta được 2x – 2 = 0, suy ra x = 1.

Do đó B là giao điểm của đường thẳng y = 2x – 2 với trục hoành nên B(1; 0).

Do đường thẳng d đi qua điểm B(1; 0) nên thay x = 1, y = 0 vào y = ‒3x + b ta có:

0 = ‒3.1 + b

Suy ra b = 3

Từ đó, ta tìm được d: y = –3x + 3.

Lời giải

a) • Xét hàm số: y = x + 5

Với x = 0, ta có y = 5;        

Với y = 0, ta có x = ‒5.

Do đó, đồ thị của hàm số y = x + 5 đi qua 2 điểm (0; 5) và (‒5; 0).

• Xét hàm số: y = ‒x + 1

Với x = 0, ta có y = 1;        

Với y = 0, ta có x = 1.

Do đó, đồ thị của hàm số y = ‒x + 1 đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; 0).

b)

Gọi H là hình chiếu của A trên trục Ox.

Ta có A(‒2; 3), B(‒5; 0), C(1; 0), H(‒2; 0). Khi đó AH = 3 cm, BC = 6 cm.

Vậy diện tích của tam giác ABC là: \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).