Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án
6 câu hỏi
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = −1.
b) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2.
c) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0).
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0.a + b = 2\\2a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = - 1\end{array} \right.\).
Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 2.
d) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên.
Đường tiệm cận xiên thứ nhất y = a1x + b1 đi qua hai điểm có tọa độ (0; −3) và (4; 0).
Giải hệ phương trình, ta được: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1}.0 + {b_1} = - 3\\{a_1}.4 + {b_1} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = \frac{3}{4}\\{b_1} = - 3\end{array} \right.\\\end{array}\).
Do đó, đường tiệm cận xiên thứ nhất là y = \(\frac{3}{4}x - 3.\)
Đường tiệm cận xiên thứ hai y = a2x + b2 đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (4; 0).
Giải hệ phương trình, ta được: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_2}.0 + {b_2} = 3\\{a_2}.4 + {b_2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - \frac{3}{4}\\{b_1} = 3\end{array} \right.\\\end{array}\).
Do đó, đường tiệm cận xiên thứ hai là: y = \( - \frac{3}{4}x + 3.\)
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x - 5}}{{2x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{2x}}{{x - 3}}\);
c) \(y = - \frac{6}{{3x + 2}}\).
a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} = + \infty \).
Do đó, đường thẳng x = \( - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\).
Do đó, đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\) là tiệm ngang của đồ thị hàm số.
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{x - 3}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{x - 3}} = 2\).
Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{2}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{2}{3}}^ + }} \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{2}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{2}{3}}^ - }} \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) = + \infty \).
Do đó, đường thẳng x = \( - \frac{2}{3}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) = 0\).
Do đó, đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = 2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}\);
b) \(y = \frac{{ - 3{x^2} + 16x - 3}}{{x - 5}}\);
c) \(y = \frac{{ - 6{x^2} + 7x + 1}}{{3x + 1}}\).
a) \(y = 2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 3}} = 0\).
Do đó, đường thẳng y = 2x + 1laf tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b) Ta có: \(y = \frac{{ - 3{x^2} + 16x - 3}}{{x - 5}}\) = −3x + 1 + \(\frac{2}{{x - 5}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \left( { - 3x + 1 + \frac{2}{{x - 5}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( { - 3x + 1 + \frac{2}{{x - 5}}} \right) = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 3x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 5}} = 0\).
Do đó, đường thẳng y = −3x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
c) Ta có: \(y = \frac{{ - 6{x^2} + 7x + 1}}{{3x + 1}}\) = −2x + 3 – \(\frac{2}{{3x + 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ + }} \left( { - 2x + 3 - \frac{2}{{3x + 1}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ - }} \left( { - 2x + 3 - \frac{2}{{3x + 1}}} \right) = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = \( - \frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 2}}{{3x + 1}} = 0\).
Do đó, đường thẳng y = −2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}\);
b) y = \(\sqrt {{x^2} - 16} \).
a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty \).
Do đó, đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1\).
Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right] = 0\).
Do đó, đường thẳng y = −x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right] = 0\).
Do đó, đường thẳng y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chi phí để làm sạch p% lượng dầu loang từ một sự cố trên biển có thể được xấp xỉ bởi công thức
C(p) = \(\frac{{2000p}}{{100 - p}}\) (tỉ đồng).
a) Tính chi phí để làm sạch 95%, 96%, 97%, 98% và 99% lượng dầu loang.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số C(p).
a) Ta có: C(95) = \(\frac{{2000.95}}{{100 - 95}} = 38000\) tỉ đồng.
C(96) = \(\frac{{2000.96}}{{100 - 96}} = 48000\) tỉ đồng.
C(97) = \(\frac{{2000.97}}{{100 - 97}} = \frac{{194000}}{3}\) tỉ đồng.
C(98) = \(\frac{{2000.98}}{{100 - 98}} = 96000\)tỉ đồng.
C(99) = \(\frac{{2000.99}}{{100 - 99}} = 198000\) tỉ đồng.
b) Ta có: C(p) = \(\frac{{2000p}}{{100 - p}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ + }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ + }} \frac{{2000p}}{{100 - p}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{2000p}}{{100 - p}} = - \infty \).
Do đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng p = 100.
Hằng tháng, một công ty chuyên sản xuất mặt hàng A phải trả chi phí cố định là 50 triệu đồng (để thuê mặt bằng và lương nhân viên) và chi phí cho nguyên liệu là 10 000x (đồng) với x là số lượng sản phẩm A được nhập về.
a) Viết công thức tính chi phí trung bình \(\overline C (x)\) mà công ty cần chi phí để sản xuất một sản phẩm.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(\overline C (x)\).
a) Ta có: \(\overline C (x) = \frac{{50000000 + 10000x}}{x} = \frac{{50000000}}{x} + 10000\).
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) = 10000\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) = 10000\)
Do đó, đường thẳng y = 10 000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
