Ta có \({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{\pi }{2} = 0\); \({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{7\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{9\pi }}{6} = 0\);

\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{11\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); 0; \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có

\({u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 13} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)

\( = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}\) với mọi n ≥ 1.

Vì u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1 nên

u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₂₇ = 4 . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆) + u₁ + u₂ + u₃

= \(4.\left[ {0 + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right] + 0 + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

= \( - \sqrt 3 \).

Ta có: \({u_1} = {S_1} = \frac{{1.\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 3\).

Vì \({u_1} + {u_2} = {S_2} = \frac{{2.\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} = - 11\) nên u₂ = S₂ – u₁ = – 11 – (– 3) = – 8.

Vì \({S_2} + {u_3} = {S_3} = \frac{{3\left( { - 1 - 5.3} \right)}}{2} = - 24\) nên u₃ = S₃ – S₂ = – 24 – (– 11) = – 13.

Ta có: u_n = S_n – S_{n – 1} = \(\frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left[ { - 1 - 5\left( {n - 1} \right)} \right]}}{2}\)

\( = \frac{{ - n - 5{n^2} - \left( {n - 1} \right)\left( { - 1 - 5n + 5} \right)}}{2}\)\( = \frac{{ - n - 5{n^2} - \left( { - n - 5{n^2} + 5n + 1 + 5n - 5} \right)}}{2}\)

\( = \frac{{ - 10n + 4}}{2} = 2 - 5n\).

Vậy u_n = 2 – 5n.

Ta có: u_n – u_{n – 1} = (2 – 5n) – [2 – 5(n – 1)] = – 5, với mọi n ≥ 2.

Ta có u₁ = 1, u₂ = 2, u₃ = u_{2 + 1} = 2u₂ – u_{2 – 1} + 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u₄ = u_{3 + 1} = 2u₃ – u_{3 – 1} + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u₅ = u_{4 + 1} = 2u₄ – u_{4 – 1} + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

Từ công thức u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 suy ra u_{n + 1} – u_n = u_n – u_{n – 1} + 2.

Mà v_n = u_{n + 1} – u_n và v_{n – 1} = u_{n – 1 + 1} – u_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}.

Do đó, v_n = v_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

Từ kết quả câu b, ta có: v_n = v₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁ = u₂ – u₁

          v₂ = u₃ – u₂

          ...

          v_{n – 2} = u_{n – 1} – u_{n – 2}

          v_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁ + v₂ + ... + v_{n – 2} + v_{n – 1} = – u₁ + u_n  

          \( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{v_1} + {v_{n - 1}}} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)

          \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {1 + \left( { - 1 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)

          ⇔ (n – 1)² = u_n – 1

          ⇔ u_n = 1 + (n – 1)².

Vậy u_n = 1 + (n – 1)² và v_n = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ^*.

Ta có \({v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2\);

\({v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \left( {\frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}} \right):\left( {n + 1} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}\) với mọi n ∈ ℕ^*.

Từ kết quả của câu a) suy ra \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right).{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}}\).

Từ \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\), suy ra \({u_n} = n.{v_n} = - n.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}}\) với mọi n ≥ 2.

Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:

1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).

Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:

1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,75² = 675 (triệu đồng).

Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:

1 200 . 0,75⁵ ≈ 285 (triệu đồng).

Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:

\(1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9};\,1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^2} = \frac{{17}}{{81}};\,1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^3} = \frac{{217}}{{729}}\).

Gọi S_n là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Ta có: S_n = 1 – \({\left( {\frac{8}{9}} \right)^n}\).