22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương II (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{1}{n}\). Khẳng định nào đúng?
Dãy số (un) có \({u_6} = \frac{1}{6}\).
Dãy số (un) là dãy số tăng.
Dãy số (un) là dãy số không tăng không giảm.
Dãy số (un) là dãy số tăng, bị chặn trên.
A
Ta có \({u_6} = \frac{1}{6}\).
Vì \(0 < \frac{1}{n} \le 1\) nên dãy số (un) là dãy bị chặn.
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{n}\).
\({u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\).
\({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\).
D
Xét dãy \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\).
Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{2n + 3}}\).
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{2n + 3}} - \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} - \left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Do đó dãy \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\) là dãy tăng.
u3 = 4.
u3 = 2.
u3 = −5.
u3 = −7.
C
Ta có d = u2 – u1 = −1 – 3 = −4.
Khi đó u3 = u1 + 2d = 3 + 2.(−4) = −5.
S16 = 24.
S16 = 26.
S16 = 25.
S16 = 20.
A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).
Khi đó \({S_{16}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {16 - 1} \right)d} \right].16}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2.\left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right).3} \right].16}}{2} = 24\).
q = 2.
q = 3.
q = 6.
q = 4.
B
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_6} = 486\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1}{q^5} = 486\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\2{q^5} = 486\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{q^5} = 243\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 3\end{array} \right.\).
un = 7 – 3n.
un = 7.3n.
\({u_n} = \frac{7}{{3n}}\).
un = 7 – 3n.
B
Xét dãy số (un) có un = 7.3n Þ un + 1 = 7.3n + 1.
Khi đó \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3\) Þ un + 1 = 3un.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 7.3n là một cấp số nhân với công bội q = 3.
d = 7.
d = 5.
d = 8.
d = 6.
D
Ta có u6 = u1 + 5d = 27 Þ d = 6.
2 − 211.
211 – 1.
211 – 2.
211.
C
Ta có u1 = 2, u2 = 22 Þ công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\).
Khi đó \({S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2.\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = {2^{11}} - 2\).
u37 = 366.
u37 = 352.
u37 = 376.
u37 = 356.
D
Ta có u37 = u1 + 36d = −4 + 36.10 = 356.
un = 2n + 3.
un = 2n + 1.
un = 2n – 3.
un = 2n – 1.
D
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).
Ta có un = u1 + (n – 1).2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1.
u2023 = 42024.
u2023 = 22024.
u2023 = 42023.
u2023 = 22023.
D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_1} = 10\\{u_6} + {u_4} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2} + {u_1} = 10\\{u_1}{q^5} + {u_1}{q^3} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^2} + 1} \right) = 10\\{u_1}{q^3}\left( {{q^2} + 1} \right) = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^2} + 1} \right) = 10\\10{q^3} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 2\end{array} \right.\).
Khi đó u2023 = u1.q2022 = 2.22022 = 22023.
S31 = 600.
S31 = 775.
S31 = 50.
S31 = 1550.
B
Ta có u7 + u25 = 50 Û u1 + 6d + u31 – 6d = 50 Û u1 + u31 = 50.
Khi đó \({S_{31}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{31}}} \right).31}}{2} = \frac{{50.31}}{2} = 775\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\).
a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).
b) un + 1 < un, ∀n ∈ ℕ*.
c) Dãy số (un) là dãy số giảm.
d) Dãy (un) là dãy số bị chặn.
a) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)\[ = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
\[ = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\]\[ = \frac{1}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\].
b) Theo câu a, suy ra un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.
c) Dãy (un) là dãy số tăng.
d) Có \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}*\) mà un > 0, \(\forall n \in \mathbb{N}*\) nên (un) dãy số bị chặn.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Anh An đang tập đầu tư chứng khoán. Ở cuối mỗi lần đầu tư, anh An hoặc mất hết tiền đã đầu tư hoặc lời bằng số tiền đã bỏ ra. Ví dụ nếu anh An đầu tư a đồng, anh An sẽ mất a đồng nếu lỗ và sẽ có a đồng tiền lãi nếu lời.
Lần đầu tiên anh đầu tư 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đầu tư gấp đôi lần trước. Anh An lỗ 9 lần liên tiếp và lời ở lần thứ 10.
a) Số tiền đầu tư lần thứ hai là 400000 đồng.
b) Số tiền anh An lỗ lần thứ 9 là 5120000 đồng.
c) Số tiền đã thua trong 5 lần đầu là 620000 đồng.
d) Sau lần thứ 10 thì anh An hòa vốn.
Số tiền đầu tư mỗi lần được tính theo cấp số nhân với u1 = 20000 và q = 2.
a) Số tiền đầu tư lần thứ hai là u2 = 20000.2 = 40000 đồng.
b) Số tiền anh lỗ ở lần thứ 9 là u9 = u1.q8 = 20000.28 = 5120000 đồng.
c) Số tiền đã lỗ trong 5 lần đầu là:
\({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 620000\).
d) Vì anh An lỗ hết cả 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền lỗ là:
\({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000\).
Số tiền anh lời trong lần thứ 10 là: u10 = u1.q9 = 10240000.
Ta có u10 – S9 = 20000 > 0 nên anh An lời 20000.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một khán đài của sân vận động A có n hàng ghế, số ghế mỗi hàng trên đều hơn số ghế mỗi hàng dưới kề nó là 50 ghế; số ghế hàng trên cùng gấp đôi số ghế hàng dưới cùng của khán đài; tổng số ghế của 2 hàng trên cùng là 1550 ghế. Gọi un là số ghế hàng thứ n.
a) Khán đài có 9 hàng ghế.
b) (un) là một cấp số cộng có công sai d = 50.
c) u1 = 2un.
d) Sức chứa của khán đài là 4500 chỗ ngồi.
Số ghế của mỗi hàng lập thành 1 cấp số cộng với công sai d = 50.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 2{u_1}\\{u_n} + {u_{n - 1}} = 1550\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + \left( {n - 1} \right).50 = 2{u_1}\\{u_1} + \left( {n - 1} \right).50 + {u_1} + \left( {n - 2} \right).50 = 1550\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {u_1} + 50n = 50\\2{u_1} + 100n = 1700\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {u_1} + 50n = 50\\{u_1} + 50n = 850\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\n = 9\end{array} \right.\).
Sức chứa của khán đài là \({S_9} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {9 - 1} \right).50} \right].9}}{2} = \frac{{\left[ {2.400 + \left( {9 - 1} \right).50} \right].9}}{2} = 5400\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn \({u_2} = \frac{3}{4};{u_3} = \frac{{ - 3}}{8}\).
a) Số hạng đầu \({u_1} = - \frac{3}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
b) (un) là dãy số tăng.
c) Số hạng tổng quát là \({u_n} = - \frac{3}{2}{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
d) Số hạng \({u_5} = - \frac{3}{{32}}\).
a) Ta có \(q = {u_3}:{u_2} = \left( {\frac{{ - 3}}{8}} \right):\frac{3}{4} = \frac{{ - 1}}{2}\); \({u_1} = {u_2}:q = \frac{3}{4}:\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = - \frac{3}{2}\).
b) Ta có \({u_1} = - \frac{3}{2};{u_2} = \frac{3}{4};{u_3} = - \frac{3}{8};{u_4} = \frac{3}{{16}}\)
Do đó dãy này không tăng không giảm.
c) Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - \frac{3}{2}} \right).{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
d) \({u_5} = \left( { - \frac{3}{2}} \right).{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^4} = - \frac{3}{{32}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Một ruộng bậc thang có thửa ruộng thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 600 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,1 m. Kí hiệu un là chiều cao của thửa ruộng ở bậc thứ n so với mực nước biển (đơn vị là mét).
a) u1 =601,1.
b) (un) là một cấp số cộng với công sai d = 1,1.
c) Thửa ruộng ở bậc thứ 8 có chiều cao so với mực nước biển là 608,8 m.
d) Tổng chiều cao 50 m thửa ruộng đầu tiên so với mực nước biển bằng 31347,5 m.
a) Theo đề u1 = 600.
b) (un) là một cấp số cộng với công sai d = 1,1.
c) Ta có u8 = u1 + 7d = 600 +7.1,1 = 607,7 m.
d) Ta có \({S_{50}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {50 - 1} \right).1,1} \right].50}}{2} = \frac{{\left[ {2.600 + \left( {50 - 1} \right).1,1} \right].50}}{2} = 31347,5\) m.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau:
Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có \(10\) tầng?
Ta có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 4\).
Suy ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp \(10\) tầng là \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 39\).
Từ đó số que diêm để xếp được hình tháp \(10\) tầng là \({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{10\left( {3 + 39} \right)}}{2} = 210\).
Trả lời: 210.
Cấp số nhân \(2;\,8;x;128\) theo thứ tự đó sẽ là \({u_1};\,{u_2};\,{u_3};\,{u_4}\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{2} = \frac{x}{8}\\\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x = - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32\).
Trả lời: 32.
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_4} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.\). Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng trên.
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_4} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d - {u_1} - 3d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un = u1 + (n – 1).2 = 1 + 2(n – 1) = 2n – 1.
Theo đề có 2n – 1 = 11 Û n = 6.
Trả lời: 6.
Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra công thức tính cân nặng lí tưởng theo tuổi ở trẻ em từ 2 tuổi đến 12 tuổi là un = 2n + 8, trong đó n là số tuổi của trẻ và un là cân nặng lí tưởng đơn vị kilôgam. Hỏi theo công thức trên thì cân nặng lí tưởng của trẻ 6 tuổi là bao nhiêu kilôgam?
Ta có u6 = 2.6 + 8 = 20.
Trả lời: 20.
Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1; 3; 5; … từ trên xuống. Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?
Số hộp sơn ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u1 = 1 và d = 2.
Theo đề ta có Sn = 1089 \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.{u_1} + \left( {n - 1} \right)2} \right].n}}{2} = 1089\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)2} \right].n}}{2} = 1089\)
\( \Leftrightarrow {n^2} = 1089\)Û n = 33.
Để xếp 1089 hộp sơn thì cần 33 hàng.
Ta có u33 = u1 + 32d = 1 + 32.2 = 65.
Vậy hàng cuối cùng có 65 hộp sơn.
Trả lời: 65.
