Giải SBT Toán 10 Bài 1. Hàm số và đồ thị có đáp án
13 câu hỏi
Tập xác định của các hàm số sau:
f(x) = \(\frac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x - 5} }}\);
Hướng dẫn giải
Biểu thức \(\frac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x - 5} }}\) có nghĩa khi 2x – 5 > 0 hay x > \(\frac{5}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số là D = \(\left( {\frac{5}{2};\,\, + \infty } \right)\).
f(x) = \(\frac{{2 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right)}}\);
Hướng dẫn giải
Biểu thức \(\frac{{2 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right)}}\) có nghĩa khi (x + 3)(x – 7) ≠ 0 ⇒ x ≠ – 3 và x ≠ 7.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {– 3; 7}.
Hàm số lấy giá trị bằng 1 khi x < 0 nên hàm số xác định với mọi x < 0.
Khi x ≥ 0, hàm số xác định khi và chỉ khi x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {3}.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\\x + 2\,\,\,khi\,\,x > 2;\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
+ Vẽ đồ thị hàm số g(x) = x2 và giữ lại phần đồ thị ứng với x ≤ 2:
Đồ thị hàm số g(x) = x2 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng là trục Oy, đồ thị có bề lõm hướng lên trên, đi qua các điểm (1; 1), (– 1; 1), (2; 4), (– 2; 4).
Ta giữ lại phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x = 2:
+ Vẽ đồ thị hàm số h(x) = x + 2 và giữ lại phần đồ thị ứng với x > 2.
Đồ thị hàm số h(x) = x + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 2) và (– 2; 0).
Ta giữ lại phần đường thẳng nằm bên phải đường thẳng x = 2.
Ta được đồ thị cần vẽ như hình sau:
f(x) = |x + 3| – 2.
Với x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 3, ta có: |x + 3| – 2 = x + 3 – 2 = x + 1.
Với x + 3 < 0 ⇔ x < – 3, ta có: |x + 3| – 2 = – (x + 3) – 2 = – x – 3 – 2 = – x – 5.
Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge - 3\\ - x - 5\,\,\,\,khi\,\,x < - 3\end{array} \right.\).
Ta vẽ đồ thị hàm số g(x) = x + 1 và giữ lại phần đồ thị ứng với x ≥ – 3: Đồ thị hàm số g(x) = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 1) và (– 1; 0).
Ta vẽ đồ thị hàm số h(x) = – x – 5 và giữ lại phần đồ thị ứng với x < – 3: Đồ thị hàm số h(x) = – x – 5 là đường thẳng đi qua hai điểm (– 5; 0) và (– 3; – 2).
Ta được đồ thị của hàm số cần vẽ như hình sau:
Trong kinh tế thị trường, lượng cầu và lượng cung là hai khái niệm quan trọng. Lượng cầu chỉ khả năng về số lượng sản phẩm cần mua của bên mua (người dùng), tùy theo đơn giá bán sản phẩm; còn lượng cung chỉ khả năng cung cấp số lượng sản phẩm này cho thị trường của bên bán (nhà sản xuất) cũng phụ thuộc vào đơn giá sản phẩm.
Người ta khảo sát nhu cầu của thị trường đối với sản phẩm A theo đơn giá của sản phẩm này và thu được bảng sau:
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: nghìn đồng) | 10 | 20 | 40 | 70 | 90 |
Lượng cầu (nhu cầu về số sản phẩm) | 338 | 288 | 200 | 98 | 50 |
Hãy cho biết tại sao bảng giá trị trên xác định một hàm số? Hãy tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số đó (gọi là hàm cầu).
Hướng dẫn giải
Từ bảng đã cho ta có thể thấy với mỗi mức đơn giá, đều có duy nhất một giá trị về lượng cầu. Do vậy bảng giá trị cho ở đề bài xác định một hàm số.
Hàm số này có tập xác định D = {10; 20; 40; 70; 90} và có tập giá trị T = {338; 288; 200; 98; 50}.
Giả sử lượng cung của sản phẩm A tuân theo công thức \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{50}}\), trong đó x là đơn giá sản phẩm A và y là lượng cung ứng với đơn giá này. Hãy điền các giá trị của hàm số f(x) (gọi là hàm cung) vào bảng sau:
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: nghìn đồng) | 10 | 20 | 40 | 70 | 90 |
Lượng cung (khả năng cung cấp về số sản phẩm) |
|
|
|
|
|
Hướng dẫn giải
Ta có hàm cung: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{50}}\).
Với x = 10 thì \(y = f\left( {10} \right) = \frac{{{{10}^2}}}{{50}} = 2\);
Với x = 20 thì \(y = f\left( {20} \right) = \frac{{{{20}^2}}}{{50}} = 8\);
Với x = 40 thì \(y = f\left( {40} \right) = \frac{{{{40}^2}}}{{50}} = 32\);
Với x = 70 thì \(y = f\left( {70} \right) = \frac{{{{70}^2}}}{{50}} = 98\);
Với x = 90 thì \(y = f\left( {90} \right) = \frac{{{{90}^2}}}{{50}} = 162\);
Vậy ta điền được bảng sau:
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: nghìn đồng) | 10 | 20 | 40 | 70 | 90 |
Lượng cung (khả năng cung cấp về số sản phẩm) | 2 | 8 | 32 | 98 | 162 |
Hướng dẫn giải
Từ hai bảng giá trị của lượng cung và lượng cầu, ta tìm được giá trị x = 70 thì lượng cung và lượng cầu đều bằng 98.
Vậy thị trường của sản phẩm A cân bằng khi đơn giá của sản phẩm A là 70 000 (đồng).
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
\(f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}\);
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}.
+ Xét khoảng (– ∞; – 5):
Lấy hai số x1, x2 tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x1 < x2.
Ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ - {x_1} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_2} - 5}}\)\( = \frac{{ - {x_2} - 5 - \left( { - {x_1} - 5} \right)}}{{\left( { - {x_1} - 5} \right)\left( { - {x_2} - 5} \right)}}\)\( = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\).
Vì x1, x2 ∈ (– ∞; – 5) nên x1 + 5 < 0 và x2 + 5 < 0.
Lại có: x1 < x2 nên x1 – x2 < 0.
Do đó, f(x1) – f(x2) \( = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\) < 0 hay f(x1) < f(x2).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5). (1)
+ Xét khoảng (– 5; + ∞):
Lấy hai số x3, x4 tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x3 < x4.
Ta có: \(f\left( {{x_3}} \right) - f\left( {{x_4}} \right) = \frac{1}{{ - {x_3} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_4} - 5}}\)\( = \frac{{ - {x_4} - 5 - \left( { - {x_3} - 5} \right)}}{{\left( { - {x_3} - 5} \right)\left( { - {x_4} - 5} \right)}}\)\( = \frac{{{x_3} - {x_4}}}{{\left( {{x_3} + 5} \right)\left( {{x_4} + 5} \right)}}\).
Vì x3, x4 ∈ (– 5; + ∞) nên x3 + 5 > 0 và x4 + 5 > 0.
Lại có: x3 < x4 nên x3 – x4 < 0.
Do đó, f(x3) – f(x4) \( = \frac{{{x_3} - {x_4}}}{{\left( {{x_3} + 5} \right)\left( {{x_4} + 5} \right)}}\) < 0 hay f(x1) < f(x2).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞). (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; + ∞).
Hướng dẫn giải
Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ \(\frac{1}{3}\), ta có: |3x – 1| = 3x – 1.
Với 3x – 1 < 0 hay x < \(\frac{1}{3}\), ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1.
Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge \frac{1}{3}\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x < \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\) và của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\).
+ Lấy hai số x1, x2 tùy ý thuộc khoảng \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\) sao cho x1 < x2:
Ta có: f(x1) – f(x2) = (3x1 – 1) – (3x2 – 1) = 3(x1 – x2) < 0 (do x1 < x2 nên x1 – x2 < 0).
Suy ra f(x1) < f(x2).
Vậy hàm số g(x) đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\) hay f(x) đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\). (1)
+ Lấy hai số x3, x4 tùy ý thuộc khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) sao cho x3 < x4:
Ta có: f(x3) – f(x4) = (– 3x3 + 1) – (– 3x4 + 1) = 3(x4 – x3) > 0 (do x3 < x4 nên x4 – x3 > 0).
Suy ra f(x3) > f(x4).
Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) hay f(x) nghịch biến khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Quan sát Hình 3 ta thấy:
- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ (– 1; 1) đến điểm có tọa độ (1; 4) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; 1);
- Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ điểm có tọa độ (1; 4) đến điểm có tọa độ (5; – 2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5);
- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ (5; – 2) đến điểm có tọa độ (9; 6) nên hàm số đồng biến trên khoảng (5; 9).
Vậy hàm số có đồ thị như Hình 3 đồng biến trên các khoảng (– 1; 1) và (5; 9), nghịch biến trên khoảng (1; 5).
Vẽ đồ thị hàm số sau:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < - 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 \le x < 1\\{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1.\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta vẽ đồ thị hàm số g(x) = – x + 1 trên khoảng (– ∞; – 1), đồ thị hàm số h(x) = 1 trên nửa khoảng [– 1; 1), đồ thị hàm số k(x) = x2 trên nửa khoảng [1; + ∞).
Khi đó ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:
Hướng dẫn giải
Hai đường biểu diễn ở Hình b và Hình c không phải là đồ thị hàm số vì ứng với một giá trị của x, có đến hai (hay nhiều) giá trị khác nhau của y (quan sát trên hình sau).
