Bài tập Hàm số và đồ thị có đáp án

Nhiệt độ là hàm số của thời gian. Vì với mỗi thời gian ta xác định được duy nhất một nhiệt độ tương ứng.

a) Gọi A là tập hợp các mốc giờ đã có dự báo nhiệt độ, khi đó:

A = {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22}.

b) Gọi B là tập hợp các số đo nhiệt độ đã được dự báo, khi đó:

B = {28; 27; 32; 31; 29; 27}.

c) Theo bảng 1 và hình 1 ta thấy nhiệt độ vào lúc 7h sáng ngày 01/05/2021 là 28^oC.

Dựa vào bảng ta thấy, với mỗi một mốc thời gian (t) ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của vận tốc (v). Do đó v là hàm số của t.

Tập xác định của hàm số là: D = {0,5; 1; 1,2; 1,8; 2,5}.

a)

Biểu thức f(x) có nghĩa nếu và chỉ nếu 2x + 7 $\ge$ 0

⇔ 2x ≥ - 7

⇔ x ≥ $-\frac{7}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = $\left[\frac{-7}{2};+\infty \right)$.

b)

Biểu thức f(x) có nghĩa nếu và chỉ nếu: $x^2-3x+2\ne 0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x-1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số này là D = $ℝ$\{1; 2}.

a) Vì bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn nên diện tích bồn hoa là: $S=\frac{\pi r^2}{4}\left(m^2\right)$.

Do đó ta được công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r là: $S=\frac{\pi r^2}{4}$ với 0,5 ≤ r ≤ 3.

Khi đó, tập xác định của hàm số là D = [0,5; 3].

Vậy công thức hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo r là $S=\frac{\pi r^2}{4}$ với D = [0,5; 3].

b) Thay S = 0,5π vào biểu công thức hàm số trên, ta được:

$0,5\pi =\frac{\pi r^2}{4}\iff r^2=2\iff \left[\begin{array}{l}r=\sqrt{2}\\ r=-\sqrt{2}\end{array}\right.$

Mà r ∈ D nên $r=\sqrt{2}$ (thỏa mãn) và $r=-\sqrt{2}$(không thỏa mãn).

Vậy với r = $\sqrt{2}$ m thì bồn hoa có diện tích là 0,5π m²_.

a) Từ bảng trên, ta thấy tập xác định D của hàm số là tập tất cả các giá trị của x:

D = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

b) Từ bảng trên ta có:

Với x = -2 thì y = f(x) = 8, ta được điểm A(-2; 8).

Với x = -1 thì y = f(x) = 3, ta được điểm B(-1; 3).

Với x = 0 thì y = f(x) = 0, ta được điểm O(0; 0).

Với x = 1 thì y = f(x) = -1, ta được điểm C(1; -1).

Với x = 2 thì y = f(x) = 0, ta được điểm D(2; 0).

Với x = 3 thì y = f(x) = 3, ta được điểm E(3; 3).

Với x = 4 thì y = f(x) = 8, ta được điểm F(4; 8).

Các điểm trên được biểu diễn trên trục tọa độ như sau:

Hàm số y = f(x) = 3x + 8 có tập xác định D = $ℝ$.

Với x = 0 thì y = f(0) = 3.0 + 8 = 8, ta được điểm A(0; 8).

Với x = -1 thì y = f(-1) = 3.(-1) + 8 = 5, ta được điểm B(-1; 5).

Đồ thị hàm số f(x) = 3x + 8 là đường thẳng đi qua các điểm A(0; 8) và B(-1;5).

+) Hình 6a):

Quan sát hình vẽ ta thấy trên trục Oy, f(x₁) nằm trên f(x₂) nên f(x₁) > f(x₂).

Vậy với x₁, x₂ ∈ (-∞; 0) và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

+) Hình 6b):

Quan sát hình vẽ ta thấy trên trục Oy, f(x₁) nằm dưới f(x₂) nên f(x₁) < f(x₂).

Vậy với x₁, x₂ ∈ (-∞; 0) và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

a) Tập xác định của hàm số là D = [-3; 7].

Quan sát trên đồ thị hàm số, ta thấy:

Trên khoảng (-3; 1) đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1).

Trên khoảng (1; 3) đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Trên khoảng (3; 7) đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (3; 7).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1) và (3; 7); nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Hàm số y = f(x) = 5x² xác định trên $ℝ$ nên hàm số xác định trên khoảng (2; 5).

Lấy x₁, x₂ ∈ (2; 5) thỏa mãn x₁ < x₂, ta có:

f(x₁) – f(x₂) = 5x₁² – 5x₂² = 5(x₁² – x₂²) = 5(x₁ – x₂)(x₁ + x₂) .

Vì x₁, x₂ ∈ (2; 5) nên x₁ + x₂ > 0 và vì x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0

Do đó 5(x₁ – x₂)(x₁ + x₂) < 0 suy ra f(x₁) – f(x₂) < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; 5).

a)

Điều kiện xác định của hàm số này là: $-5x+3\ge 0$

$\iff -5x\ge -3$

$\iff x\le \frac{3}{5}$

Vậy $D=\left(-\infty ;\frac{3}{5}\right]$ là tập xác định của hàm số f(x) = $\sqrt{-5x+3}$ 

b) Hàm số f(x) = 2 + $\frac{1}{x+3}$ xác định khi $\frac{1}{x+3}$ xác định.

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là: x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3.

Vậy $D=ℝ\backslash \text{{}-3\}$ là tập xác định của hàm số f(x) = $2+\frac{1}{x+3}$.

Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số xác định trên [-1; 9].

Do đó tập xác định của hàm số là D = [-1; 9].

Giá trị thấp nhất của y = f(x) là – 2 tương ứng với x = 5 và giá trị cao nhất của y = f(x) là 6 tương ứng với x = 9.

Do đó tập giá trị của hàm số là [-2; 6].

a)

Tập xác định D = $ℝ$.

Lấy $x_1$,$x_2$ là hai số thực tùy ý thỏa mãn $x_1$ < $x_2$, ta có:

f(x₁) – f(x₂) = (-5$x_1$+ 2) – (-5$x_2$+ 2) = -5x₁ + 2 + 5x₂ – 2 = -5x₁ + 5x₂ = 5(x₂ – x₁)

Vì $x_1$ < $x_2$ $\Rightarrow$ 5(x₂ – x₁) > 0 $\Rightarrow$ f($x_1$) – f($x_2$) > 0 hay f($x_1$) > f($x_2$).

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên $ℝ$

b)

Tập xác định D = $ℝ$.

Lấy $x_1$,$x_2$ là hai số thực tùy ý thỏa mãn $x_1$ < $x_2$, ta có:

f($x_1$) – f($x_2$) = - x₁² – (-x₂²) = ${x_2}^2-{x_1}^2$ = (x₂ – x₁)(x₂ + x₁)

+) Với x₁, x₂ ∈ (-∞; 0) và x₁ < x₂, khi đó: x₁ + x₂ < 0 và x₂ – x₁ > 0

Do đó, f(x₁) – f(x₂) < 0 $\Rightarrow$f(x₁) < f(x₂), nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

+) Với x₁,  x₂ ∈ (-∞; 0) và x₁ < x₂, khi đó: x₁ + x₂ > 0 và x₂ – x₁ > 0

Do đó, f(x₁) – f(x₂) > 0 $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂) nên hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Vậy hàm số f(x) = -$x^2$đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Tập xác định của hàm số D = $ℝ$.

Ta có:

Với x = 0 thì f(0) = 0, ta được điểm O(0; 0).

Với x = 1 thì f(1) = 1, ta được điểm A(1; 1).

Với x = 2 thì f(2) = 2, ta được điểm B(2; 2).

Với x = 3 thì f(3) = 3, ta được điểm C(3; 3).

Với x = -1 thì f(-1) = - (-1) = 1, ta được điểm D(-1; 1).

Với x = -2 thì f(-2) = - (-2) = 2, ta được điểm E(-2; 2).

Với x = -3 thì f(-3) = - (-3) = 3, ta được điểm F(-3; 3).

Từ các điểm O(0; 0), A(1; 1), B(2; 2), C(3; 3), D(-1; 1), E(-2; 2), F(-3; 3) ta vẽ được đồ thị hàm số f(x) = |x| như sau:

Với x = 0 thì f(x) không xác định. Do đó, tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \text{{}0\}$.

Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số thì giá trị của f(x) chỉ có 1 và - 1.

Do đó tập giá trị của hàm số là {-1; 1}.

Với x = -4 < 0 thì f(-4) = -1;

Với x = -2 < 0 thì f(-2) = -1;

Với x = -1 < 0 thì f(-1) = -1;

Với x = $-\frac{1}{2}$ < 0 thì $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ = -1;

Với x = $-\frac{1}{2}$ > 0 thì $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ = 1;

Với x = 1 > 0 thì f(1) = 1;

Với x = 2 > 0 thì f(2) = 1;

Với x = 4 > 0 thì f(4) = 1.

Đồ thị hàm số gồm hai phần đường thẳng, một đường thẳng đi qua các điểm các điểm (-4; -1), (-2; -1), (-1; -1), $\left(-\frac{1}{2};-1\right)$, một đường thẳng đi qua các điểm $\left(\frac{1}{2};1\right)$; (1; 1), (2; 1), (4; 1). Ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:

a)

i) Khi di chuyển bằng xe taxi 4 chỗ:

Nếu x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000x (nghìn đồng).

Nếu 0,5 < x < 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 14 500(x – 0,5) = 14 500x – 1 750 (nghìn đồng).

Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 14 500(31 – 0,5) + 11 600(x – 31) = 11 600x + 88 150 (nghìn đồng).

Vậy hàm số f(x) được xác định như sau:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}11000xkhix\le 0,5\\ 14500x-1750khi0<x<31\\ 11600x+88150khix\ge 31\end{array}\right.$.

ii) Khi di chuyển bằng xe taxi 7 chỗ:

Nếu x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000x (nghìn đồng).

Nếu 0,5 < x < 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 15 500(x – 0,5) = 15 500x – 2 250 (nghìn đồng).

Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 15 500(31 – 0,5) + 13 600(x – 31) = 13 600x + 56 650 (nghìn đồng).

Vậy hàm số g(x) được xác định như sau:

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}11000xkhix\le 0,5\\ 15500x-2250khi0<x<31\\ 13600x+56650khix\ge 31\end{array}\right.$.

b) Có tất cả 30 hành khách nếu đặt xe 4 chỗ thì cần 8 xe, còn nếu đặt xe 7 chỗ thì cần 5 xe.

Với x ≤ 0,5, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.11 000x = 88 000x (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.11 000x = 55 000x (nghìn đồng).

Vì 55 000 < 88 000 nên 55 000x < 88 000x.

Do đó nếu quãng đường di chuyển nhỏ hơn 0,5km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Với 0,5 < x < 31, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(14 500x – 1 750) = 116 000x – 14 000 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(15 500x – 2 250) = 77 500x – 11 250 (nghìn đồng).

Ta có: 44 000 < 116 000x – 14 000 < 3 582 000 và 27 500 < 77 500x – 11 250 < 2 391 250.

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Với x ≥ 31, ta có:

 Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(11 600x + 88 150) = 92 800x + 705 200 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(13 600x + 56 650) = 68 000x + 183 250 (nghìn đồng).

Ta có: 92 800x + 705 200 ≥ 68 000x + 183 250 .

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Vậy nếu đặt xe taxi cho 30 hành khách thì nên đặt toàn bộ xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Sự biến đổi đã tác động lên x như sau:

Khi x đi qua máy bình phương x biến đổi thành x²;

Tiếp tục đi qua máy tăng gấp ba lần ta được 3x²;

Tiếp sau đó đi qua máy lấy bớt đi 5 ta được 3x² – 5;

Vậy f(x) = 3x² – 5.