ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000 ta có |Ω| = 1000Gọi A là biến cố chọn được số chia hết cho 5.
Khi đó: A = {5k|0 ≤ 5k < 1000} = {5k| 0 ≤ k < 200}
Nên |A| = 200 Vậy PA=AΩ=2001000=15Đáp án cần chọn là: A

Rút ngẫu nhiên 3 thẻ trong một hộp đựng 11 thẻ ta có Ω=C113=165Gọi A là biến cố rút được 3 thẻ và tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 12.
Vì 12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7
= 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5
Nên |A| = 7Vậy PA=AΩ=7165Đáp án cần chọn là: B

Ta có: n(Ω) = 6.6 = 36.
Gọi A: “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.
A = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)}.
Do đó n(A) = 6.
Vậy PA=336=16Đáp án cần chọn là: B

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6² = 36
Gọi A là biến cố để tổng hai mặt là 11, các trường hợp có thể xảy ra của A là A = {(5; 6); (6; 5)}
Số phần tử của không gian thuận lợi là: n(A) = 2
Xác suất biến cố A là : PA=118Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:
Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.
Bước 2:
Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là Ω=C123Bước 3:
Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là Ω=123=4Bước 4:
Vậy xác suất là P=ΩAΩ=4C123=155Đáp án cần chọn là: D

Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất ta có
Ω = {(x; y)| 1 ≤ x ≤ 6; 1 ≤ y ≤ 6}. Do đó |Ω| = 6.6 = 36
E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Khi đó:
E = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1)}
Nên |E| = 10
Vậy PE=EΩ=1036=518Đáp án cần chọn là: B

Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân ta có Ω=C83=56Gọi A là biến cố chọn được 3 quả cân và tổng trọng lượng 3 quả cân không vượt quá 9kg.
Vì
1 + 2 + 3 = 6 < 9
1 + 2 + 4 = 7 < 9
1 + 2 + 5 = 8 < 9
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 4 = 8 < 9
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9
Nên |A| = 7Vậy PA=AΩ=756=18Đáp án cần chọn là: D

Không gian mẫu Ω là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: |Ω| = 6! = 720
Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau.
Đánh số ghế từ 1 đến 6.
TH1: Xếp nam vào các ghế 1, 3, 5 có 3! cách, xếp nữ vào các ghế 2, 4, 6 có 3! cách nên có 3!.3! cách.
TH2: Xếp nam vào các ghế 2, 4, 6 và xếp nữ vào các ghế 1, 3, 5 cũng có 3!.3! cách.
Khi đó |A| = 2.3!.3! = 72
Vậy PA=AΩ=72720=110Đáp án cần chọn là: C

Không gian mẫu Ω là tập các hoán vị của 8 phần tử, ta có: |Ω| = 8! = 40320
Gọi A là biến cố 3 nam ngồi cạnh nhau.
Coi 3 nam là một người và thêm 5 nữ là 6 người nên sẽ có 6! cách, hoán đổi vị trí của 3 nam ta có 3! cách nên:
|A| = 3!.6! = 4320
Vậy PA=AΩ=432040320=328Đáp án cần chọn là: A

Số phần tử của không gian mẫu Ω là Ω=C92=36Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ là lẻ”.
Vì tích của hai số lẻ là một số lẻ nên hai thẻ rút ra phải là lẻ, mà có 5 thẻ lẻ nên A=C52=10Suy ra PA=AΩ=1036=518Đáp án cần chọn là: A

Không gian mẫu Ω là tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, ta có: Ω=C104=210Gọi A là biến cố chọn được 4 quả cùng màu.
4 quả cùng màu có thể là 4 quả cùng màu trắng hoặc 4 quả cùng màu đen.
Ta có: A=C64+C44=15+1=16Vậy PA=AΩ=16210=8105Đáp án cần chọn là: D

Số phần tử của không gian mẫu Ω là Ω=C95=126Gọi A là biến cố “Trong 5 thẻ được rút có các thẻ ghi số 1, 2, 3”.
Ta có: A=C62=15Suy ra PA=AΩ=15126=542Đáp án cần chọn là: D

Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “ ⇒PA=C41C91=49Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II” PB=310Ta thấy biến cố A, B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có: PX=PA.B=PA.PB=49.310=215Đáp án cần chọn là: A

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.”
Số cách chọn 2 trong 10 người là nΩ=C102=45Số cách chọn trong đó có 1 nữ và 1 nam là nA=C31.C71=21⇒PA=nAnΩ=2145=715Đáp án cần chọn là: B

Ta có: n(Ω) = 2⁵ = 32.
Biến cố A:”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
Khi đó: :”Tất cả đều là mặt ngửa”.
Suy ra: PA¯=132⇒PA=1−PA¯=1−132=3132Đáp án cần chọn là: A

Gọi A là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.
Ta có: nΩ=24=16,nΩA=1⇒PA=nΩAnΩ=116Đáp án cần chọn là: C

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6!.
Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).
Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.
⇒ nA = 6.4.2.3! = 288 cách.⇒PA=2886!=25Đáp án cần chọn là: A

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:
X1:{1; 4; 7;...; 19}: chia cho 3 dư 1 (có 7 phần tử)
X2:{2; 5; 8;...; 20}: chia cho 3 dư 2 (có 7 phần tử)
X3:{3; 6; 9;...; 18}: chia hết cho 3 (có 6 phần tử)
Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:
+) Cả 3 viên thuộc X1, có: cách
+) Cả 3 viên thuộc X2, có: cách
+) Cả 3 viên thuộc X3, có: cách
+) 1 viên thuộc X1, 1 viên thuộc X2, 1 viên thuộc X3, có: 7.7.6 cách
⇒Số cách thỏa mãn là: C73+C73+C63+7.7.6=384Đáp án cần chọn là: C

* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là abcd¯a≠0;0≤a,b,c,d≤9;a,b,c,d∈N+ a có 9 cách chọn
+ b, c, d có 10 cách chọn
Không gian mẫu có số phần tử là n(Ω) = 9.103
* Gọi A là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau
TH1 : Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong abcd¯+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có 9.10 = 90 cách chọn 2 chữ số còn lại
+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có :
8.9 = 72 cách chọn.
+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có 9.9 cách chọn.
Vậy trường hợp này có 90 + 72 + 81 = 243 số.
TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.
+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị
+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn
Vậy trường hợp này có 9 + 8 = 17 số
TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số
Số phần tử của biến cố A là n(A) = 243 + 17 + 1 = 261
Xác suất cần tìm là: PA=nAnΩ=2619.103=0,029Đáp án cần chọn là: A

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là C92
+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là C73
+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là C44
Số phần tử của tập S là nΩ=C92.C73.C44=1260Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”
TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại
Số cách sắp xếp là C81.C73.C44=280 cách TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.
Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có C36cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và C33 cách sắp xếp 3 chữ số 7.Vậy có 7.C36.C33=140 sốCách 2: Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 6 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có C52cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và C33 cách sắp xếp 3 chữ số 7.Vậy có 6.C52.C33=60 số Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có C41cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và C33 cách sắp xếp 3 chữ số 7.Vậy có 5C41.C33=20 sốCách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có C33 cách sắp xếp 3 chữ số 7.Vậy có 4C33=4 sốVậy biến cố A có 280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504 phần tử
Xác suất cần tìm là PA=5041260=25Đáp án cần chọn là: A

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là 9.9=81⇒nΩ=812Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”
TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau ⇒ Có 81 cách.
TH2: Bạn Công viết số có dạng ab¯ và bạn Thành viết số có dạng ba¯⇒a≠b≠0⇒ Có 9.8 = 72 cách.
TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.
+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng a0¯, Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)⇒ Có 9.8 = 72 cách.
+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng a1¯a≠0,a≠1,hoặc 1b¯b≠1Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng a1¯a≠0,a≠1 và 8 cách viết số có dạng 1b¯b≠1⇒ Có 16 cách.
Nếu Công viết số có dạng 1b¯b≠0,b≠1 ⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng a1¯a≠0,a≠1và 8 cách viết số có dạng 1b¯b≠1 ⇒ Có 8(7 + 8) = 120 cách.
Nếu Công viết có dạng a1¯a≠0,a≠1⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng a1¯a≠0,a≠1 và 8 cách viết số có dạng 1b¯b≠1⇒ Có 8(7+8) = 120 cách.
⇒ Có 256 cách viết trùng số 1.
Tương tự cho các trường hợp trùng số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
⇒ n(A) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529.
Vậy PA=2529812=281729Đáp án cần chọn là: C

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là A74=840⇒nS=840Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S”. Ta có: nΩ=C8401=840Biến cố A:“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
+ Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số đều là số lẻ, có 4! = 24cách chọn.
+ Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ
Có C31 cách chọn 1 chữ số chẵn và C43 cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có 4! cách sắp xếp 4 số được chọn nên có C31.C43.4!=288 cách chọn thỏa mãn.+ Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.
* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có C32.C42 cáchVới mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có 2! cách sắp xếp 2 số lẻ và 2! cách sắp xếp các số chẵn nên có 3.2!.2! số thỏa mãn
* Suy ra trường hợp 3 có C32.C42.12=216 cách chọnSuy ra n(A) = 24 + 288 + 216 = 528
Vậy xác suất cần tìm PA=nAnΩ=528840=2235Đáp án cần chọn là: C

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).
Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 6³ = 216
Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”
Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: C32.1.1.5=15 cáchSố cách gieo được ba mặt 6 chấm là: 1 cách
Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: n(A) = 15 + 1 = 16 cách
Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: PA=nAnΩ=16216=227Do đó xác suất để thua 1 ván là 1−PA=1−227=2527- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.
TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván
Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là C32.227.227.2527=1006561Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là: 2273=819683Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là: P=1006561+819683=30819683Đáp án cần chọn là: B

Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 6!
Bước 1: Xếp 3 học sinh đứng đầu hàng
+) Chọn 3 học sinh lớp A, B, C để đứng đầu hàng. Mỗi lớp 1 học sinh: Có C213 cách chọn.+) Với mỗi cách chọn trên ta sắp xếp thứ tự 3 học sinh này: Có 3! cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 48 cách xếp 3 học sinh A,B,C đứng đầu hàng.
Bước 2: Với mỗi một cách xếp 3 học sinh ở 2 bước trên (Giả sử thứ tự khi xếp 3 học sinh ở bước 2 là ABC),
+) Ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại xếp vị trí thứ 4
=> Chỉ có thể là học sinh lớp A: ABCA
+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 5: Chỉ có thể là B
+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 6: Chỉ có thể là C
Số phần tử của A là: nA=C213.3!=48 ⇒PA=nAnΩ=486!=115Đáp án cần chọn là: D

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd¯a≠0,a≠b≠c≠d- Số cách chọn a: 6 cách.
- Số cách chọn b, c, d: A63 cách⇒ Có 6.A63=720 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.⇒ Tập hợp S có 720 phần tử.
Chọn ngẫu nhiên 2 số từ S ⇒ Không gian mẫu: nΩ=C7202Trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có 4 số chẵn và 3 số lẻ.
a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:
Nếu số đó có dạng abc0¯⇒A63=120 số thỏa mãn.Nếu số đó dạng abcd¯;d∈2;4;6⇒ có 3.5.A52=300 số thỏa mãn.Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.
b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:
Số các số lẻ = 720 – 420 = 300 số.
Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn”
⇒ Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.
- Lấy hai số chẵn từ tập S có C4202 cách- Lấy hai số lẻ từ tập S có C3002 cách⇒nA=C4202+C3002Vậy xác suất của biến cố A là: PA=nAnΩ=C3002+C4202C7202Đáp án cần chọn là: C

Số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là: 8! cách.
Gọi biến cố A: “Học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B”.
TH1: Học sinh A đứng ở đầu hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B
⇒ Có: C21.6! cách xếpTH2: Học sinh A đứng ở cuối hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B
⇒ Có: C21.6! cách xếpTH3: Học sinh A đứng giữa hai bạn học sinh lớp B
⇒ Có: 2!.6! cách xếp. ⇒nA=2C21.6!+2!.6!=4320⇒PA=nAnΩ=43208!=328Đáp án cần chọn là: D

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là: C602 cách lấy.Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.
TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10
⇒ Có C61.C541 cách lấy.TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10
⇒ Có C62 cách lấy.TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)
⇒ Có (30 − 6)(12 − 6) = 24.6 = 144 cách lấy.⇒nA=C61.C541+C62+144=483 cách lấy⇒PA=483C602=161590Đáp án cần chọn là: B

Gọi số phần quà Sử - Địa là x, số phần quà Sử - GDCD là y và số phần quà Địa – GDCD là z
Tổng số phần quà là 15 nên x + y + z = 15.
Phần quà có môn sử chỉ có 2 kiểu: Sử- Địa (x phần quà) và Sử - GDCD(y phần quà).
Do có 12 quyển sách sử nên 12 quyển này nằm hoàn toàn trong 2 kiểu phần quà trên.
Do đó, x + y = 12.
Tương tự với Địa: x + z = 8.
GDCD: y + z = 10 x+y+z=15x+y=12y+z=10x+z=8⇒x=5y=7z=3Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.
Số phần quà Sử - GDCD là 7.
Số phần quà Địa – GDCD là 3.
Chọn 2 trong 15 phần quà
⇒ Không gian mẫu nΩ=C152=105Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có: nA=C51.C71+C71.C31+C31.C51=71Vậy: PA=nAnΩ=71105Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:
Gọi số có số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt là ,
Bước 2:
+ a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 8 cách chọn, d có 7 cách chọn
Nên có 9.9.8.7 = 4536 số. Hay số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 4536
Bước 3:
Gọi A là biến cố
Bước 4:
+ Nếu aϵ{3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} thì số cách chọn 3 chữ số b, c, d là A93 nên có 7.A93 số
+ Nếu a = 2 và b = 5 thì c, d ϵ {0; 1; 3; 4; 6; 7; 8; 9} nên có A82 số

+ Nếu a = 2; b ϵ {6; 7; 8; 9} thì có A82 cách chọn c, d nên có 4.A82 sốSố phần tử của biến cố A là: nA=7.A93+A82+4.A82=3808Bước 5:
Xác suất cần tìm là: PA=nAnΩ=38084536=6881Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.
Bước 2:
Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13 = 169.
Bước 3:
Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7
Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8
Do đó có 7.8 = 56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.
Bước 4:
Vậy xác suất là P=56169Đáp án cần chọn là: C

Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư
Cả trường có 23 em bí thư.
Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là C239⇒nΩ=C239Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối” ⇒A¯:: “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”.
Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là C169 cách.Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là C159 cách.Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là C159 cách.⇒nA¯=C169+C159+C159Vậy xác suất cần tính là: PA=1−nA¯nΩ=1−C169+C159+C159C239=72347429Đáp án cần chọn là: A

Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại thì số phần tử không gian mẫu là: n(Ω) = 20.19 = 380.
Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả cầu cùng màu”.
TH1: Lấy được 2 quả cầu cùng màu xanh, có 8.7 = 56 cách.
TH2: Lấy được 2 quả cầu cùng màu đỏ, có 12.11 = 132 cách.
⇒ n(A) = 56 + 132 = 188
Vậy xác suất của biến cố A là: PA=nAnΩ=188380=4795≈49,47%Đáp án cần chọn là: B

Không gian mẫu Ω là tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, ta có: Ω=C104=210Gọi BB là biến cố chọn được 44 quả màu trắng.
Ta có: B=C64=15Suy ra PB=BΩ=15210=114Ta có B¯ là biến cố chọn được ít nhất một quả màu đen nên: PB¯=1−PB=1−114=1314Đáp án cần chọn là: B

Số phần tử của không gian mẫu Ω là: Ω=C71.C61=42Gọi A là biến cố “lấy được hai viên bi cùng màu”.
Trường hợp 1: Lấy được hai viên bi màu đỏ, ta có C41.C21=8Trường hợp 2: Lấy được hai viên bi màu trắng, ta có C31.C41=12Ta có: |A| = 8 + 12 = 20
Suy ra PA=AΩ=2042=1021Đáp án cần chọn là: A

Số phần tử của không gian mẫu Ω là |Ω| = 12.11.10 = 1320
Gọi A là biến cố “lấy được hai bi đỏ và một bi xanh”.
TH1: Thứ tự bi lấy ra là Đ-Đ-X có 8.7.4 = 224 cách.
TH2: Thứ tự bi lấy ra là Đ-X-Đ có 8.4.7 = 224 cách.
TH3: Thứ tự bi lấy ra là X-Đ-Đ có 8.4.7 = 224 cách.
Do đó |A| = 3.8.7.4 = 672 cách.Suy ra:PA=AΩ=6721320=2855Đáp án cần chọn là: A

Số phần tử của không gian mẫu Ω là Ω=C1005
Gọi A là biến cố “rút ngẫu nhiên ra 1 đề thi có 4 câu đã học thuộc”. Ta có: A=C804.C201Suy ra PA=AΩ=C804.C201C1005=1581580.2075287520=0,42Đáp án cần chọn là: C

Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có P(A) = 0,6
Suy ra A¯ là biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có PA¯=0,4

Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:
• B: “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có:
P(B) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096
• C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có
P(C) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096
• D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:
P(D) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096
Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:
P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288
Đáp án cần chọn là: D

Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có P(A) = 0,4
Suy ra A¯ là biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có PA¯=0,6

Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố
B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có: 

P(B) = 0,6⁵ = 0,07776Khi đó ta có B¯ “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:PB¯=1−PB=1−0,07776=0,92224Đáp án cần chọn là: D

Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có P(A) = 0,8 và PA¯=0,2Gọi B là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có P(B) = 0,7 và PB¯=0,3Ta xét hai biến cố xung khắc sau: AB¯ “Chỉ có cầu thủ thứ nhất làm bàn”.Ta có: PAB¯=PA.PB¯=0,8.0,3=0,24BA¯ “ Chỉ có cầu thủ thứ hai làm bàn” .
Ta có: PBA¯=PB.PA¯=0,7.0,2=0,14Gọi C là biến cố chỉ có 1 cầu thủ làm bàn.
Ta có P(C) = 0,24 + 0,14 = 0,38
Đáp án cần chọn là: B

Giả sử đề 1 đã được máy tính chọn ra. Ta xét xác suất để đề 2 giống đề 1
Ở mỗi hạng mục, xác suất để câu hỏi của 2 đề giống nhau và khác nhau lần lượt là 0,1 và 0,9.
Xác suất của biến cố đối:
Xác suất để 2 đề không trùng nhau câu hỏi nào là 0,9²⁰
Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 1 câu hỏi là C201.0,1.0,919Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 2 câu hỏi là C202.0,12.0,918Xác suất để 2 đề trùng nhau từ 3 câu hỏi trở lên là : 1−0,920+C201.0,1.0,919+C202.0,12.0,918=0,323Đáp án cần chọn là: D

Ta có: nΩ=65Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:
(1;1;2),(1;2;3),(1;3;4),(1;4;5),
(1;5;6),(2;1;3),(2;2;4),(2;3;5),
(2;4;6),(3;1;4),(3;2;5),(3;3;6),
(4;1;5),(4;2;6),(5;1;6)
Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có 66 khả năng xảy ra nên n(A) = 15.6.6.
Vậy PA=nAnΩ=15.6.665=15216Đáp án cần chọn là: B

Ta có: nΩ=66TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.
TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.
TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.
TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.
Vậy có 30 + 1 + 30 + 1 = 62 khả năng xảy ra biến cố A.
Vậy PA=6266=3123328Đáp án cần chọn là: A

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“
-Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 10!.
-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!
-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!
=> n(A) = 5!.5! + 5!.5! = 28800. ⇒PA=nAnΩ=2880010!=1126Đáp án cần chọn là: B

+) Số phần tử của KGM: nΩ=nX=C183Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.
Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.
Có 18 đỉnh như vậy
⇒ Lập được 8.18 = 144 tam giác cân + đều.
Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.
⇒ n(A) = 144 – 6 = 138
Vậy xác suất của biến cố A là: P=PA=136C183=23136Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng BĐT tam giác: |a − b| < c < a + b (với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:
(2; 3; 4), (2; 4; 5), (2; 5; 6), (3; 4; 5), (3; 4; 6), (3; 5; 6), (4; 5; 6).
⇒ Có 7 tam giác không cân.
+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng aa, cạnh bên bằng b ⇒ a < 2b.
TH1: b = 1 ⇒ a < 2 ⇒ a = 1: Có 1 tam giác cân.
TH2: b = 2 ⇒ a < 4 ⇒ a ∈ {1; 2; 3}: Có 3 tam giác cân.
TH3: b = 3 ⇒ a < 6 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5}: Có 5 tam giác cân.
TH4: b = 4 ⇒ a < 8 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: Có 6 tam giác cân.
TH5: b = 5 ⇒ a < 10 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: Có 6 tam giác cân.
TH6: b = 6 ⇒ a < 12 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: Có 6 tam giác cân.
⇒⇒ Có 1+3+5+6.3=271+3+5+6.3=27 tam giác cân.
⇒ Không gian mẫu: n(Ω) = 7 + 27 = 34.
Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân” ⇒nA=C271=27Vậy xác suất của biến cố A là:PA=nAnΩ=2734Đáp án cần chọn là: C

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là X=a1a2...a8¯a1≠0Số cách chọn a₁: 9 cách.
Số cách chọn 7 chữ số còn lại: A97 cách⇒ Tập hợp A có 9.A97 số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A
⇒ Không gian mẫu A97Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.
Ta có: X=a1a2...a8¯=a1.107+a2.106+a3.105+a4.104+a5.103+a6.102+a7.10+a8Vì 10k⋮25,∀k=2;8¯,k∈N nên X⋮25⇔10.a7+a8⋮25Do a7,a8∈N,0≤a7,a8≤9,a7≠a8 nên:0<10a7+a8≤99⇒10a7+a8∈25;50;75Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên a8∈0;5TH1: 10a7+a8=25⇒a8=0a7=2510KTMa8=5a7=2TM⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁: 7 cách (a₁ ≠ 0,a₂ ≠ a₇, a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: A75 cách⇒ Có 7.A75 số.TH2: 10a7+a8=50⇒a8=0a7=5TMa8=5a7=4510KTM⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁ : 8 cách (a₁≠a₇,a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: A75 cách.
⇒ Có 8.A75 sốTH3: 10a7+a8=75⇒a8=0a7=7510KTMa8=5a7=7TM⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁ : 7 cách ( a₁≠ 0, a₂≠a₇,a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: A75 cách⇒ Có 7. A75 số⇒nM=2.7.A75+8.A75=55440Vậy xác suất của biến cố M là:⇒PM=nMnΩ=554409.A97=11324Đáp án cần chọn là: C