ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán đếm

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách thực hiện công việc là n₁ + n₂ +...+n_k cách cách.
Đáp án cần chọn là: C

Số cách thực hiện công việc A là: n1.n2.....nk cách.
Đáp án cần chọn là: B

Số các hoán vị khác nhau của n phần tử là P_n = n!
Đáp án cần chọn là: A

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:Ank=n!n−k!=nn−1n−2...n−k+1Đáp án cần chọn là: A

Số tổ hợp chập k của n phần tử là CnkĐáp án cần chọn là: C

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.
Vậy số cách xếp là P₅ = 5! = 120 (cách).

Đáp án cần chọn là: D

+ Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là Cn2 trong đó có nn cạnh, suy ra số đường chéo là Cn2−n

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên Cn2−n=135+ Giải PT : n!n−2!2!−n=135,n∈N,n≥2⇔n−1n−2n=270⇔n2−3n−270=0⇔n=18TMn=−15L⇔n=18Đáp án cần chọn là: D

Mỗi cách lấy ra k trong số n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Đáp án cần chọn là: A

Số cách chọn ra 3 người để bầu cho 3 vị trí khác nhau là A83=336 (cách).Đáp án cần chọn là: A

Ta có:Cnk=Cnn−k, Cnk=n!k!.n−k!, Ank=k!.Cnk là các công thức đúngĐáp án cần chọn là: D

Có 2 phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.
- Có 17 cách chọn lớp trưởng là nam.
- Có 11 cách chọn lớp trưởng là nữ.
Vậy có tất cả 17 + 11 = 28 cách chọn lớp trưởng.
Đáp án cần chọn là: D

Có 2 công đoạn đi từ A đến B là: đi từ A đến C và đi từ C đến B.
- Có 3 con đường từ A đến C.
- Có 2 con đường từ C đến B.
Vậy có 3.2 = 6 con đường đi từ A đến B.
Đáp án cần chọn là: A

Gọi số thỏa mãn bài toán là abc¯- Có 3 cách chọn chữ số a.
- Có 3 cách chọn chữ số b.
- Có 3 cách chọn chữ số c.
Vậy có 3.3.3 = 27 số tạo thành từ các chữ số 3, 2, 1.
Đáp án cần chọn là: B

Chọn 1 vở kịch có 2 cách
Chọn 1 điệu múa có 3 cách.
Chọn 1 bài hát có 6 cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có:
2.3.6 = 36 cách
Đáp án cần chọn là: B

Có 2 phương án chọn bài biểu diễn là bài hát hoặc vở kịch.
- Có 4 cách chọn bài hát.
- Có 2 cách chọn vở kịch.
Vậy có tất cả 2 + 4 = 6 cách chọn bài biểu diễn.
Đáp án cần chọn là: C

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là abcd¯ (a≠0, a ≠ b ≠ c ≠ d), d∈{2; 4; 6}

Vì abcd¯ là số chẵn nên d∈{2; 4; 6}⇒ Có 3 cách chọn d.
Vì a ≠ d nên có 6 cách chọn a
b ≠ a, d nên có 5 cách chọn b
c ≠ a, b, d nên có 4 cách chọn c
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: 3.6.5.4 = 360 (số)
Đáp án cần chọn là: A

Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có 8 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.
Có 7 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.
...
Có 1 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.
Suy ra có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đỏ.
Tương tự có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đen.Vậy có (8.7.6.5.4.3.2.1)² cách xếp.
Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 2.(8.7.6.5.4.3.2.1)² = 3251404800
Đáp án cần chọn là: A

Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.
Chữ cái đầu tiên có 24 cách chọn.
Chữ cái tiếp theo cũng có 24 cách chọn.
Chữ số đầu tiên có 9 cách chọn.
Chữ số thứ hai có 10 cách chọn.
Chữ số thứ ba có 10 cách chọn.
Chữ số thứ tư có 10 cách chọn.
Chữ số thứ năm có 10 cách chọn.
Chữ số thứ sáu có 10 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có :
24.24.9.10⁵ = 5184.10⁵ là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.
Đáp án cần chọn là: A

Theo quy tắc nhân ta có:
10.8 = 80 cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.
10.6 = 60 cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
8.6 = 48 cách chọn một quyển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là:
80 + 60 + 48 = 188 cách.
Đáp án cần chọn là: D

Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho 3 người đàn ông ngồi.
- Người đàn ông thứ nhất có 3 cách xếp.
- Người đàn ông thứ hai có 2 cách xếp.
- Người đàn ông thứ ba có 1 cách xếp
Nên số cách xếp ba vị trí cho 3 người đàn ông là 3.2.1 = 6 cách.
Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có 4.3.2.1 = 24 cách.
Hai vị trí cho trẻ em ngồi có 2.1 = 2 cách.
Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.
Theo quy tắc cộng ta có: 3.6.24.2 = 864 cách.
Đáp án cần chọn là: B

Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 88 số 0,1,1,1,2,3,4,5Chọn số cho ô đầu tiên có 7 cách.
Chọn số cho ô thứ hai có 7 cách.
…
Chọn số cho ô thứ 8 có 1 cách.
Suy ra có 7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7! cách xếp 88 chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 vào 8 ô.
Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là 7.7!3!=5880 sốĐáp án cần chọn là: C

Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.
Ta chọn cố định vị trí của A , sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại.
Bạn thứ nhất có 7 cách xếp.
Bạn thứ hai có 6 cách xếp.
…
Bạn thứ 7 có 1 cách xếp.
Vậy có 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cách.
Đáp án cần chọn là: B

Gọi số cần tìm là abcba¯Có 9 cách chọn a .
Có 10 cách chọn b .
Có 10 cách chọn c .
Vậy có 9.10.10 = 900 số.
Đáp án cần chọn là: A

Với mỗi điểm đầu véc tơ thì có 2009 cách chọn điểm cuối véc tơ.
Có 2010 cách chọn điểm đầu vecto.
Vậy có 2010.2009 = 4038090 vecto.
Đáp án cần chọn là: B

+) Số cách xếp 4 cuốn sách toán là 4! cách.
+) Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho bộ Lý này là 3! cách.
+) Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:
+ 1 bộ Toán.
+ 1 bộ Lý.
+ 5 quyển Hóa.
Thì sẽ có 7! cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 7!.4!.3! = 725760 cách xếp.
Đáp án cần chọn là: C

Ta thấy điều kiện để xếp hai viên bi cùng màu không đứng cạnh nhau là phải xếp xen kẽ các viên bi.
Có 2 cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng).
Trong mỗi cách chọn đó:
Số cách xếp các viên bi đỏ là:
Viên bi đỏ thứ nhất có 5 cách xếp.
Viên bi đỏ thứ hai có 4 cách xếp.
…
Viên bi đỏ thứ năm có 1 cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta có 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp.
Tương tự ta có: 120 cách xếp 5 viên bi xanh.
Vậy có tất cả 2.120.120 = 28800 cách.
Đáp án cần chọn là: A

Ta lần lượt đánh số các ghế từ 1 đến 10.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 1 thì có 9 cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 2 thì có 8 cách xếp người vợ.
….
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 9 thì có 1 cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 10 thì có 0 cách xếp người vợ.
Vậy có tất cả 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 cách.
Đáp án cần chọn là: A

Gọi số có 5 chữ số cần tìm là: abcde¯ (a, b, c, d, e đều thuộc dãy số đã cho).Vì abcde¯<30000 nên:a có 2 cách chọn.
b có 6 cách chọn.
c có 5 cách chọn.
d có 4 cách chọn.
e có 3 cách chọn.
⇒ Lập được tất cả số các số có 5 chữ số: 2 × 6 × 5 × 4 × 3 = 720 số.
Đáp án cần chọn là: B

Gọi số cần tìm là abcd¯ TH1 : d = 0 thì
a có 5 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
Suy ra có 1.5.4.3 = 60 số chẵn có chữ số tận cùng là 0.
TH2 : dϵ{2; 4} thì dd có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
Suy ra có 2.4.4.3 = 96 số
Vậy lập được tất cả 96 + 60 = 156 số thỏa mãn đề bài.
Đáp án cần chọn là: A

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
Số các số là: A64=360 số.Đáp án cần chọn là: C

Mỗi cách chọn ra 5 bạn là một tổ hợp chập 5 của 40.
Do đó số cách chọn là C405Đáp án cần chọn là: A

Lập số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số 7, ta bỏ chữ số 7 ra khổi tập hợp A, khi đó ta được tập hợp B = {1; 2; 4; 6; 9} và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập B bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
Số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ tập B là chỉnh hợp chập 4 của 5. Vậy có A54=120 số.Đáp án cần chọn là: D

Số nhỏ hơn 1000 là số có nhiều nhất 3 chữ số.
TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4?
Gọi số cần tìm có dạng abc¯ (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c) suy ra có 4 cách chọn aa, có 4 cách chọn b, có 3 cách chọn c .Vậy có 4.4.3 = 48 số.
TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4?
Có 4.4 = 16 số.
TH3: Số có 1 chữ số lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4?
Có 5 số.
Vậy có có tất cả 69 số.
Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.
Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 2 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.
Bước 2: Tìm số hình bình hành.
Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 4 đường thẳng song song có C42=6 cáchChọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 5 đường thẳng song song có C52=10 cáchVậy có tất cả 6.10 = 60 hình bình hành được tạo thành.
Đáp án cần chọn là: B

TH1: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng và 4 bông hoa hồng đỏ.
Số cách chọn 3 bông hồng vàng là C53 cáchSố cách chọn 4 bông hồng đỏ là C44 cáchTheo quy tắc nhân thì có 10.1 = 10 cách.
TH2: Chọn được 4 bông hoa hồng vàng và 3 bông hoa hồng đỏ.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là C54.C43 cáchTH3: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng, 3 bông hoa hồng đỏ và 1 bông hoa hồng trắng.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là C53.C43.C31=120 cáchVậy theo quy tắc cộng ta có 10 + 20 + 120 = 150 cách.
Đáp án cần chọn là: D

TH1: Có 10 chữ số 5: Chỉ có duy nhất 1 số.
TH2: Có 9 chữ số 5 và 1 chữ số 2 .
Xếp 9 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.
TH3: Có 8 chữ số 5 và 2 chữ số2.
Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào 9 vách ngăn đó, có C92=36 cách. Vậy trường hợp này có 36 số.TH4: Có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 .
Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có C83=56 cách. Vậy trường hợp này có 56 số.TH5: Có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 .
Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có C74=35 cách. Vậy trường hợp này có 35 số.TH6: Có 5 chữ số 5 và 5 chữ số 2.
Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có C65=6 cách. Vậy trường hợp này có 6 số.Theo quy tắc cộng ta có tất cả: 1+10+36+56+35+6=144 số.
Đáp án cần chọn là: A

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra 5 bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.
Bước 1: Chọn nhóm 3 em trong 13 em (13 em này không tính em Thùy và Thiện) có C133=286 cáchBước 2: Chọn 2 em Thùy và Thiện có 1 cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì ta có 286286 cách chọn 55 em mà trong đó có cả 22 em Thùy và Thiện.
Chọn 5 em bất kì trong số 15 em thì ta có: C155=3003 cáchVậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả 3003 – 286 = 2717 cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.
Đáp án cần chọn là: C

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có C103=120Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.
Đáp án cần chọn là: B

Bước 1: Chọn 7 nam trong 21 nam và 5 nữ trong 15 nữ cho ấp thứ nhất.
Số cách chọn là C217.C155 cáchBước 2: Chọn 7 nam trong 14 nam và 5 nữ trong 10 nữ cho ấp thứ hai
Số cách chọn là C147.C105 cáchBước 3: Chọn 7 nam trong 7 nam và 5 nữ trong 5 nữ cho ấp thứ ba.
Số cách chọn là C77.C55=1cáchÁp dụng quy tắc nhân ta có: C217.C155.C147.C105cáchĐáp án cần chọn là: D

Gọi số cần tìm có dạng abcd¯ (a, b, c, dϵN, 0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) 

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 ⇒b=c=d=0,a=7
Do đó có 1 số thỏa mãn.
TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có C32=3 cách- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có:
7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6 nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.
Do đó trường hợp này có 18 số.
TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có C31=3 cách - Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có:
7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3
+ Với bộ số (1; 2; 4) có 3! = 6 cách chọn 3 chữ số còn lại.
+ Với 3 bộ số còn lại có 3!2! cách chọn 3 chữ số còn lại.Do đó trường hợp này có 3.(6 + 3.3) = 45 số.
TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d không có chữ số nằm bằng 0Ta có: 7=1+1+1+47=1+1+2+37=1+2+2+2+ Với bộ số (1; 1; 1; 4), có 4!3!=4 cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.+ Với bộ số (1; 1; 2; 3), có 4!2!=12 cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.+ Với bộ số (1; 2; 2; 2), có 4!3!=4 cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả: 1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.
Đáp án cần chọn là: D

Đặt m=a1a2...a8¯ai∈A,ai≠aj,∀i,j=1,8¯

Do ai∈A, các ai≠aj,∀i,j=1,8¯ nên:

∑i=18ai=1+2+3+4+5+6+7+8=36

Do đó m⋮9 mà m⋮11  gt⇒m⋮9999

Đặt  p=a1a2a3a4¯;q=a5a6a7a8¯ ta có:

m=p.104+q=9999.p+p+q⋮9999

⇒p+q⋮9999

Do 0 < p, q < 9999
⇒ 0 < p + q < 2.9999
Mà (p + q)⋮9999 ⇒ p + q = 9999

⇒a1+a5=9a2+a6=9a3+a7=9a4+a8=9

Có 4 cặp có tổng bằng 9 là (1; 8); (2; 7); (3; 6); (4; 5)
Suy ra có:
+) 8 cách chọn a₁, ứng với mỗi cách chọn a₁ có 1 cách chọn a₅.
+) 6 cách chọn a2≠a1;≠a5 ứng với mỗi cách chọn a₂ có 1 cách chọn a₆.+) 4 cách chọn a3≠a1;a2;a5;a6 ứng với mỗi cách chọn a₃ có 1 cách chọn a₇+) 2 cách chọn a4≠a1;a2;a3;a5;a6;a7 ứng với mỗi cách chọn a₄ có 1 cách chọn a₈.Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả 8.6.4.2 = 384 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A

Gọi A_k là phương án: Chọn nhóm có k học sinh và chỉ định 1 bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: A₂, A₃, A₄, ..., A_n-1
Ta tính xem A_k có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án A_k có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn k học sinh trong n học sinh có Cnk cách chọnCông đoạn 2: Chọn 1 học sinh trong k học sinh làm nhóm trưởng có Ck1=k cách chọnTheo quy tắc nhân thì phương án A_k có kCnk cách chọnCác phương án A_k là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: T=∑k=2n−1kCnkĐáp án cần chọn là: A

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd¯a≠0Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
⇒ dϵ{0; 5}
TH1: d = 0, số cần tìm có dạng abc0¯Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a + b + c ⁝ 3
Ta có các nhóm: 9≡0mod31;4;7≡1mod32;5;8≡2mod3+) a, b, c ≡ 1(mod 3) ⇒ a, b, c ϵ{1; 4; 7}
⇒ Có 3! cách chọn.
+) a, b, c ≡ 2(mod3) ⇒ a, b, c ϵ {2; 5; 8}
⇒ Có 3! cách chọn.
+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có 1.C31.C31.3! cách chọn⇒ Có 3!+3!+1.C31.C31.3!=66 sốTH2: d = 5, số cần tìm có dạng abc5¯Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a + b + c + 5 ⁝ 3, trong đó 5 ≡ 2(mod 3).
Ta có các nhóm: 0;9≡0mod31;4;7≡1mod32;8≡2mod3+) Trong 3 số a, b, c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có C31 cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có: C31.3! cách chọnTrong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a, b, c có a = 0, ta cần tìm bc¯:Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có C31 cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn bc¯ là C31.2!⇒ Có C31.3!−C31.2!=12 cách+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có C21.3!−2!=10 cách chọn+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có C32.C21.3!=36 cách chọnVậy có tất cả 66 + 12 + 10 + 36 = 124 số thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A