ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình đường tròn
15 câu hỏi
Đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng:
x+a2+y+b2=R2
x−a2+y−b2=R2
x−a2+y+b2=R2
x+a2+y−b2=R2
Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b)), bán kính R là (x−a)2+(y−b)2=R2
Đáp án cần chọn là: B
Đường tròn tâm I(a;b)) và bán kính R có phương trình x−a2+y−b2=R2 được viết lại thành x2+y2−2ax−2by+c=0. Khi đó biểu thức nào sau đây đúng?
c=a2+b2−R2
c=a2−b2−R2
c=−a2+b2−R2
c=R2−a2−b2
Phương trình đường tròn x2+y2−2ax−2by+c=0 có tâm I(a;b) và bán kính R=a2+b2−c
Do đó: c=a2+b2−R2
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình x2+y2−2x+4y+1=0 là phương trình của đường tròn nào?
Đường tròn có tâm I(−1;2) và R=1
Đường tròn có tâm I(1;−2) và R=2
Đường tròn có tâm I(2;−4) và R=2
Đường tròn có tâm I(1;−2) và R=1
x2+y2−2x+4y+1=0 có hệ số a=1,b=−2,c=1 sẽ có tâm I(1;−2) và R=−12+22−1=2
Đáp án cần chọn là: B
Trong số các đường tròn có phương trình dưới đây, đường tròn nào đi qua gốc tọa độ O(0,0)?
x2+y2=1.
x2+y2−x−y+2=0
x2+y2−4x−4y+8=0.
(x−3)2+(y−4)2=25.
x2+y2=1. Thay x=0,y=0 ta có 02+02=1 là mệnh đề A sai.
x2+y2−x−y+2=0 Thay x=0,y=0 ta có 2=0 là mệnh đề B sai.
x2+y2−4x−4y+8=0.Thay x=0,y=0 ta có 8=0 là mệnh đề C sai.
x−32+y−42=25.Thay x=0,y=0 ta có −32+−42=25 là mệnh đề đúng. Vậy x−32+y−42=25. đi qua gốc tọa độ.
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;−4) và đi qua điểm A(1;3) là:
(x+2)2+(y−4)2=50
(x−2)2+(y+4)2=25
(x−2)2+(y+4)2=50.
(x+2)2+(y−4)2=25
Ta có: R=IA=1−22+3+42=50
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;−4) có bán kính R=50 là: x−22+y+42=50.
Đáp án cần chọn là: C
Với điều kiện nào thì x2+y2+2ax+2by+c=0,, biểu diễn phương trình đường tròn.
a2+b2−c<0
a2+b2≤c
a2+b2≥c
a2+b2>c
x2+y2+2ax+2by+c=0, là phương trình đường tròn khi R2=a2+b2−c
Điều này có nghĩa là a2+b2−c>0 hay a2+b2>c
Đáp án cần chọn là: D
Với điều kiện nào của m thì phương trình sau đây là phương trình đường tròn x2+y2−2(m+2)x+4my+19m−6=0 ?
1<m<2
−2≤m≤1
m<1 hoặc m>2
m<−2 hoặc m>1
x2+y2−2m+2x+4my+19m−6=0 ∗ là phương trình đường tròn khim+22+2m2−19m+6>0⇔5m2−15m+10>0⇔m<1 hoặc m>2
Đáp án cần chọn là: C
Cho đường tròn (C):x2+y2+2x+4y−20=0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
(C) có tâm I(1,2)
(C) có bán kính R=5
(C) đi qua điểm M(2,2)
(C) không đi qua điểm A(1,1)
(C):x2+y2+2x+4y−20=0 có a=−1, b=−2,c=−20 sẽ có tâm I(−1;−2) và bán kính R=12+22+20=5
Thay tọa độ các điểm ở đáp án C và D vào phương trình đường tròn ta thấy hai đáp án đều đúng.
Suy ra mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng: x+y+2=0 là:
(x−1)2+(y−1)2=5
(x+1)2+(y+1)2=5
(x−1)2+(y−1)2=5
(x+1)2+(y+1)2=5
Giả sử điểm I(xI;yI) là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng x+y+2=0 nên ta có xI+yI+2=0 1
Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) nên ta có IA=IB. Điều này tương đương với IA2=IB2 hay
xI2+1−yI2=1−xI2+yI2⇔xI2+yI2−2yI+1=xI2−2xI+1+yI2⇔xI=yI 2
Từ (1) và (2) suy ra xI=yI=−1. Suy ra I(−1;−1).
Mặt khác ta có R=IA=−12+−1−12=5
Vậy (C) có dạng x+12+y+12=5
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình đường tròn (C) đi qua 33 điểm A(0;2),B(−2;0) và C(2;0) là:
x2+y2=8
x2+y2+2x+4=0
x2+y2−2x−8=0
x2+y2−4=0
Cách làm:
x2+y2=8.Ta thay A(0;2) vào phương trình có 02+22=8 là mệnh đề sai. Loại A
x2+y2+2x+4=0. Ta thay A(0;2) vào phương trình có 02+22+2.0+4=0 là mệnh đề sai. Loại B
x2+y2−2x−8=0.Ta thay A(0;2) vào phương trình có 02+22−2.0−8=0 là mệnh đề sai. Loại C.
Đáp án cần chọn là: D
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (Cm):x2+y2−2mx−4my−5=0 (m là tham số). Biết đường tròn (Cm)(Cm) có bán kính bằng 5. Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của m là
0
−1;1
−6;6
−2;2
Đường tròn (Cm):x2+y2−2mx−4my−5=0 (m là tham số) có bán kính bằng 5
⇔R2=m2+4m2+5=25⇔5m2=20⇔m2=4⇔m=±2
Đáp án cần chọn là: D
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A(0;4), B(2;4), C(4;0).
I(0;0).
I(1;0).
I(3;2).
I(1;1).
Gọi đường tròn có phương trình x2+y2+2ax+2by+c=0 C
A, B, C∈C⇔16+8b+c=020+4a+8b+c=016+8a+c=0⇔a=−1b=−1c=−8→I(1;1)
Đáp án cần chọn là: D
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn (Cm):x2+y2−2mx+(4m+2)y−6m−5=0 (m là tham số). Tập hợp các điểm Im là tâm của đường tròn (Cm) khi m thay đổi là:
Parabol P:y=−2x2+1
Đường thẳng d':y=2x+1.
Parabol P:y=−2x2+1
Đường thẳng d:y=−2x−1
Đường tròn Cm: x2+y2−2mx+4m+2y−6m−5=0 có tâm Imm;−2m−1
Dễ thấy 2xI+yI=2.m+−2m−1=−1
Vậy Im thuộc đường thẳng 2x+y=−1⇔y=−2x−1
Đáp án cần chọn là: D
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x+y+5=0,d2:x+2y−7=0 và tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm là G(2;0), điểm B thuộc d1 và điểm Cthuộc d2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
x2+y2−8327x+179y+33827=0
x2+y2−8354x+1718y−33827=0
x2+y2+8327x+179y−33827=0
x2+y2−8327x+179y−33827=0
- Điểm B thuộc d1:x+y+5=0 nên ta giả sử B(b;−b−5)
Điểm C thuộc d2:x+2y−7=0 nên ta giả sử C(7−2c,c)
Vì tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm là G(2;0) nên ta có hệ phương trình
2+b+7−2c=63−b−5+c=0⇔b−2c=−3−b+c=2⇔c=1b=−1
Suy ra B(−1;−4) và C(5;1)
- Giả sử phương trình đường tròn cần lập có dạng x2+y2+2ax+2by+c=0 Vì đường tròn qua 33 điểm A(2;3), B(−1;−4) và C(5;1) nên ta có hệ phương trình:
4a+6b+c=−13−2a−8b+c=−1710a+2b+c=−26⇔a=−8354b=1718c=−33827
Vậy phương trình đường tròn là:
x2+y2+2.−8354x+2.1718y−33827=0⇔x2+y2−8327x+179y−33827=0
Đáp án cần chọn là: D
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d:3x−4y+5=0 và đường tròn C: x2+y2+2x−6y+9=0. Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
M−115;235,N15;75
M−25;115,N15;75
M−25;115,N1;2
M−115;235,N1;2
Đường tròn (C) có tâm I(−1;3) và bán kính R=−12+32−9=1
Ta có: d(I;d)=3.−1−4.3+532+42=2>R
Suy ra d không cắt (C).
Ta có IM+MN≥IN⇔MN≥IN−R
MN min ⇔ IN đạt min ⇔⇔ N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.
Giả sử N(a;b).Vì N∈d nên ta có 3a−4b+5=0 1
Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên IN→.ud→=0. Mà
IN→=a+1;b−3,ud→=4;3.Suy ra ta có:
4(a+1)+3(b−3)=0⇔4a+3b−5=0 2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 4a+3b−5=03a−4b+5=0⇔a=15b=75⇒N15;75
Vì d(I;d)=2R nên M là trung điểm của IN. Do đó, tọa độ của M là:
xM=12−1+15=−25yM=123+75=115⇒M−25;115
Đáp án cần chọn là: B
