ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Elip
15 câu hỏi
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:
12
22
13
1
Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b=c
Mặt khác ta có a2=b2+c2 suy ra a2=2c2 hay a=2c
Tâm sai của elip là: e=ca=c2c=12
Đáp án cần chọn là: A
Cho elip (E):x225+y29=1 và cho các mệnh đề:
1. (E) có các tiêu điểm F1(0;−4) và F2(0;4)
2. (E) có tỉ số ca=45
3. (E) có đỉnh A1(−5;0)
4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:
1 và 2
2 và 3
1 và 3
4 và 1
Từ phương trình elip (E):x225+y29=1 ta có a=5b=3c=a2−b2=4
Suy ra ta có:
1. (E) có các tiêu điểm F1(−4;0) và F2(4;0) nên (1) sai.
2. (E) có tỉ số ca=45 nên (2) đúng.
3. (E) có đỉnh A1(−5;0) nên (3) đúng.
4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b=6 nên (4) sai.
Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).
Đáp án cần chọn là: D
Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:
x236+y216=1
x2144+y264=1
x212+y28=1
x216+y236=1
Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a=12 hay a=6
Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra 2b=8 hay b=4
Vậy elip cần tìm là x236+y216=1
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) là:
x25+y23=1
x2100+y236=1
x225+y29=1
x210+y26=1
Elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) suy ra a=5 và b=3. Do đó, phương trình chính tắc của elip là:x225+y29=1
Đáp án cần chọn là: C
Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E) là:
x225+y216=1
x25+y24=1
x225+y29=1
x5+y4=1
Elip có tiêu điểm F1(4;0) suy ra c=4, elip có một đỉnh là A(5;0) suy ra a=5
Mặt khác ta có b2=a2−c2=25−16=9
Vậy elip có phương trình là x225+y29=1
Đáp án cần chọn là: C
Cho elip (E):x2+4y2−40=0. Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:
610
10
310
1210
Ta có: (E):x2+4y2−40=0⇔x240+y210=1. Suy ra a=210b=10
Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: 22a+2b=2410+210=1210
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20, tâm sai là e=53 là:
x2100+y236=1
x2100+y264=1
x2400+y2256=1
x2100+y249=1
Độ dài trục lớn là 20, suy ra 2a=20 hay a=10
Tâm sai e=35 , suy ra ca=35 suy ra c=6
Mặt khác, ta có a2=b2+c2 suy ra b2=a2−c2=100−36=64
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) và tâm sai e=15 là:
x224+y225=1
x224+y225=−1
x225+y224=1
x225+y224=−1
Elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) suy ra c=1
Elip có tâm sai e=15 suy ra ca=15⇒a=5
Mặt khác ta có b2=a2−c2=25−1=24
Vậy elip có phương trình là x225+y224=1
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là B(0;−2), tiêu cự là 25 là:
x27+y22=1
x220+y24=1
x24+y21=1
x29+y24=1
Elip có một đỉnh là B(0;−2) suy ra b=2.
Elip có tiêu cự là 25 suy ra c=25⇔c=5
Mặt khác ta có a2=b2+c2=4+5=9
Vậy elip có dạng x29+y24=1
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là A(0;−4), tâm sai e=35
x216+y29=1
x225+y29=1
x225+y216=1
x236+y216=1
Elip có một đỉnh là A(0;−4)suy ra b=4
Tâm sai e=35 suy ra ta có ca=35.Vì a,c>0 nên ta có
c2a2=925⇔25c2−9a2=0
Mặt khác ta có a2−c2=b2=16
Ta có hệ phương trình 9a2−25c2=0a2−c2=16⇔a2=25c2=9
Vậy phương trình của elip là: x225+y216=1
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là A(2;0) và đi qua M(−1;32) là:
x24+y21=1
x24+y22=1
x29+y24=1
x29+y21=1
Elip có đỉnh là A(2;0) suy ra a=2. Phương trình elip cần tìm có dạng x24+y2b2=1
Vì elip qua M(−1;32) nên ta có 14+34b2=1⇔b2=1
Vậy elip có phương trình là x24+y21=1
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình chính tắc của elip có đi qua M(1;25) tiêu cự là 4 là:
x225+y221=1
x225+y24=1
x25+y21=1
x25+y24=1
Phương trình elip cần tìm có dạng x2a2+y2b2=1
Elip có tiêu cự là 4 suy ra 2c=4⇔c=2. Mặt khác ta có: a2−b2=c2=4
Vì elip qua M1;25 nên ta có 1a2+45b2=1
Ta có hệ phương trình a2−b2=41a2+45b2=1
⇔a2=b2+41b2+4+45b2=1⇔a2=b2+45b2+4(b2+4)5b2(b2+4)=1⇔a2=b2+49b2+16=5b4+20b2⇔a2=b2+45b4+11b2−16=0⇔a2=b2+4b2=1b2=−165l⇔a2=5b2=1
Vậy elip có phương trình là x25+y21=1
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm M(22;13) và N2;53 là:
x24+y21=1
x29+y24=1
x29+y21=1
x216+y29=1
Phương trình elip cần tìm có dạng x2a2+y2b2=1
Vì elip qua M22;13 nên ta có 8a2+19b2=1
Vì elip qua N2;53 nên ta có 4a2+59b2=1
Ta có hệ phương trình 8a2+19b2=14a2+59b2=1⇔a2=0b2=1
Vậy elip có phương trình là x29+y21=1
Đáp án cần chọn là: C
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip E:x225+y29=1 có hai tiêu điểm F1,F2. Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ yM dương thuộc elip (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2 bằng 43. Khẳng định nào sau đây đúng?
yM∈0;3
yM∈2;8
yM∈8;5
yM∈3;2
Elip E:x225+y29=1⇒F1F2=2c=225−9=8
Gọi MxM;yM∈E⇒MF1+MF2=2a=10⇒p=MF1+MF2+F1F22=9
Diện tích tam giác MF1F2 là:
SMF1F2=12F1F2.dM;Ox=12.8.yM=4yM=4yM do yM>0
Lại có: SMF1F2=p.r⇔4yM=9.43⇔yM=3∈yM∈8;5
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 8 và e=124 là:
x24+y23=1
x24+y21=1
x21+y24=1
x23+y24=1
Phương trình elip cần tìm có dạng x2a2+y2b2=1
Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 4ab
Theo bài ra ta có 4ab=8⇔ab=2⇔a2b2=4
Elip có e=124 suy ra ca=124 Vì c,a>0 nên ta có
c2a2=1216=34⇔3a2−4c2=0
Mặt khác ta có: a2−b2=c2
Ta có hệ phương trình
a2b2=43a2−4c2=0a2−b2=c2⇔a2b2=4a2-b2=432a23a2=4c2⇔a2b2=4a2-4b2=03a2=4c2⇔a2=4b2=1c2=3
Vậy elip có phương trình là x24+y21=1
Đáp án cần chọn là: B
