Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

1)

Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

Với \(x = 9\)(thỏa mãn điều kiện) thay vào \[A\] ta có:

\[A = \frac{{4\left( {\sqrt 9  + 1} \right)}}{{25 - 9}}\]

\[ = \frac{{4.\left( {3 + 1} \right)}}{{16}} = 1\].

2)

Rút gọn biểu thức \[B\].

Với \(x \ge 0\), \(x \ne 25\), ta có:

\[B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\].

\[B = \left[ {\frac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right]:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\]

\[B = \frac{{15 - \sqrt x  + 2\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\].

\[B = \frac{{15 - \sqrt x  + 2\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\].

\[B = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\].

\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\].

3)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức  \[P = A.B\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Ta có \(P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{4}{{25 - x}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên khi \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(4 \vdots \left( {25 - x} \right)\) hay \(25 - x \in U\left( 4 \right) = \left\{ { - 4;\; - 2;\; - 1;\;1;\;2;\;4} \right\}\).

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

Do \[P\] đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có \[P = 4\].

Khi đó giá trị cần tìm của \[x\] là \[x = 24\].

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là \[x\] và \[y\] (ngày) \[\left( {x > 15,y > 15} \right)\].

Một ngày đội thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong \[15\] ngày thì hoàn thành xong công việc nên trong một ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{{15}}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\]                                         (1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được \[\frac{3}{x}\] (công việc).

Năm  ngày đội thứ hai làm được \[\frac{5}{y}\] (công việc).

Vì đội thứ nhất làm trong \[3\] ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong \[5\] ngày  thì cả hai đội hoàn thành xong \[25\%  = \frac{1}{4}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\]                                              (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 40\end{array} \right..\]

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x = 24\) và \(y = 40\) thỏa mãn.

Kết luận: thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[24\] (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[40\] (ngày).

Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa.

Bồn nước đựng được số mét khối nước là:

\[0,32.1,75 = 0,56\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

Cách 1:        

Đặt \[t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\left( * \right)\]

Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[{t^2} - 7t - 18 = 0\left( 2 \right)\]

Ta có: \[\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 18} \right) = 121 = {11^2} \Rightarrow \sqrt \Delta   = 11\]

Suy ra: Phương trình \[\left( 2 \right)\] có hai nghiệm phân biệt là:

\[{t_1} = \frac{{7 + 11}}{2} = 9\,\,\left( {tm} \right)\] và \[{t_2} = \frac{{7 - 11}}{2} =  - 2\,\,\left( {ktm} \right)\]

Thay \[t = 9\] vào \[\left( * \right)\] ta có: \[{x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3\] hoặc \(x =  - 3\).

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {3; - 3} \right\}\).

Cách 2:

\[{x^4} - 7{x^2} - 18 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 9{x^2} - 18 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) - 9\left( {{x^2} + 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 0\,\,\,\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\{x^2} - 9 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} = 9\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {3; - 3} \right\}\).

2a)

Chứng minh \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\):

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\,\, = 0\] \[\left( 1 \right)\]

Xét \(\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} - {m^2} + 1 = 1 > 0, \forall m\)

Do đó phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\)

Vậy \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

2b)

Tìm tất cả giá trị của m để \[(d)\] cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\] (Điều kiện: \[{x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\].

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 2 + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\[ \Rightarrow {x_1} + {x_2} =  - 2 + {x_1}{x_2}\]

\[ \Leftrightarrow 2m =  - 2 + {m^2} - 1\]

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

Kết Luận: \(m = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

Vẽ đúng hình đến ý 1)

Xét tứ giác \(BCEF\) ta có:

\(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(\(BE\) là đường cao)

\(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (\(CF\) là đường cao)

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (đỉnh \(E\), \(F\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một góc vuông).

Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].

Do tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ABC}\] (vì cùng bù với \(\widehat {FEC}\))

Kẻ đường kính \(AQ\)

\( \Rightarrow \Delta AQC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat {QAC} + \widehat {AQC} = 90^\circ \)

Xét \(\left( O \right)\) có

\[ \Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {EAO} = 90^\circ  \Rightarrow AO \bot EF\]

Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).

\(\widehat {EAO} = \widehat {HAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {EAP} = \widehat {IAB}\)

\(\widehat {AEP} = \widehat {ABI}\)

\[\left( 1 \right)\]

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HQ\) \(\left( 3 \right)\)

Xét tứ giác \(BHCQ\) có:

\(BH\,{\rm{//}}\,CQ\) (vì cùng vuông góc với \(AC\))

\(BQ\,{\rm{//}}\,CH\) (vì cùng vuông góc với \(AB\))

\( \Rightarrow BHCQ\) là hình bình hành

\( \Rightarrow BC,HQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(HQ\)

\( \Rightarrow H,K,Q\) thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(KH\,{\rm{//}}\,IP\).

Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].

Từ \[{a^2} + {b^2} + ab = 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\]

\[P = {a^4} + {b^4} - ab\]

\[ = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - ab\]

\( =  - {a^2}{b^2} - 7ab + 9\)

\( =  - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{85}}{4}\)

Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3\)

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + ab + ab = 3 + ab\]

\[ \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 3 + ab\]

Mà \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 3 + ab \ge 0 \Rightarrow ab \ge  - 3\)

Mặt khác do \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\] (BĐT Cosi)

\[ \Rightarrow 3 - ab \ge 2ab \Rightarrow 3ab \le 3 \Leftrightarrow ab \le 1\]

0,25

Khi đó \[ - 3 + \frac{7}{2} \le ab + \frac{7}{2} \le 1 + \frac{7}{2}\]

\( \Rightarrow \frac{1}{4} \le {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{{81}}{4}\)

\( \Rightarrow  - \frac{1}{4} \ge  - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge  - \frac{{81}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{84}}{4} - \frac{1}{4} \ge P \ge \frac{{85}}{4} - \frac{{81}}{4}\)

\( \Rightarrow 21 \ge P \ge 1\)

GTLN của \(P\) là 21, xảy ra khi \(a = \sqrt 3 ,b =  - \sqrt 3 \) hoặc \(a =  - \sqrt 3 ,b = \sqrt 3 \)

GTNN của \(P\) là 1, xảy ra khi \(a = b = 1\) hoặc \(a = b =  - 1\).

0,25