Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 3)
50 câu hỏi
Biết A1,1,0; B2,0,3; C3,2,−3, tọa độ trọng tâm G của ΔABC là
G2,1,−1
G2,1,0
G2,0,−1
G−2,1,0
Đáp án B
Ta có GxA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3⇒G2,1,0
Cho hàm số có f'x=x3−4x2+1. Xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A1;2
−2
−1
1
2
Đáp án A
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A1,2 là f'1=1−4+1=−2
Cho hàm số fx=x2+1x2−6x+5. Hàm số fx liên tục trên khoảng nào đây?
−∞;3
2;3
2;+∞
ℝ
Đáp án B
Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định ⇔x2−6x+5≠0⇔x≠1x≠5
Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các hàm số y=ax, y=logbx. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a<1<b
a<b<1
b<a<1
1<a<b
Đáp án A
Ta thấy hàm số y=ax nghịch biến ⇒a<1; hàm số y=logbx đồng biến ⇒b>1⇒a<1<b
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho đồ thị hàm số y=fxquay quanh trục Ox như hình vẽ là
∫−121fxdx
π∫−121fxdx
∫−121f2xdx
π∫−121f2xdx
Đáp án D
Ta có công thức tính thể tích khi quay đồ thị hàm số y=fx quanh trục Ox là: V=π∫−121f2xdx
Biết ∫131f3udu=5 , khi đó ∫13fxdx bằng
5
53
−6
15
Đáp án D
Đặt x=3u⇒dx=3du
Đổi cận u=13⇒x=1; u=1⇒x=3⇒∫131f3udu=13∫13fxdx=5⇒∫13fxdx=15
Tập xác định của hàm lũy thừa y=x−2 là
ℝ\0
ℝ
0;+∞
0;+∞
Đáp án A
Ta có hàm số y=xα có α=−2 là số nguyên âm ⇒ Tập xác định của hàm số là ℝ\0
Số phức z=4−3i có số phức liên hợp là
4−3i
3−4i
4+3i
3+4i
Đáp án C
Ta có: z=4−3i⇒z¯=4+3i
Thể tích khối cầu có đường kính bằng 2a là
43πa3
323πa3
163πa3
4πa3
Đáp án A
Ta có khối cầu có đường kính bằng 2a ⇒ bán kính bằng a⇒V=43πa3
Phương trình đường thẳng d đi qua A2,0,1và có ud→=1;1;2 có dạng
x=2+ty=tz=1+2t
x=1+2ty=1z=2+t
x=2−ty=−tz=1+2t
x=2+ty=2+tz=1+2t
Đáp án A
Phương trình đường thẳng d đi qua A2,0,1và có ud→=1;1;2 là x=2+ty=tz=1+2t
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
x−32+y+22+z−12=0
x2+y2+z2=3
x2+y2+2z2−2x+4y+2z=3
x2+y2−z2+6x−2y+2z=5
Đáp án B
Phương trình mặt cầu có dạng x−a2+y−b2+z−c2=R2R>0
⇔x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+a2+b2+c2−R2=0
⇒ Chỉ có phương trình x2+y2+z2=3 thỏa mãn
Cho hàm số y=fx có lim fx→+∞x=1; limx→−∞fx=−∞ . Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
0
2
1
3
Đáp án C
Theo định nghĩa về tiệm cận ta cólimx→+∞fx=1⇒y=1 là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số y=fx có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y=1.
Khối bát diện đều có tổng số cạnh là
4
6
8
12
Đáp án D
Nhìn hình vẽ ta thấy khối bát diện đều có tổng tất cả 12 cạnh.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số?
24
12
64
32
Đáp án C
Gọi số cần tìm là abc¯
Chọn a từ 4 số có 4 cách chọn, chọn b từ 4 số có 4 cách chọn,
chọn c từ 4 số có 4 cách chọn.
Vậy có tất cả 4.4.4=64 số
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60o và hình chiếu của A lên mặt phẳng A'B'C' trùng với trung điểm của B'C'. Độ dài đoạn vuông góc chung của AA' và B'C' bằng
a3
a32
a33
3a4
Đáp án D
Gọi K là trung điểm của B'C'
Từ K kẻ KH⊥AA'
Ta có AK⊥B'C'A'K⊥B'C'⇒B'C'⊥AKA'⇒B'C'⊥HK
B'C'⊥HKKH⊥AA'⇒dAA';B'C'=KH
A'K=a32; AK=A'K.tan60o=3a21HK2=1A'K2+1AK2⇔HK=A'K.AKA'K2+AK2=3a4
Cho hàm số y=fxcó bảng biến thiên như sau:
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/101-1649510463.PNG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc −5;5 để đường thẳng y=mcắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt?
0
2
1
3
Đáp án C
Đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=fxtại 2 điểm phân biệt ⇔m=−4m=6
Vậy có 1 giá trị của m thuộc −5;5 thỏa mãn là m=−4.
Cho hàm số y=fxcó bảng biến thiên như sau:
Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành biết f0=0
1
2
3
4
Đáp án C
Ta có f0=0 suy ra đồ thị hàm số sẽ giao với trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Xác định m để hàm số fx=x+mx−2nghịch biến trên các khoảng của tập xác định?
ℝ\0
−∞;0
−2;+∞
0;+∞
Đáp án C
Ta có fx=x+mx−2⇒f'x=−2−mx−22<0⇔−2−m<0⇒m>−2
Thể tích khối chóp OABC bằng bao nhiêu biết O0,0,0; A3,0,0; B0,2,0; C0,0,1?
2
3
6
1
Đáp án D
Cách 1: Ta có VO.ABC=16OA→;OB→.OC→=1
Cách 2: Dễ thấy hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc
⇒VA.OBC=13.OA.SOBC=16OA.OB.OC=1
Cho log512080=x.logx2.log5x+1logx3.log34.log5x+xlog5x+1 giá trị của x là:
2
3
4
5
Đáp án C
Sử dụng Casio nhập XlogX2.log5X+1logX3.log34.log5X+Xlog5X+1−log512080→CALCX=
Trong các phương án ta thấy với X=4 được kết quả 0
Xác định giá trị thực của tham số m để hàm số y=x3+32x2−mx+1 đạt cực trị tại x=1?
m=−3
m=−6
m=3
m=6
Đáp án D
Xét hàm y=x3+32x2−mx+1⇒y'=3x2+3x−m
Hàm số đạt cực trị tại x=1⇒y'1=0⇔3+3−m=0⇒m=6
Bất phương trình 158x−25>1 có nghiệm là
x>12
x<12
x>258
x<258
Đáp án D
Ta có bất phương trình ⇔525−8x>50⇔25−8x>0⇔x<258
Cho Fx=∫xexdx. Khi đó,Fx bằng
xex+ex+C
−xex+ex+C
xex−2ex+C
xex−ex+C
Đáp án D
Đặt u=xdv=exdx⇒du=dxv=ex
Fx=∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C
Giá trị lớn nhất của hàm số fx=x3−2x2−4x+1 trên đoạn 1;3 là
max1;3 fx=6727
max1;3 fx=−2
max1;3 fx=−7
max1;3 fx=−4
Đáp án B
Cách 1: Ta có f'x=3x2−4x−4⇒f'x=0⇔x=2∈1;3x=−23∉1;3
⇒f1=−4f2=−7f3=−2⇒max1;3 fx=−2
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE7 và nhập hàm fX=X3−2X2−4X+1 với thiết lập Start 1, End 3, Step 0,2
Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị lớn nhất F(X) bằng −2 khi X=3
Gọi z1, z2, z3, z4là 2 nghiệm phức của phương trình z+3z2−z+3z−2=0. Khi đó, A=z12+z22+z32+z42 bằng
12
21
8
22
Đáp án A
Ta có z+3z2−z+3z−2=0
⇔z+3z=2z+3z=−1⇔z=1±i2z=−1±i112
Sử dụng Casio ta có A=z12+z22+z32+z42=12
Thể tích khối đa diện có đỉnh là tâm của các mặt của hình hình lập phương cạnh 2a là
82a33
42a33
4a33
22a33
Đáp án C
Ta có khối đa diện có đỉnh là tâm của các mặt của
hình lập phương là 1 hình bát diện đều
Cạnh của khối bát diện đều là
BD2=2a2+2a22=a2⇒V=23.a23=4a33
Diện tích xung quanh hình nón bằng bao nhiêu khi biết thiết diện đi qua trục và vuông góc với đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2?
π
3π
4π
2π
Đáp án D
Thiết diện đi qua trục và vuông góc với đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2
⇒hình nón có đường sinh bằng 2 và bán kính đáy bằng l
⇒Sxq=π.r.l=2π
Cho số phức z=2+i. Mô đun của số phức w=z2−1 là
5
25
253
255
Đáp án B
w=z2−1=2+i2−1=2+4i⇒w=4+16=25
Cho mặt cầu S:x−12+y+12+z−22=16. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A1,3,2và tiếp xúc với (S) là
x−1=0
y−3=0
x−y+z=0
z−2=0
Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm I1;−1;2 ; bán kính R=4
Ta có dI,P=R=4; AI=4=R⇒A là hình chiếu của I trên (P)
⇒nP→=AI→=0;−4;0
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là y−3=0
Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?
1236
1136
636
836
Đáp án B
Số phần tử của không gian mẫu là Ω=6.6=36
Gọi A là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.
Để tìm số phần tử của biến cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A¯là “Không xuất hiện mặt sáu chấm”⇒ΩA¯=5.5=25
Vậy xác suất cần tính PA=1−PA¯=1136
Tích các nghiệm của phương trình 2x2+3=16 là
1
2
−1
−2
Đáp án C
2x2+3=16⇔2x2+3=24⇔x2+3=4⇔x=±1
Cho tứ diện ABCD có A4;1;1, B1;4;1, C1;1;−2, D1;1;1. Tổng ba tọa độ của tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD là
0
5
52
92
Đáp án D
Gọi Ia;b;clà tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Ta có IA=IBIA=ICIA=ID⇔a−42+b−12+c−12=a−12+b−42+c−12a−42+b−12+c−12=a−12+b−12+c+22a−42+b−12+c−12=a−12+b−12+c−12
⇔a−b=0a+c=22a−5=0⇔a=52b=52c=−12
Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là I52;52;−12
Cho hàm số fxxác định trên 0;π\π2thỏa mãn f'x=tanx,f0=1 và fπ=−1. Giá trị fπ4−f3π4 bằng
π2
π2+1
−2ln22
2
Đáp án D
Ta có fx=∫tanxdx=−lncosx+C
+ Với 0≤x≤π2 có fx=−lncosx+C mà f0=1⇒C=1
+Với π2<x≤πcó fx=−ln−cosx+C mà fπ=−1⇒C=−1
Vậy fπ4−f3π4=2
Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó, đồ thị hàm số y=fx+2 là hình nào trong các hình sau?
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
Đáp án A
Từ đồ thị hàm số y=fx→y=fx→y=fx+2→y=fx+2
y=fx y=fx y=fx+2 y=fx+2
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y=fxphía trên trục hoành - Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y=fxnằm phía dưới trục hoành | Tịnh tiến đồ thị hàm số y=fx lên trên 2 đơn vị | - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y=fx+2 phía trên trục hoành - Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y=fx+2 nằm phía dưới trục hoành |
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 500 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
m=5.1,1231,123−1(triệu đồng)
m=5.1,0131,013−1(triệu đồng)
m=500.1,033(triệu đồng)
m=120.1,1231,123−1(triệu đồng)
Đáp án B
Khi vay một số tiền P với lãi suất r/ tháng thì số tiền m phải trả mỗi tháng để sau k tháng hết nợ được tính theo công thức: m=rP.1+rk1+rk−1
Áp dụng với P = 500 triệu, r = 1%, k =3 ta có m=1%.500.1+1%31+1%3−1=5.1,0131,013−1 (triệu đồng)
Cho khối cầu có bán kính bằng 5. Xác định độ dài bán kính đáy của khối trụ nội tiếp khối cầu đã cho, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu.
52
52
52
52
Đáp án C
Đây là mặt cắt ngang của khối trụ nội tiếp khối cầu (B là tâm đường tròn đáy khối trụ, AB là bán kính, O là tâm khối cầu).
Diện tích mặt cầu là S=4πR2=100π
Gọi bán kính đáy khối trụ là AB=x⇒OB=25−x2
Diện tích xung quanh của khối trụ là Sxq=2πrh=2π.x.2.25−x2
Do diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu ⇒2π.x.2.25−x2=100π2⇔x25−x2=252⇔x=52
Cho hàm số fx=22+x−22−x và tích phân I=∫−22efx−e−fxdx. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
I∈−1;2
I∈2;4
I∈−5;−3
I∈7;10
Đáp án A
Ta có fx=22+x−22−x⇒f−x=22−x−22+x=−fx⇒fx là hàm lẻ
Xét hàm gx=efx−e−fx
Ta có g−x=ef−x−e−fx=e−fx−efx=−gx (do là hàm lẻ)
⇒gx là hàm lẻ ⇒I=∫−22gxdx=∫−22efx−e−fxdx=0
Số phức z=a+bibiết z=1+i+i2+2i3+3i4+...+2017i2018. Giá trị của a+b là
0
−2020
3
2018
Đáp án D
Ta có 1+x+x2+...+x2017=x2017−1x−1
⇒1+2x+...+2017x2016=2017x2016x−1−x2017+1x−12⇒z=1+i+i2+2i3+3i4+...+2017i2018=1+i+i21+2i+3i2+...+2017i2016=1+i−2017i2016i−1−i2017+1i−12=1+i+1008+1008i=1009+1009i
Cho hàm số y=fx có đồ thị của đạo hàm y=f'x như hình vẽ. Biết f1=2 khí đó f3 bằng
2
3
4
5
Đáp án D
Ta có ∫13f'xdx=fx13=∫12xdx+∫234−xdx=3
⇔f3−f1=3⇒f3=5
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng 8a263. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBCbằng.
195
65
625
1925
Đáp án A
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng SBC
⇒SD,SBC^=HSD^⇒cosSD,SBC^=cosHSD^=SHSD+) SSAB=12SA.AB=12SA.4a=8a263⇒SA=4a63+) VD.SBC=13DH.SSBC và VD.SBC=VS.BCD=13.SA.SBCD=13.4a63.12.4a.4a=32a369⇒13DH.SSBC=32a369⇒DH=32a363SSBC1
+) Từ BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB⇒BC⊥SB⇒SSBC=12BC.SB=12.4a.SB=2a.SB
+) SB2=SA2+AB2=4a632+16a2=80a23⇒SB=a803⇒SSBC=2a2803
Thế vào (1) ⇒DH=32a363.2a2803=4a105
+)SD2=SA2+AD2=4a632+16a2=80a23⇒SD=a803⇒SH2=SD2−HD2=80a23−4a1052=304a215⇒SH=a30415⇒cosSD;SBC^=SHSD=a30415a803=195
Để lợp ngói một ngôi nhà có dạng mái nhà là lăng trụ đứng thì hết số tiền là 5 triệu đồng (một mái ngói gồm mặt trước nhà và sau nhà). Biết rằng đáy của lăng trụ là tam giác đều có cạnh bằng một nửa chiều dài của mái nhà. Biết thể tích của lăng trụ là 43m3. Gọi số tiền cần để lợp 1m2 mái ngói là x (triệu đồng). Giá trị của x là
0,3125
0,31
0,3
0,32
Đáp án A
Phần ngói cần lợp là phần được tô đậm
Gọi độ dài AD=a⇒CD=2a
VADM.NBC=SΔAMD.CD=34a2.2a=43⇒a=2m
Diện tích mái đã lợp là SABNM+SCDMN=2.4.2=16m2
Số tiền cần lợp 1m2 mái ngói là 516=0,3125
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:2x−2y+z=5; và đường thẳng d:x−12=y−34=z5. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ vectơ pháp tuyến của (Q) là
7;4;−6
44;47;20
44;−47;20
7;4;6
Đáp án C
Giả sử mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng d'.
Gọi A=d∩P, lấy B∈d .
Kẻ BH⊥P, BC⊥d'⇒HC⊥d'⇒P,Q=BCH^=α
Để αmin thì tanαnhỏ nhất
Ta thấy tanα=BHCH≥BHAHCH≤AH
Mà BHAH không đổi nên tanαnhỏ nhất khi tanα=BHAH hay α=BAH^C≡A
⇔d⊥d'⇔ud'→=ud→;np→=14;8;−12ud→;ud'→=−88;94;−40⇒nQ→=44;−47;20
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm và không nhỏ hơn 10 của m để bất phương trình sin3x+2cos3x2sin23x2+sin3x+2≥m−1 đúng ∀x∈ℝ?
10
11
12
15
Đáp án A
Đặt y=sin3x+2cos3x2sin23x2+sin3x+2
⇔y=sin3x+2cos3xsin3x−cos3x+3
(Vì sin3x−cos3x+3>0, ∀x∈ℝ⇒Hàm số luôn xác định trên ℝ)
⇔y−1sin3x−y+2cos3x=−3y*
Vì bất phương trình sin3x+2cos3x2sin23x2+sin3x+2≥m−1 đúng ∀x∈ℝ⇔y−12+y+22≥9y2⇔7y2−2y−5≤0⇔−57≤y≤1 nên (*) luôn có nghiệm
Yêu cầu bài toán m−1≤−57⇔m≤27.→m∈ℤ−10≤m≤27m=−10;−9;...;−1
Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 100 của bất phương trình log2x+log14x+3x−4≥1 bằng
4944
4947
4939
4933
Đáp án A
Điều kiện x>0
BPT⇔x−4log2log2x−log2x+3≥log21⇔x−4log2log2xx+3≥0*
· Nếu x=4 thì (*) được nghiệm đúng nên x=4 là 1 nghiệm của bất phương trình
· Nếu x>4 thì (*) ⇔x>4log2log2xx+3≥0⇔x>4log2xx+3≥1⇔x>4xx+3≥2⇔x≥6
· Nếu x<4 thì (*) ⇔x<4log2log2xx+3≤0⇔x<40<log2xx+3≤1
⇔x<41<xx+3≤2⇔1+132<x≤4.
Vậy nghiệm của (*) là 1+132<x≤4 hoặc x≥6
Cho hàm số y=fxkhông âm và có đạo hàm trên 0;π4thỏa mãn fx=f'xcosx. Biết f0=1, giá trị của fπ4 là
e2x
e22
lne−1
e2−π
Đáp án B
Ta có f'xfx=cosx⇒∫0π4f'xfxdx=∫0π4cosxdx
⇒lntf0fπ4=22⇒lnfπ4=22⇒fπ4=e22
Cho hàm số y=−x2x+1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d có phương trình y=x+m(m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là lớn nhất?
1
2
3
0
Đáp án A
Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình −x2x+1=x+m⇔x≠−12gx=2x2+2m+1x+m=0
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔Δ'>0g−12≠0⇔m2+1>0,∀m−12≠0
Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là Ax1;x1+mBx2;x2+m→Vi−etx1+x2=−m−1x1.x2=m2
⇒2x1+1.2x2+1=−1
Do y'=−12x+12⇒kA=−12x1+12kB=−12x2+12⇒kA+kB=−12x1+12+12x2+12
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 12x1+12+12x2+12≥22x1+1.2x2+1=2⇔kA+kB≤−2
Vậy maxkA+kB=−2⇔2x1+1=−2x2+1⇒x1+x2=−1⇔m=0
Xét các số phức z thỏa mãn z=2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức w=2+2iz1+z là
đường tròn
đường thẳng
elip
đoạn thẳng
Đáp án A
Ta có w=2+2iz1+z⇔w1+z=2+2iz
⇔zw−2i=2−w⇔zw−2i=2−w⇔2.w−2i=2−w
Đặt w=x+yi⇒4x2+y−22=x−22+y2⇔3x2+3y2+4x−16y+12=0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là 1 đường tròn.
Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN là
Vmin=218
Vmin=49
Vmin=227
Vmin=236
Đáp án C
Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.
Theo định lí Talet, ta có ABAM=APAGACAN=AQAG⇒ABAM+ACAN=APAG+AQAG=AP+AQAG
Mặt khác ΔBPE=ΔCQE⇒PE=QE⇒AP+AQ=AE+PE+AE−QE=2AE
Do đó ABAM+ACAN=2AEAG=2.32=3⇒1AM+1AN=3
Đặt AM=xAN=y⇒1x+1y=3
Vì SABC là tứ diện đều ⇒SG⊥ABC và SG=23
Do đó VSAMN=13SΔAMN.SG=1312AM.ANsin60o.SG=212AM.AN=212xy
Ta có 3=1x+1y≥2xy⇔xy≥23⇔xy≥49⇒Vmin=227
Cho mặt phẳng (P) có phương trình: 2m2+m+3x+2m2+m−3y+−2m2−m+3z+2m2+m+9=0. Biết rằng (P) luôn chứa một đường thẳng Δ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng Δ bằng
322
3
54
35
Đáp án A
Ta có 2m2+m+3x+2m2+m−3y+−2m2−m+3z+2m2+m+9=0,∀m∈ℝ
⇔2m2x+y−z+1+mx+y−z+1+3x−y+z+3=0, ∀m∈ℝ
⇒Δ=Q∩R với Q:x+y−z+1=0; R:x−y+z+3=0
Ta có A−2;1;0; B−2;2;1∈P và Q⇒A,B∈Δ
Đường thẳng Δ qua A−2;1;0 và nhận AB→0;1;1là một vectơ chỉ phương có phương trình x=−2y=1+tt∈ℝz=t⇒dO;Δ=OA→;AB→AB→=322
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+dthỏa mãn a+b+c+d>09a+5b+3c+2d<0và hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài vô hạn. Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành?
1
2
3
0
Đáp án C
Hàm số đồng biến trên khoảng vô hạn ⇒a>01(Chưa chắc hàm số sẽ luôn đồng biến trên ℝ - trường hợp này sẽ nhiều em kết luận luôn như vậy)
Ta có a+b+c+d>09a+5b+3c+2d<0⇔f1>0f2+f1<0⇒f2<0
⇒Trên (1;2) đồ thị cắt trục hoành và có chiều đi xuống. (2)
Từ (1) và (2) ta có bảng biến thiên
Dựa vào bẳng biến thiên, ta kết luận đồ thị hàm số sẽ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
