Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (Đề số 17)
50 câu hỏi
Cho số phức z=a+bi với a,b∈ℝ. Môđun của z tính bằng công thức nào sau đây?
z=a+b
z=a+b
z=a2+b2
z=a2+b2
Đáp án C
Ta có: z=a+bi⇒z=a2+b2
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên?
y=−x3−3x2+2
y=−x3+3x2+2
y=x3+3x2+2
y=x3−3x2+2
Đáp án D
Do limx→+∞y=+∞⇒a>0⇒ loại A, B
Do đồ thị đi qua điểm M(2;-2) nên ta chọn D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có bán kính R=2 và tâm O có phương trình
x2+y2+z2=2
x2+y2+z2=2
x2+y2+z2=4
x2+y2+z2=8
Đáp án C
Mặt cầu (S) có bán kính R=2 và tâm O(0;0) có phương trình: x2+y2+z2=4
Tập xác định D của hàm số y=logx4−x2 là
D=0;2\1
D=(0;2)
D=0;+∞
D=(-2;2)
Đáp án A
Điều kiện: 4−x2>00<x≠1⇔−2<x<20<x≠1⇔0<x<2x≠1⇒D0;2\1
Hàm số y=x+12x có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây
Hỏi đồ thị (T) là hình nào?
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
Đáp án B
Đồ thị nhận x = 0 (trục tung) làm tiệm cận đứng → loại C, D
Ta có: y'=−12x2<0,∀x≠0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;0 và 0;+∞
Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f1x;y=f2x (liên tục trên [a;b]) và hai đường thẳng x=a,x=ba<b. Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây?
S=∫abf1x−f2xdx
S=∫abf1x−f2x2dx
S=∫abf1x−f2xdx
S=∫abf1x−f2xdx
Đáp án C
Công thức là S=∫abf1x−f2xdx
Chú ý: Công thức S=∫abf1x−f2xdx chỉ đúng khi trên a;b phương trình f1x−f2x=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm thì đó là nghiệm kép hoặc nghiệm bội chẵn. Hay trên đoạn a;b hai đồ thị y=f1x và y=f2x không có giao điểm hoặc tiếp xúc nhau
Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
GE cắt CD
GE cắt AD
GE, CD chéo nhau
GE // CD
Đáp án D
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC.
Khi đóL AGAM=23=AEAN⇒GE//MN (1)
Mặt khác: MN là đường trung bình của ΔBDC
⇒MN//CD(2)
Từ (1) và (2), suy ra: GE//CD
Cho hai hàm số y=ax và y=logxx với 0<a≠1. Khẳng định nào sau đây sai ?
Hàm số y=logax có tập xác định D=0;+∞
Hàm số y=ax và y=logax đồng biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi a >1
Đồ thị hàm số y=ax nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang
Đồ thị hàm số y=logax nằm phía trên trục hoành
Đáp án D
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm M(1;0) nên D sai
Một hình nón có bán kính đáy bằng 5a, độ dài đường sinh bằng 13a. Tính độ dài đường cao h của hình nón
h=12a
h=8a
h=194a
h=7a6
Đáp án D
Ta có: 12=R2+h2⇒h=12−R2=13a2−5a2=12a
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM→=3i→−2k→ với i→,k→ lần lượt là vectơ đơn vị trên trục Ox, Oz. Tọa độ điểm M là
M(3;-2;0)
M(3;0;-2)
M(0;3;-2)
M(-3;0;2)
Đáp án B
Ta có: OM→=3i→−2k→⇒M3;0;−2
Chú ý: Nếu OM→=x0.i→−y0.j→+z0k→⇒Mx0;y0;z0
Một khối tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng
a326
a3312
a3212
a336
Đáp án C
Ta có: BH=R=a33⇒AH=AB2−BH2=a63
Khi đó: VABCD=13AH.SABC=13.a63.a234=a31212
Chú ý:
+) Một tam giác đều cạnh a có: S=a234;h=a32;R=a33;r=a36
+) Một khối tứ diện đều cạnh a có: V=a3212;h=a63
Trong các phát biểu sau khi nói về hàm số y=14x4−2x2+1, phát biểu nào đúng?
Hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại
Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu
Hàm số có một điểm cực trị
Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
Đáp án B
Ta có: y'=x3−4x=xx2−4. Khi đó: y'=0⇔x∈0;±2
Lập bẳng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực đại x=0 và hai điểm cực tiểu x=±2
Chú ý: Với hàm trùng phương y=ax4+bx2+c để suy luận ra số cực trị (cực đại, cực tiểu) ta chỉ cần dựa vào dấu của hệ số a,b. Cụ thể:
- ab≥0 : Có một cực trị
Một cực đại và không có cực tiểu ⇔a<0b≤0
Một cực tiểu và không có cực đại ⇔a>0b≥0
- ab<0 : có ba cực trị
Có hai cực đại và một cực tiểu ⇔a<0b>0
Có hai cực tiểu và một cực đại ⇔a>0b<0
Ở câu hỏi này ta có: a=14>0b=−2<0⇒ hàm số có hai cực tiểu và một cực đại
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên ℝ, có f8=20;f4=12. Tính tích phân I=∫48f'xdx
I=4
I=32
I=8
I=16
Đáp án C
Ta có: I=∫48f'xdx=fx48=f8−f4=20−12=8
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Hỏi có thể tạo ra được bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba trong 6 điểm trên?
20
120
18
9
Đáp án A
Số tam giác được tạo thành chính là số cách lấy 3 điểm từ 6 điểm phân biệt không quan tâm tới thứ tự. Do đó số tam giác cần tìm là: C63=20
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2x=9−m2 có nghiệm?
Vô số
3
7
5
Đáp án D
Phương trình 2x=9−m2 có nghiệm khi và chỉ khi: 9−m2>0⇔−3<m<3→m ∈ ℤm∈±2;±1;0
Cho hình chóp S.ABC trên cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' sao cho SA=2SA'; SB=3SB' và SC=4SC'. Gọi V và V' lần lượt là thể tích của khối chóp S.A'B'C' và S.ABC. Khi đó tỉ số V'V bằng bao nhiêu
16
112
124
19
Đáp án C
Ta có: V'V=VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA.SB'SB.SC'SC=12.13.14=124
Nghiệm của phương trình 1,5x=23x−2 là
x=0
x=1
x=2
x=log23
Đáp án B
Ta có: 1,5x=23x−2⇔32x=322−x⇔x=2−x⇔x=1
Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể dùng Casio hoặc thay ngược đáp số
Cho hàm số y=x4+x2−3 có đồ thị (C). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=1 là
-1
2
-4
6
Đáp án D
Ta có: y'=4x3+2x
Khi đó hệ góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=1 là : y'(1)=6
Biết T(4;-3) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ phức Oxy. Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức w=z−z¯
M(1;3)
N(-1;-3)
P(-1;3)
Q(1;-3)
Đáp án D
Do T(4;-3) là điểm biểu diễn số phức z.
Suy ra: z=4−3i⇒z=5z¯=4+3i⇒w=z−z¯=5−4+3i=1−3i
Khi đó điểm Q(1;-3) biểu diễn số phức w.
Cho 0<m<1 và ∫0m2x−1exdx=4m−3. Khi đó giá trị nào sau đây gần m nhất?
0,5
0,69
0,73
0,87
Đáp án B
Đặt u=2x−1dx=exdx⇒du=2dxv=ex. Khi đó: ∫0m2x−1exdx=2x−1ex0m−2∫0mexdx=2m−1em+1−2ex0m=2m−3em+3
Suy ra: 2m−3em+3=4m−3⇔2m−3em=22m−3
⇔2m−3=0em=2→0<m<1em=2⇔m=ln2≈0,693 gần giá trị 0,69 nhất
Phương trình 3sinx-1=0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng từ 0;3π?
2
3
4
6
Đáp án C
Ta có: 3sinx−1=0⇔sinx=13 (*)
Dựa vào đường tròn lượng giác, suy ra trên khoảng 0;3π
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
Gọi M, N là giao điểm của đồ thị y=7x+6x−2 và đường thẳng y=x+2. Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN bằng
72
-112
112
-72
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm:
7x+6x−2=x+2⇔x2−7x−10=0 có 2 nghiệm x1,x2 lần lượt là hoành độ của
Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN là : x=x1+x22=72
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết M(a;b;c) (với a>0) là điểm thuộc đường thẳng Δ:x1=y+2−1=z−12 và cách mặt phẳng P:2x−y+2z−5=0 một khoảng bằng 2. Tính giá trị của T=a+b+c
T=-1
T=-3
T=3
T=1
Đáp án D
Do M∈Δ⇒Mt;−2−t;1+2t với t=a>0
Khi đó dM,P=2⇔2t−−2−t+2.1+2t−522+−12+22=2
⇔7t−1=6⇔t=1t=−57→t>0t=1⇒M1;−3;3
⇒T=a+b+c=1−3+3=1
Hình chữ nhật ABCD có AB=4; AD=2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta được một khối tròn xoay có thể tích V bằng
V=4π3
V=8π
V=8π3
V=32π
Đáp án B
Khối tròn xoay được tạo ra là hình trụ (như hình vẽ)
Ta có h=AD=2R=AB2=2⇒V=hπR2=8π
Đạo hàm của hàm số y=3x−15x là
y'=35xln35+15xln5
y'=x35x−1−x15x−1
y'=35xln35−15xln5
y'=x35x−1+x15x−1
Đáp án A
Ta có: y=3x−15x=35x−15x⇒y'35xln35−15xln15=35xln35+15xln5
Biết giá trị lớn nhất của hàm số y=−x3−3x2+m+2 trên đoạn [-1;1] bằng 0 khi m=m0. Hỏi trong các giá trị sau, đâu là giá trị gần m0 nhất?
-4
3
-1
5
Đáp án C
Ta có: y'=−3x2−6x=−3x.x+2;y'=0⇔x=0x=−2→x∈−1;1x=0
Ta có: y−1=m;y0=m+2;y1=m−2⇒max−1;1y=m+2=0⇔m=−2=m0
Vậy m0=−2 gần -1 nhất trong các phương án đưa ra
Hàm số y=x2ex nghịch biến trên khoảng nào?
−∞;−2
(-2;0)
1;+∞
−∞;−1
Đáp án B
Ta có: y'=2x.ex+x2ex=xx+2ex
Xét y'<0⇔xx+2ex<0⇔xx+2<0⇔−2<x<0
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x−13=y+2−1=z+12; d2:x=3ty=4−tz=2+2t và mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lượt tại các điểm A, B. Diện tích S của tam giác OAB bằng bao nhiêu?
S=5
S=3
S=6
S=10
Đáp án A
Mặt phẳng Oxz có phương trình: y=0
+) Thay y=0 vào phương trình d1, suy ra: x−13=0+2−1−z+12⇒x=−5z=−5⇒A−5;0;−5
+) Thay y=0 vào phương trình d2, suy ra: x=3t0=4−tz=2+2t⇔t=4x=12z=10⇒B12;0;10
Suy ra OA→=−5;0;−5OB→=12;0;10⇒OA→,OB→=0;−10;0⇒SOAB=12OA→,OB→=02+102+022=5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a. tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AC và SB
h=3a2
h=2a3
h=a3
h=a2
Đáp án B
Dựng hình bình hành ACBE⇒AC//BE
⇒h=dAC,SB=dAC,SBE=dA,SBE=AH
(Với I là hình chiếu vuông góc của A trên EB và H là hình chiếu vuông góc của A trên SI như hình vẽ).
Ta có ABE là tam giác vuông cân tại A⇒AI=EB2=a22
Khi đó: 1AH2=1AI2+1SA2=2a2+14a2=94a2⇒h=AH=2a3
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z−2−4i=z−2i. Số phức z có môdun nhỏ nhất có tổng phần thực và hai lần phần ảo là
4
6
3
2
Đáp án B
Cách 1: Gọi z=a+bi với a,b∈ℝ. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:
a+bi−2−4i=a+bi−2i⇔(a−2)+(b−4)i=a+b−2i
⇔a−22+b−42=a2+b−22⇔−4a−8b+20=−4b+4⇔a+b=4⇔b=4−a
Suy ra: z=a2+b2=a2+4−a2=2a2−8a+16=2a−22+8≥8=22
Vậy zmin=22 khi a=2⇒b=2⇒a+2b=6
Cách 2: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , khi đó: z−2−4i=z−2i⇔MA=MB
Trong đó A2;4B0;2
Suy ra M thuộc đường thẳng trung trực Δ của AB với Δ:x+y−4=0
Ta có: zmin=OMmin⇔M là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng ∆
Đường thẳng qua O vuông góc với Δ là: x-y=0
Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
x+y−4=0x−y=0⇔x=y=2⇒M2;2⇒z=2+2i⇒ đáp số: 2+2.2=6
Tập nghiệm S của bất phương trình 1log10x2+1+1logx2+12≥1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
4
5
6
7
Đáp án C
Phương trình tương đương 11+logx2+1+12logx2+1≥1. Điều kiện: x≠0
Đặt t=logx2+1 với t>0 khi đó phương trình có dạng:
11+t+12t≥1⇔2t+1+t≥2tt+1⇔2t2−t−1≤0⇔−12≤t≤1⇒0<t≤1
Vậy: logx2+1≤1⇔x2+1≤10⇔−3≤x≤3→x∈ℤ,z≠0x∈±3;±2;±1
Cho cấp số cộng un có công sai d=-4 và u32+u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm u2019 là số hạng thứ 2019 của cấp số cộng đó
u2019=-8062
u2019=8060
u2019=-8058
u2019=-8054
Đáp án A
Ta có: u32+u42=u1+2d2+u1+3d2=u1−82+u1−122
=2u12−40u1+208=2u1−102+8≥8
Suy ra: u23+u42min=8 khi u1=10⇒u2019=u1+2018d=10+2018.−4=−8062
Trong tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y=x−4mx2+m2−17 có bốn đường tiệm cận, có bao nhiêu giá trị m nguyên?
1
2
3
4
Đáp án C
Theo yêu cầu bài toán thì đồ thị phải có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang
+) Đồ thị có 2 tiệm cận ngang thì m>0*⇒y=x−4mx2+m2−17~xmx2=±1m khi x→±∞.
Nghĩa là đồ thị có 2 tiêm cận ngang y=±1m
+) Đồ thị có 2 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình fx=mx2+m2−17=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 4
⇔m17−m2>0 *f4=m2+16m−17≠0⇔0<m<17m∉1;−17→m∈ℤm∈2;3;4
Cho số phức z có môđun bằng 2. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tạo độ biểu diễn số phức w=2z+4−3i là đường tròn tâm I(a;b), bán kính R. Tổng a+b+R bằng
6
9
15
17
Đáp án D
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức w=x+yi. Khi đó: x+yi=2z+4−3i⇔2z=x−4+y+3i
⇒2z=x−4+y+3i⇔16=x−42+y+32⇔x−42+y+32=162
Suy ra M thuộc đường tròn tâm I(4;-3) và bán kính R=16⇒a+b+R=4+−3+16=17
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I(3;1;-3) và cắt trục tung Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Phương trình mặt cầu (S) là
x−32+y−12+z+32=6
x−32+y−12+z+32=3
x−32+y−12+z+32=36
x−32+y−12+z+32=9
Đáp án C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên trục Oy
⇒H0;1;0⇒IH=32
Do IAB là tam giác vuông cân nên suy ra: IH=AB2=IA22=R22=32⇒R=6
Suy ra phương trình mặt cầu S:x−32+y−12+z+32=36
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn −3;10, biết f−3=f3=f8 và có bảng biến thiên như hình bên:
Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình f(x)=f(m) có ba nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn [-3;10]?
1
2
8
9
Đáp án C
Số nghiệm của phương trình f(x)=f(m) (*) chính là số giao điểm của đồ thị y=f(x) và đường thẳng y=f(m) có phương song song hoặc trùng với trục Ox.
Do đó dựa vào bẳng biến thiên của hàm số y=f(x), phương trình (*) có ba nghiệm thực phân biệt ⇔3≤fm<5(2*)
Từ bảng biến thiên của hàm số y=f(x), ta có: 3≤fx<5⇔−3≤x<11<x≤38≤x<10
Khi đó (2*) ⇔−3≤m<11<m≤38≤m<10→m∈ℤm∈−3;−2;−1;0;2;3;8;9: có 8 giá trị m
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y=gx=x2fx3 có đồ thị trên đoạn [-1;3] như hình vẽ. Biết miền hình phẳng được tô sọc kẻ có diện tích S=6.
Tính tích phân I=∫127fxdx
I=2
I=12
I=24
I=18
Đáp án D
Hình phẳng được giới hạn bởi các đường: y=x2fx3y=0x=1;x=3
Khi đó ta có: 6=S=∫13x2fx3dx
Đặt t=x3⇒dt=3x2dx⇒x2dx=13dtx=1⇒t=1⇒x=3⇒t=27
Suy ra: 6=13∫127ftdt=13∫127fxdx=I3⇒I=18
Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Biết tổng số chấm sau hai lần gieo là m. Tính xác suất để sau hai lần gieo phương trình x2−mx+21=0 có nghiệm
16
14
13
313
Đáp án A
Số khả năng xảy ra khi gieo 2 con súc sắc liên tiếp là: nΩ=6.6=36
Gọi A là biến cố để phương trình x2−mx+21=0 có nghiệm
Với m là tổng số chấm sau 2 lần gieo, suy ra: 2≤m≤12
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: Δ=m2−84≥0→m∈ℤ;2≤m≤12m∈10;11;12
Trường hợp 1: m=10=6+4=4+6=5+5 có 3 cách
Trường hợp 2: m=11=6+5=5+6 có 2 cách
Trường hợp 3: m=12=6+6 có 1 cách
Suy ra nA=3+2+1=6⇒PA=nAnΩ=636=16
Từ miếng tôn hình vuông ABCD cạnh bằng 8dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính (như hình vẽ) để cuộn lại thành chiếc phễu hình nón (khi đó AB trùng với AD). Tính thể tích V của khối nón tạo thành
V=8π153 dm3
V=8π155 dm3
V=8π15 dm3
V=4π153 dm3
Đáp án B
Độ dài cung tròn BD bằng 14 chu vi đường tròn, bán kính AB và bằng chu vi đáy của hình nón.
Do đó ta có: 14.2π.8=2πR⇔R=2⇒h=12−R2=82−22=215
Suy ra thể tích của nón: V=13hπR2=13.215π22=8π153 dm3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết A(1;0;0); B(5;0;0); C(5;4;0) và chiều cao hình chóp bằng 6. Gọi I(a;b;c) là điểm cách đều 5 đỉnh của hình chóp (với c>0). Tính giá trị của T=a+2b+3c
T=41
T=14
T=23
T=32
Đáp án B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD≡Oxy. Do S.ABCD là chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD⇒H3;2;0 (với H là trung điểm của AC)
Theo đề ra ta có: SH=6⇒S3;2;6S3;2;−6
Vì I cách đều 5 đỉnh của chóp nên suy ra:
I∈SH⇒I3;2;c. Do c>0⇒S3;2;6
Mặt khác: IA=IS⇔IA2=IS2
⇔22+22+c2=c−62⇔12c=28⇔c=73
⇒I3;2;73⇒a=3;b=2;c=73⇒T=a+2b+3c=14
Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2x2+2x+m−45x−3lnx+x2−8x+m+6lnx=0 có ba nghiệm thực phân biệt?
0
1
2
vô số
Đáp án B
Điều kiện: x > 0
Biến đổi phương trình tương đương: 2x2+2x+m+x2+2x+m=210x−6lnx+10x−6lnx
Đặt u=x2+2x+mv=10x−6lnx, khi đó phương trình có dạng:
2u+u=2v+v⇔fu=fv với ft=2t+1 là hàm số đồng biến
⇔u=v⇔x2+2x+m=10x−6lnx⇔m=−x2+8x−6lnx=gx với x>0
Ta có: g'x=−2x+8−6x=−2x2−4x+3x
g'x=0⇔x=1x=3
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi: 7<m<15−6ln3≈8,4→m∈ℤm=8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ:x1=y−2=z+2−2 và tiếp xúc với mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−3=0. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
M(2;0;0)
N(2;1;0)
P(1;1;-1)
Q(-1;2;0)
Đáp án D
Ta có: Δ:x1=y−2=x+2−2⇔2x+y=0y−z−2=0
Do Δ⊂P, suy ra mặt phẳng (P) có dạng: a.2x+y+b.y−z−2=0⇔2ax+a+by−bz−2b=0
với
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;0) và bán kính R=2
Do (P) tiếp xúc với (S) nên: dI,P=R⇔2a−2b4a2+a+b2+b2=2
⇔a−b2=4a2+a+b2+b2⇔4a2+4ab+b2=0⇔2a+b2=0⇔b=−2a
Chọn a=1b=−2⇒P:2x−y+2z+4=0 đi qua điểm Q(-1;2;0)
Chú ý: Mặt phẳng chứa đường thẳng Δ:a1x+b1y+c1z+d1=0a2x+b2y+c2z+d2=0 luôn có dạng:
A.a1x+b1y+c1z+d1+B.a2x+b2y+c2z+d2=0 với A2+B2≠0
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số y=fx2+2x+9−x2+2x+4 có bao nhiêu điểm cực tiểu?
0
1
2
3
Đáp án C
Ta có: y'=x+11x2+2x+9−1x2+2x+4.f'x2+2x+9−x2+2x+4
Khi đó: y'=0⇔x+1=0x2+2x+9=x2+2x+4f'x2+2x+9−x2+2x+4=0
⇔x=−1x2+2x+9−x2+2x+4∈−1;1;3 *
Do x2+2x+9−x2+2x+4=5x2+2x+9+x2+2x+4x2+2x+9≥8;x2+2x+4≥3
⇒0<5x2+2x+9+x2+2x+4≤58+3≈1,096 (2*)
Từ (*), (2*), suy ra: x2+2x+9−x2+2x+4=1⇔x2+2x+9=x2+2x+4−1
⇒x2+2x+9=x2+2x+4−2x2+2x+4+1⇔x2+2x+4=2⇔x=0x=−2
Vậy y'=0⇔x∈−1;0;−2
Tính y'1=2.112−17.f'12−7≈−0,18.f'0,82>0 (do f'0,82<0)
Khí đó ta có bẳng xét dấu của như sau:
Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=−1;x=2,y=0 và parabol P:ax2+bx+c bằng 15. Biết (P) có đỉnh I(1;2) là điểm cực tiểu. Tính T=a+b-c
T=-8
T=-2
T=14
T=3
Đáp án A
Ta có: y'=2ax+b
Do I (1;2) là điểm cực tiểu của P⇒y'1=0y1=2⇔2a+b=0a+b+c=2⇔b=−2ac=a+2
Khi đó (P) có dạng: y=ax2−2ax+a+2
Do (P) có đỉnh I(1;2) nằm phía trên trục Ox⇒y=ax2−2ax+a+2>0,∀x∈ℝ
Khi đó diện tích hình phẳng S=∫−12ax2−2ax+a+2dx=ax33−ax2+a+2x−12=3a+6
Suy ra: 3a+6=15⇔a=3⇒b=−6c=5⇒T=a+b−c=−8
Cho hai đường thẳng song song Δ1 và Δ2. Nếu trên hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có tất cả 2018 điểm thì số tam giác lớn nhất có thể tạo ra từ 2018 điểm này là
1020133294
1026225648
1023176448
1029280900
Đáp án B
Gọi n là số điểm thuộc đường thẳng Δ1. Suy ra số điểm thuộc Δ2 là: 2018-n
+) Nếu n=1, thì số điểm thuộc Δ1,Δ2 lần lượt là: 1; 2017. Suy ra số tam giác: 1.C20172=2033136
+) Nếu n≠1 thì tam giác có thể tạo ra thuộc một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Tam giác có 3 đỉnh được lấy từ 1 điểm thuộc Δ1 và 2 điểm thuộc Δ2
Trường hợp 2: Tam giác có 3 đỉnh được lấy từ 2 điểm thuộc Δ1 và 1 điểm thuộc Δ2
Suy ra số tam giác là: ∑Δ=n.C2018−n2+Cn2.2018−n=n2018−n2017−n2+2018−n.nn−12
=1008.n2018−n=1008.10092−n−10092≤1008.10092=1026225648
Dấu “=” xảy ra khi n=1009, suy ra : ∑Δmax=1026225648
Cho a là số thực và z là nghiệm của phương trình z2−2z+a2−2a+5=0. Biết a=a0 là giá trị để số phức z có môđun nhỏ nhất. Khi đó a0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
-3
-1
4
2
Đáp án D
Gọi z=x+yi với x,y∈ℝ. Khi đó phương trình có dạng:
x+yi2−2x+yi+a2−2a+5=0
⇔x2−y2−2x+a2−2a+5+2yx−1i=0
⇔x2−y2−2x+a2−2a+5=0 *2yx−1=0 2* . Từ (2*) 2*⇔y=0x=1
+) Với y=0, khi đó (*) có dạng:
x2−2x+a2−2a+5=0⇔x−12+a−12+3=0 (vô nghiệm)
+) Với x=1, khi đó (*) có dạng: −y2+a2−2a+4=0⇔y2=a2−2a+4
Suy ra: z=x2+y2=1+a2−2a+4=a−12+4≥2
Vậy zmin=2 khi a=a0=1 gần 2 nhất (trong các phương án đưa ra)
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M bất kì. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên MC, AC và đường thẳng cắt EF tại N (như hình bên). Khi đó thể tích của tứ diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
a364
a334
a336
a3612
Đáp án D
Ta có: VMNBC=VM.ABC+VN.ABC=13MA.SABC+13NA.SABC=13MN.SABC
Đặt AM=x⇒MN=x+AN
Ta có: BF⊥MAC⇒BF⊥MC⇒MC⊥BEF≡BEN
Suy ra: MC⊥BN⇔MC→.BN→=0⇔MA→+AC→BA→+AN→=0
⇔0+x.AN−a2.12+0=0⇔AN=a2ax
Khi đó: MN=x+a2ax≥2x.a22x=a2
Suy ra: VMNBC=13MN.SABC≥13a2.a234=a3612
Cho hàm số fx=x−12ax2+4ax−a+b−2, với a,b∈ℝ. Biết trên khoảng −43;0 hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=-1. Vậy trên đoạn −2;−54 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
x=-2
x=−32
x=−43
x=−54
Đáp án B
Ta có: f'x=2x−1ax2+4ax−a+b−2+x−122ax+4a
=x−14ax2+10ax−6a+2b−4
Vì là điểm cực đại của hàm số
Suy ra: f'−1=0⇔−12a+2b−4=0⇔b=6a+2
Khi đó: f'x=x−14ax2+10ax+6a=2ax−12x2+5x+3
f'x=0⇔x∈1;−1;−32
Do x=-1 là điểm cực đại nên a > 0, do đó ta có trục dấu của f'(x)
Suy ra min−2;−54fx=f−32 hay trên đoạn −2;−54 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=−32
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình của mặt cầu Sm:x2+y2+z2+m+2x+2my−2mz−m−3=0. Biết với mọi số thực m thì Sm luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính r của đường tròn đó
r=13
r=423
r=23
r=3
Đáp án B
Gọi M(x;y;z) là điểm cố định là Sm luôn đi qua. Suy ra:
x2+y2+z2+m+2x+2my−2mz−m−3=0,∀m∈ℝ
⇔mx+2y−2z−1=−x2+y2+z2+2x−3,∀m∈ℝ
⇔x+2y−2z−1=0x2+y2+z2+2x−3=0
Suy ra tập hợp điểm M là một đường tròn cố định được tạo ra bởi giao điểm của mặt phẳng P:x+2y−2z−1=0 và mặt cầu S:x2+y2+z2+2x−3=0
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;0;0) và bán kính R=2 và h=dI,P=23
Suy ra bán kính của đường tròn là: r=R2−h2=22−232=423
Cho phương trình mx2018x2019−1+x2+1=0. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m∈−100;100 để phương trình trên có nghiệm thực?
200
201
100
99
Đáp án A
Nếu m=0 phương trình có dạng x2+1=0 (vô nghiệm)
Nếu m≠0 thì vế trái của phương trình là đa thức bậc lẻ, vế phải bằng 0. Nên phương trình luôn có nghiệm. Thật vậy:
Đặt fx=mx2018x2019−1+x2+1 khi đó limx→−∞fx.limx→+∞fx<0 và f(x) liên tục trên ℝ
Nên suy ra đồ thị y=f(x) luôn cắt trục Ox , hay phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm
Khi đó m∈−100;100\0m∈ℤ có 200 số m thỏa mãn
Chú ý: Nếu y=f(x) là một đa thức bậc lẻ thì phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm
