Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có lời giải ( Đề 5)
20 câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
\(3\).
\( - 2\).
\( - 1\).
\(2\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho là 3. Chọn A.
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + 3x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(0\).
\(3\).
\(6\).
\(7\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + 3\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = {a^2} - 3 \cdot 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le a \le 3\).
Vậy có 7 số nguyên \(a\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn D.
Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\)vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\)?
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 1\,;\,1\,;\,3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,\,1} \right)\). Chọn A.
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) là
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2; - 2} \right\}\).
Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{3}{4}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{3}{4}\).
Suy ra đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\). Chọn B.
Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {4^x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\). Giá trị của \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \ln 2\) bằng
\(3\).
\(7\).
\(5\).
\(9\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{4^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C} \).Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C\).
Vì \(F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}}\). Suy ra \(C = - \frac{1}{{\ln 2}}\).Do đó \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{{4^{\frac{3}{2}}}}}{{2\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\).
Suy ra \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \ln 2 = 3\). Chọn A.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\), trục tung và tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;0} \right)\) bằng
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 1} \right)^\prime } = 2x;f'\left( { - 1} \right) = - 2\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;0} \right)\) là
\(y = f'\left( { - 1} \right) \cdot \left( {x + 1} \right) + f\left( { - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = - 2 \cdot \left( {x + 1} \right) + 0\) hay \(y = - 2x - 2\).
Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - 2x - 2} \right)} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + 2x + 1} \right|{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\). Chọn C.
Bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - x + 7} \right) < 2\) có tập nghiệm là khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Tính \(b - a\).
\(b - a = - 1\).
\(b - a = - 3\).
\(b - a = 3\).
\(b - a = 1\).
\({\log _3}\left( {{x^2} - x + 7} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 7 > 0\\{x^2} - x + 7 < {3^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} - x - 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\ - 1 < x < 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 1;2} \right)\).
Suy ra \(a = - 1;b = 2\). Do đó \(b - a = 2 + 1 = 3\). Chọn C.
Cho hai biến có \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,7;P\left( B \right) = 0,5\) và \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,8\). Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(B\) là
\(0,4\).
\(0,5\).
\(0,7\).
\(0,8\).
Ta có \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = 0,7 + 0,5 - 0,8 = 0,4\).
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\). Chọn D.
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) và đường kính 6 có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(2;1; - 1)\) và bán kính \(R = 3\) nên có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\). Chọn B.
Dùng đồ thị hàm số \(y = - \sin x\) (tham khảo hình vẽ), xác định số nghiệm của phương trình \(2\sin x + \sqrt 2 = 0\) trên đoạn \( - \frac{{3\pi }}{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{2}\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
\(4\).
\(2\sin x + \sqrt 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Trên đoạn \( - \frac{{3\pi }}{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{2}\) , đồ thị hàm số \(y = - \sin x\) và đường thẳng \(y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có 3 điểm chung nên phương trình \(\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có 3 nghiệm phân biệt. Chọn B.
Thời gian thực hiện xong một thí nghiệm hóa học của học sinh lớp 12H được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian (phút) | \(\left[ {5;\,6} \right)\) | \(\left[ {6;\,7} \right)\) | \(\left[ {7;\,8} \right)\) | \(\left[ {8;\,9} \right)\) | \(\left[ {9;\,10} \right)\) |
Số học sinh | 12 | 25 | 0 | 0 | 1 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
\(5\).
\(4\).
\(2\).
\(1\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(10 - 5 = 5\). Chọn A.
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\) và \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = 1 + t\\z = - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right.\).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1; - 1} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = 1 + t\\z = - t\end{array} \right.\). Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}}\).
a) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) có \(x = 2\) làm điểm cực tiểu.
c) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta luôn có \( - 1 \le f\left( x \right) \le \frac{1}{2}\).
d) Nếu \( - 1 < m \le 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = m\) có hai nghiệm.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} = 0\).
Do đó \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).Có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\left( {{x^2} - x - 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\);
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 2\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \( - 1 \le f\left( x \right) \le \frac{1}{2}\).
Với \(m = 0\) đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = m\) có 1 điểm chung nên phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 1 nghiệm phân biệt.
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {0;1; - 6} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0\).
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).
c) Điểm \(C\left( { - 3;3;1} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
d) Gọi \(d\) là một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) và \(d\) đi qua \(B\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) đạt giá trị nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \(d\) có tọa độ là \(\left( {a;b;c} \right)\) với \(a\) là số nguyên tố. Giá trị của \(a + b + c = 6\).
Ta có \(4 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 3 + 13 = 21 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) không đi qua điểm \(A\).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {4; - 1;2} \right).\)
Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Gọi \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Vì \(C \in \Delta \) nên \(C\left( {1 + 4{t_0};2 - {t_0};3 + 2{t_0}} \right)\).
Vì \(C \in \left( P \right)\) nên \(4\left( {1 + 4{t_0}} \right) - \left( {2 - {t_0}} \right) + 2\left( {3 + 2{t_0}} \right) + 13 = 0\), suy ra \({t_0} = - 1\).Vậy \(C\left( { - 3;3;1} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {CB} = \left( {3; - 2; - 7} \right)\).Suy ra \(a + b + c = 3 - 2 - 7 = - 6\).
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Huấn luyện viên thống kê thời gian chạy cự li 200 m của hai vận động viên Hoa và Mai trong một đợt huấn luyện ở bảng sau.
Thời gian (giây) | \(\left[ {23,7;\,23,8} \right)\) | \(\left[ {23,8;\,23,9} \right)\) | \(\left[ {23,9;\,24} \right)\) | \(\left[ {24;\,24,1} \right)\) | \(\left[ {24,1;\,24,2} \right)\) |
Số lần chạy của Hoa | 11 | 15 | 7 | 0 | 5 |
Số lần chạy của Mai | 28 | 18 | 4 | 0 | 0 |
a) Khoảng biến thiên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau.
b) Thành tích trung bình của Hoa đạt dưới 23,9 giây.
c) Nếu so sánh theo số trung bình thì thành tích của Hoa tốt hơn của Mai.
d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì Mai có thành tích ổn định hơn Hoa.
Khoảng biến thiên thời gian chạy của Hoa là \(24,2 - 23,7 = 0,5\) (giây).
Khoảng biến thiên thời gian chạy của Mai là \(24 - 23,7 = 0,3\)(giây).
Ta có bảng sau
Thời gian (giây) | \(\left[ {23,7;23,8} \right)\) | \(\left[ {23,8;23,9} \right)\) | \(\left[ {23,9;24} \right)\) | \(\left[ {24;24,1} \right)\) | \(\left[ {24,1;24,2} \right)\) |
Giá trị đại diện | \(23,75\) | \(23,85\) | \(23,95\) | \(24,05\) | \(24,15\) |
Số lần chạy của Hoa | 11 | 15 | 7 | 0 | 5 |
Số lần chạy của Mai | 28 | 18 | 4 | 0 | 0 |
Thành tích trung bình của Hoa là
\(\overline {{x_1}} = \frac{{23,75 \cdot 11 + 23,85 \cdot 15 + 23,95 \cdot 7 + 24,05 \cdot 0 + 24,15 \cdot 5}}{{38}} \approx 23,8789 < 23,9\).
Thành tích trung bình của Mai là
\(\overline {{x_2}} = \frac{{23,75 \cdot 28 + 23,85 \cdot 18 + 23,95 \cdot 4 + 24,05 \cdot 0 + 24,15 \cdot 0}}{{50}} = 23,802\).
Vì \(\overline {{x_2}} < \overline {{x_1}} \) nên thành tích trung bình của Mai tốt hơn Hoa.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thời gian chạy của Hoa là
\({s_1} = \sqrt {\frac{{23,{{75}^2} \cdot 11 + 23,{{85}^2} \cdot 15 + 23,{{95}^2} \cdot 7 + 24,{{05}^2} \cdot 0 + 24,{{15}^2} \cdot 5}}{{38}} - 23,{{8789}^2}} \approx 0,134\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thời gian chạy của Mai là
\({s_2} = \sqrt {\frac{{23,{{75}^2} \cdot 28 + 23,{{85}^2} \cdot 18 + 23,{{95}^2} \cdot 4 + 24,{{05}^2} \cdot 0 + 24,{{15}^2} \cdot 0}}{{50}} - 23,{{802}^2}} = 0,064\).
Do độ lệch chuẩn của Mai thấp hơn của Hoa nên Mai có thành tích ổn định hơn Hoa.
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Một chiếc bát thủy tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng \(D\) quanh một đường thẳng \(a\) bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên trục là decimét) vào hình phẳng \(D\) tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng \(a\) sẽ trùng với trục \(Ox\). Khi đó hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). Thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\) quay quanh trục \(Ox\).
Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{111\pi }}{4}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Gọi \({V_2}\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\) quay quanh trục \(Ox\).
Khi đó \({V_2} = \pi \int\limits_1^4 {{x^2}} \;{\rm{d}}x = 21\,\pi \,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Vậy thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó là:\(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{111\pi }}{4} - 21\pi = \frac{{27\pi }}{4} \approx 21,2\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\)
Đáp án: \(21,2\).
Khi đặt hệ tọa độ \[Oxyz\]vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu \(\left( S \right)\) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0\]. Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?
![Khi đặt hệ tọa độ \[Oxyz\]vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid44-1737301480.png)
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}\).
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là \(6\)km.
Đáp án: \(6\).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có hai đỉnh di động trên đồ thị hàm số \(y = 9 - {x^2}\) trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\), hai đỉnh còn lại nằm trên trục hoành (tham khảo hình vẽ). Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) (làm trònkết quả đến hàng phần mười).
Kí hiệu \(x\) là hoành độ của điểm \(B\)\(\left( {0 < x < 3} \right)\).
Ta có \(AB = 2x,BC = 9 - {x^2}\).
Từ đó, diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \(S\left( x \right) = 18x - 2{x^3},0 < x < 3\).
Ta có \(S'\left( x \right) = 18 - 6{x^2}\), \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \) (do \(x > 0\)).Bảng biến thiên:
Từ đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 \approx 20,8\).
Đáp án: \(20,8\).
Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ hạng I là \(0,8\) và của xạ thủ hạng II là \(0,7\). Chọn ngẫu nhiên 1 xạ thủ từ một nhóm gồm 4 xạ thủ hạng I và 6 xạ thủ hạng II. Xạ thủ này bắn một viên đạn và viên đạn đó trúng mục tiêu, tính xác suất để đó là xạ thủ hạng I (làm trònkết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \(A\) là biến cố “Xạ thủ được chọn thuộc hạng I”, \(C\) là biến cố “Xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.Ta cần tính \(P\left( {A|C} \right)\).
Ta có \(P\left( {A|C} \right) = \frac{{P\left( {C|A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {C|A} \right)P\left( A \right) + P\left( {C|\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,8 \cdot 0,4}}{{0,8 \cdot 0,4 + 0,7 \cdot 0,6}} = \frac{{16}}{{37}} \approx 0,43\).
Đáp án: \(0,43\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;1;2} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( { - 1;6;0} \right)\). Xét \(M\left( {a;b;0} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho biểu thức \(S = 2MA + \left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu (làm trònkết quả đến hàng phần mười)?
Trung điểm của \(BC\) là \(I\left( {1;4;1} \right)\).Ta có \(S = 2MA + \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2\left( {MA + MI} \right)\).
Do điểm \(A\) và điểm \(I\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(MA + MI = MA' + MI\) với \(A'\left( { - 1;1; - 2} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Ta lại có \(S = 2\left( {MA' + MI} \right) \ge 2A'I\).Suy ra \(M \in \left( {Oxy} \right)\) và \(M,A',I\) thẳng hàng.
Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow {A'M} = \left( {a + 1;b - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {A'I} = \left( {2;3;3} \right)\) cùng phương.
Suy ra \(\frac{{a + 1}}{2} = \frac{{b - 1}}{3} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = 3\end{array} \right.\).Vậy \(a + b = \frac{{10}}{3} \approx 3,3\).
Đáp án: \(3,3\).
