Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có lời giải ( Đề 4)
20 câu hỏi
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid27-1737299946.png)
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). Chọn B.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng
\( - 2\).
\(0\).
\(2\).
\(4\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Có \(f\left( { - 1} \right) = - 2;f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\). Chọn C.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx - 1\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\)?
\(23\).
\(8\).
\(9\).
Vô số.
Ta có \(y' = {x^2} + 2x - m\). Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx - 1\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\) khi phương trình \(y' = 0\) chỉ có đúng một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\).
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = m\) (*). Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình (*) có đúng một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\) khi \(0 < m < 24\). Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;23} \right\}\).
Vậy có 23 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f\left( { - 1} \right) = 1\) và \(f'\left( { - 1} \right) = - 4\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;1} \right)\) là:
\(y = - 4x - 5\).
\(y = - 4x + 3\).
\(y = 4x + 5\).
\(y = - 4x - 3\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\[y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + f\left( { - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow y = - 4\left( {x + 1} \right) + 1\]\[ \Leftrightarrow y = - 4x - 3.\]Chọn D.
Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như bên?
\(y = x - \frac{1}{{x - 1}}\).
\(y = - x + \frac{1}{{x - 1}}\).
\(y = - x - \frac{1}{{x - 1}}\).
\(y = x + \frac{1}{{x - 1}}\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(y = x\) là tiệm cận xiên, \(x = 1\) là tiệm cận đứng. Do đó loại đáp án B, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;3} \right)\) nên thay tọa độ điểm \(\left( {2;3} \right)\) vào hàm số \(y = x + \frac{1}{{x - 1}}\) ta thấy thỏa mãn. Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có phương trình là
\(2x + y - 3z - 8 = 0\).
\(2x - y + 3z - 8 = 0\).
\(2x + y - 3z + 8 = 0\).
\(2x - y + 3z + 8 = 0\).
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Vì \(d \bot \left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) có phương trình là \(2\left( {x - 1} \right) - y + 3\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 8 = 0\). Chọn B.
Câu lạc bộ cờ vua của trường Lê Lợi có 4 học sinh lớp 10; 6 học sinh lớp 11 và 5 học sinh lớp 12. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ câu lạc bộ. Xác suất để có ít nhất 2 học sinh khối 10 trong 3 học sinh được chọn là
\(\frac{1}{{13}}\).
\(\frac{2}{{13}}\).
\[\frac{3}{{13}}\].
\(\frac{4}{{13}}\).
Xác suất để có 2 học sinh khối 10 trong 3 học sinh được chọn là \(\frac{{11 \cdot C_4^2}}{{C_{15}^3}} = \frac{{66}}{{455}}\).
Xác suất để có 3 học sinh khối 10 trong 3 học sinh được chọn là \(\frac{{C_4^3}}{{C_{15}^3}} = \frac{4}{{455}}\).
Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{{66}}{{455}} + \frac{4}{{455}} = \frac{2}{{13}}\). Chọn B.
Cho hàm số \(y' = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là \(F\left( x \right).\) Biết rằng \(F\left( 1 \right) = 9{\kern 1pt} ,F\left( 2 \right) = 5.\) Giá trị của biểu thức \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\) bằng:
\( - 4\).
\(14\).
\[4\].
\(45\).
Ta có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array} = F\left( 2 \right)} \right. - F\left( 1 \right) = 5 - 9 = - 4\). Chọn A.
Độ cao các bậc cầu thang so với mặt sàn tầng 1 của một căn nhà theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai \(d = 16\;{\rm{cm}}\), bậc thứ nhất có độ cao \({u_1} = 16\;{\rm{cm}}\). Bậc thứ năm có độ cao so với mặt sàn tầng 1 bằng
\(21\;{\rm{cm}}\).
\(80\;{\rm{cm}}\).
\(96\;{\rm{cm}}\).
\(64\;{\rm{cm}}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\d = 16\end{array} \right.\).
Bậc thứ 5 có độ cao so với mặt sàn tầng 1: \({u_5} = {u_1} + 4d = 16 + 16 \cdot 4 = 80\) (cm). Chọn B.
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^{2x}}\) là
\(\int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{5^{2x}}}}{{\ln 5}} + C\).
\(\int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{5^{2x}}}}{{2\ln 5}} + C\).
\(\int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} = 2 \cdot {5^{2x}} \cdot \ln 5 + C\).
\(\int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} = {5^{2x}} \cdot \ln 5 + C\).
Ta có \(\int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left( {{5^2}} \right)}^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{5^{2x}}}}{{2\ln 5}} + C\). Chọn B.
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 3,x = 4\). Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là
\(V = \int\limits_3^4 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} \).
\(V = \int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right){\rm{d}}x} \).
\(V = \pi \int\limits_3^4 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} \).
\(V = \pi \int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right){\rm{d}}x} \).
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là
\(V = \pi \int\limits_3^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right){\rm{d}}x} \). Chọn D.
Thời gian đọc sách mỗi ngày của một số học sinh được cho trong bảng sau.
Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
\(25\).
\(26\).
\(25,56\).
\(26,67\).
Có \(n = 3 + 10 + 12 + 15 + 20 = 60\).
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({M_e} = 25 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 25}}{{15}} \cdot \left( {30 - 25} \right) = \frac{{80}}{3} \approx 26,67\). Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - x + 1 - \frac{1}{{x - 1}}\).
a) Đường thẳng \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
b) Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1\).
c) Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \( - 2\).
d) Bất phương trình \({x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m + 2 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\) nếu \(m \ge - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0\).
Do đó \(y = - x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có \(y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1\).
Có \(y' = \frac{{2x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(2\).
Với \(x > 1\), ta có:
\({x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m + 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right) \ge - {x^2} + 2x - 2\)\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) hay \(f\left( x \right) \le m\).
Từ bảng biến thiên, ta có \(f\left( x \right) \le - 2\) với mọi \(x > 1\).
Suy ra nếu \(m \ge - 2\) thì bất phương trình \(f\left( x \right) \le m\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = \frac{1}{2}\sqrt x \) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).
a)Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} .\)
b)Gọi \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \frac{1}{2}\sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x{\rm{d}}x} .\)
c)Giá trị của biểu thức \({V_1} - {V_2}\) bằng \(12\pi \).
d)Một vật thể A có hình dạng được tạo thành khi quay hình phẳng \(D\)quanh trục \(Ox\)( đơn vị trên hai trục tính theo centimét). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimét khối) là \(37,7{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 x \;{\rm{d}}x = 8\pi \); \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{1}{2}\sqrt x } \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x} \;{\rm{d}}x = 2\pi \).
Khi đó, \({V_1} - {V_2} = 6\pi \). Vậy thể tích của vật thể \({\rm{A}}\) là \(6\pi \approx 18,8\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bằng \(2\sqrt 2 \), cạnh bên \(SA = 4\) (tham khảo hình vẽ).
a) Tọa độ của điểm \(A\) là \(\left( {0;2;0} \right)\).
b) Trọng tâm của tam giác \(SAB\) là \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
c) Nếu \(E\left( {a;0;b} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho ba điểm \(C,E,G\) thẳng hàng thì \(a \cdot b = \sqrt 3 \).
d) Nếu \(M\left( {0;m;n} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MG + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({m^2} + {n^2} = 1\).
Ta có \(AB = 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OA = OB = 2\)\( \Rightarrow A\left( {0; - 2;0} \right)\).Ta có \(OB = 2 \Rightarrow B\left( {2;0;0} \right)\).
\(OS = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt 3 \Rightarrow S\left( {0;0;2\sqrt 3 } \right)\).
Suy ra tọa độ của trọng tâm của tam giác \(SAB\) là\(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Ta có \(C\left( {0;2;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {CE} = \left( {a; - 2;b} \right)\), \(\overrightarrow {CG} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{8}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Vì \(C,E,G\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {CE} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CG} \)
\( \Rightarrow \frac{{3a}}{2} = \frac{3}{4} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a \cdot b = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Do \(D\) đối xứng với \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên với mọi điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\), ta đều có \(MG + MB = MG + MD\).
Mặt khác, hai điểm \(G\) và \(D\) khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(MG + MD\) nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm \(G,D,M\) thẳng hàng.
Ta có \(D\left( { - 2;0;0} \right)\), \(\overrightarrow {DM} = \left( {2;m;n} \right),\overrightarrow {DG} = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Vì \(G,D,M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {DM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {DG} \)
\( \Rightarrow \frac{3}{4} = - \frac{{3m}}{2} = \frac{{n\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {m^2} + {n^2} = 1\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra \(2000\) sản phẩm trong đó có \(39\) sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Xét các biến cố:
\({A_1}\): Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi. Khi đó, ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{39}}{{2000}}\); \(P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{1961}}{{2000}}\).
\({A_2}\): Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.
Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn \(1999\) sản phẩm và trong đó có \(38\) sản phẩm lỗi nên ta có: \(P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} \right.} \right) = \frac{{38}}{{1999}}\), suy ra \(P\left( {\overline {{A_2}} \left| {{A_1}} \right.} \right) = \frac{{1961}}{{1999}}\).
Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn \(1999\) sản phẩm trong đó có \(39\)sản phẩm lỗi nên ta có: \(P\left( {{A_2}\left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right) = \frac{{39}}{{1999}}\), suy ra \(P\left( {\overline {{A_2}} \left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right) = \frac{{1960}}{{1999}}\).
Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:
\(P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} \right.} \right) \cdot P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}\left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right) \cdot P\left( {\overline {{A_1}} } \right)\)\( = \frac{{38}}{{1999}} \cdot \frac{{39}}{{2000}} + \frac{{39}}{{1999}} \cdot \frac{{1961}}{{2000}} \approx 0,02\).
Đáp án: \(0,02\)
Tại một nhà máy, khi sản xuất \(x\) tạ sản phẩm \(\left( {x > 0} \right)\) mỗi ngày thì chi phí trung bình trên mỗi tạ sản phẩm được tính bởi công thức \(\overline C \left( x \right) = \frac{1}{2}x + 3 + \frac{8}{x}\) (triệu đồng/tạ). Tính chi phí trung bình thấp nhất (tính theo triệu đồng/tạ) mà nhà máy có thể đạt được trong ngày.
Ta có \(\overline {C'} \left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{8}{{{x^2}}},x > 0\).Ta có \(\overline {C'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x = 4\) (do \(x > 0\))
Bảng biến thiên
Từ đó, chi phí trung bình thấp nhất là 7 triệu đồng/tạ.
Đáp án: \(7\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {6;0;0} \right)\) và cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng \(D\left( {0;x;0} \right)\) với \(x > 0\) thỏa mãn \(AD = 2AB = 2BC\), góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \). Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
Vì \(AD = 2AB = 2BC\) mà \(B\left( {6;0;0} \right)\) suy ra \(D\left( {0;12;0} \right),C\left( {6;6;0} \right)\).
Vì góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \) nên \(AC = AS = 6\sqrt 2 \).
Suy ra \(S\left( {0;0;6\sqrt 2 } \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {6;6; - 6\sqrt 2 } \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;12; - 6\sqrt 2 } \right)\),
\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {36\sqrt 2 ;36\sqrt 2 ;72} \right) = 36\sqrt 2 \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) đi qua \(S\left( {0;0;6\sqrt 2 } \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(x + y + \sqrt 2 \left( {z - 6\sqrt 2 } \right) = 0\) hay \(x + y + \sqrt 2 z - 12 = 0\).
Vậy \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {6 + 0 + \sqrt 2 \cdot 0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{6}{2} = 3\).
Đáp án: \(3\).
Trong điều kiện nuôi cấy thích hợp, cứ 20 phút vi khuẩn E. Coli lại phân đôi một lần. Giả sử lúc đầu có 5 vi khuẩn và sau \(n\) phút (\(n \in \mathbb{N}\)) có hơn 2000 vi khuẩn. Giá trị nhỏ nhất của \(n\) là bao nhiêu?
Vì \(AD = 2AB = 2BC\) mà \(B\left( {6;0;0} \right)\) suy ra \(D\left( {0;12;0} \right),C\left( {6;6;0} \right)\).
Vì góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \) nên \(AC = AS = 6\sqrt 2 \).
Suy ra \(S\left( {0;0;6\sqrt 2 } \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {6;6; - 6\sqrt 2 } \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;12; - 6\sqrt 2 } \right)\),
\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {36\sqrt 2 ;36\sqrt 2 ;72} \right) = 36\sqrt 2 \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) đi qua \(S\left( {0;0;6\sqrt 2 } \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(x + y + \sqrt 2 \left( {z - 6\sqrt 2 } \right) = 0\) hay \(x + y + \sqrt 2 z - 12 = 0\).
Vậy \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {6 + 0 + \sqrt 2 \cdot 0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{6}{2} = 3\).
Đáp án: \(3\).
Treo một vật nặng có trọng lượng 30 N bởi ba sợi dây giống hệt nhau, các sợi dây đôi một tạo với nhau một góc \(90^\circ \)như hình vẽ. Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là các lực căng của ba sợi dây nói trên. Độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Xét tứ diện đều \(S.ABC\) có các cạnh \(SA,SB,SC\) biểu diễn độ lớn các lực căng dây và \(SP\) biểu diễn độ lớn của trọng lực tác dụng lên vật nặng \(S\).
Ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = SA,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = SB,\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = SC,\left| {\overrightarrow P } \right| = SG\) và \(\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {SP} = \overrightarrow 0 \), trong đó \(G\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\).
Đặt \(x = SA,x > 0 \Rightarrow AC = x\sqrt 2 \).
Khi đó \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\left( {\frac{{AC\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\).
Mặt khác \(SG = SP = 30\) nên xét tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\), ta có:
\(S{A^2} = S{G^2} + A{G^2} \Leftrightarrow {x^2} = {30^2} + \frac{{2{x^2}}}{3} \Leftrightarrow x = 30\sqrt 3 \approx 51,96\left( {\rm{N}} \right)\).
Đáp án: \(51,96\).
