Đề thi KSCL đầu năm Toán 10 (có đáp án) - Đề 1

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề “” là mệnh đề “” và được phát biểu là: “Nếu  là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác  là hình vuông”.

b) Sai. Hai mệnh đề  và  tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề  là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì  và  tương đương nên  là điều kiện cần và đủ để có .

a) Sai. Ta có \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\).

b) Đúng. Vì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).

Do đó \[\cos \alpha = - \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = - \frac{4}{5}\].

c) Sai. Ta có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4} \Rightarrow \,\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha = \frac{3}{4}\].

d) Đúng. \[A = \frac{{\tan \alpha - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\tan \alpha - \frac{1}{{\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}}}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} - \frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{125}}{{48}}\].

Hết 4 giây đầu, vật lăn được 8 m nên với \(x = 4\) thì \(y = 8.\)

Thay \(x = 4,\,\,y = 8\) vào công thức \(y = \left( {a - 1} \right){x^2},\) ta được:

\(8 = \left( {a - 1} \right) \cdot {4^2},\) hay \(16\left( {a - 1} \right) = 8,\) suy ra \(a - 1 = \frac{1}{2},\) nên \(a = \frac{3}{2}.\)

Khi đó \(y = \frac{1}{2}{x^2}.\)

Vật lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc thì vật lăn được quãng đường \(50\) m nên \(y = 50\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Thay \(y = 50\) vào công thức \(y = \frac{1}{2}{x^2}\), ta được \(50 = \frac{1}{2}{x^2}\), hay \({x^2} = 100\).

Mà \(x > 0\) nên \(x = 10\).

Vậy, thời gian để vật lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc là 10 giây.

Đáp án:10.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\) ta có: \[AB = BC \cdot \tan C = 5,8 \cdot \tan 60^\circ \approx 10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Đáp án:10.

Gọi số sản phẩm tổ I, tổ II làm được lần lượt là \(x,\,\,y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x,\,\,y < 1200} \right).\)

Hai tổ công nhân cùng làm được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 1200.\) (1)

Ba lần số sản phẩm của tổ II nhiều hơn hai lần số sản phẩm của tổ I là 350 sản phẩm nên ta có phương trình: \(3y = 2x + 350\)hay \( - 2x + 3y = 350.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\ - 2x + 3y = 350.\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 650\\y = 550.\end{array} \right.\)

Tổ I làm được nhiều hơn tổ II số sản phẩm là: \(650 - 550 = 100\) (sản phẩm).

Đáp án:100.

Kí hiệu 4 học sinh nam lần lượt là X₁, X₂, X₃, X₄ và 2 học sinh nữ lần lượt là Y₁, Y₂.

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \){X₁X₂; X₁X₃; X₁X₄; X₂X₃; X₂X₄; X₃X₄; Y₁Y₂; X₁Y₁; X₁Y₂; X₂Y₁; X₂Y₂; X₃Y₁; X₃Y₂; X₄Y₁; X₄Y₂}.

Không gian mẫu có 15 phần tử.

Gọi A là biến cố: “Hai học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ”.

Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Y₁Y₂; X₁Y₁; X₁Y₂; X₂Y₁; X₂Y₂; X₃Y₁; X₃Y₂; X₄Y₁; X₄Y₂.

Xác suất của biến cố A là: \(\frac{9}{{15}} = \frac{3}{5} = 0,6.\)

Đáp án:0,6.

Thể tích của khối trụ bên dưới là: \({V_1} = \pi \cdot {15^2} \cdot 20 = 4\,\,500\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Thể tích của khối trụ bên trên là: \({V_2} = \pi \cdot {10^2} \cdot 30 = 3\,\,000\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Vậy thể tích của chiếc mốp xốp đó là: \(V = {V_1} + {V_2} = 4\,\,500\pi + 3\,\,000\pi = 7\,\,500\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Xét phương trình \[{x^2} - mx + 3 - m = 0\].

Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3 - m} \right) = {m^2} - 12 + 4m.\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0,\) tức là \({m^2} + 4m - 12 > 0.\)

Giải bất phương trình:

\({m^2} + 4m - 12 > 0\)

\({m^2} - 2m + 6m - 12 > 0\)

\(m\left( {m - 2} \right) + 6\left( {m - 2} \right) > 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 6} \right) > 0\)

⦁ Trường hợp 1: \(m - 2 > 0\) và \(m + 6 > 0\)

\(m > 2\) và \(m > - 6\)

\(m > 2.\)

⦁ Trường hợp 2: \(m - 2 < 0\) và \(m + 6 < 0\)

\(m < 2\) và \(m < - 6\)

\(m < - 6.\)

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(m > 2\) hoặc \(m < - 6.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = m;\,\,{x_1}{x_2} = 3 - m.\)

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\]

 \[x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\]

 \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\)

 \({m^2} - 2 \cdot \left( {3 - m} \right) + 3 \cdot m = 8\)

 \({m^2} - 6 + 2m + 3m = 8\)

 \({m^2} + 5m - 14 = 0\)

 \({m^2} - 2m + 7m - 14 = 0\)

 \(m\left( {m - 2} \right) + 7\left( {m - 2} \right) = 0\)

 \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 7} \right) = 0\)

 \(m - 2 = 0\) hoặc \(m + 7 = 0\)

 \(m = 2\) (loại) hoặc \(m = - 7\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 7.\)

Gọi \(a,b,c\) theo thứ tự là số học sinh chỉ thích một môn Toán, Văn, Anh.

\(x\) là số học sinh chỉ thích hai môn là Toán và Anh.

\(y\) là số học sinh chỉ thích hai môn là Anh và Văn.

\(z\) là số học sinh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

Số em thích ít nhất một môn là \(45 - 6 = 39\).

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + x + z + 5 = 25\\b + y + z + 5 = 18\\c + x + y + 5 = 20\\x + y + z + a + b + c + 5 = 39\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 20\).

Vậy tổng số học sinh thích chỉ một trong ba môn Toán, Anh, Văn là 20 học sinh.

Giải bất phương trình:

\(2x - 10 \ge 0\)

\(2x \ge 10\)

\(x \ge 5.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x \ge 5\) hay \(5 \le x.\) Chọn D.

Giải phương trình:

\(\left( {2x + 6} \right)\left( {12 - 3x} \right) = 0\)

\(2x + 6 = 0\) hoặc \(12 - 3x = 0\)

\(2x = - 6\) hoặc

\(x = - 3\) hoặc \(x = 4\)

Như vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - 3;\,\,x = 4.\)

Vậy tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là \(\left\{ { - 3;\,\,4} \right\}.\) Chọn A.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC},\,\,\widehat {BOC}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(BC\).

Do đó \[\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ .\] Chọn C.

Với \(x \ge 0,\) ta có: \(2x\sqrt x = 2\sqrt {{x^2} \cdot x} = 2\sqrt {{x^3}} .\) Chọn B.

Tổng các góc của hình lục giác đều \(ABCDEF\) bằng tổng các góc của hai tứ giác \(ABCD\) và \(ADEF,\) và bằng \(2 \cdot 360^\circ = 720^\circ .\)

Vì \(ABCDEF\) là lục giác đều nên sáu góc của lục giác đều này bằng nhau và bằng: \(\frac{{720^\circ }}{6} = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {FAB} = 120^\circ .\) Chọn A.

⦁ Thay \(x = 3\) vào hàm số \(y = {x^2},\) ta được: \[y = {3^2} = 9 \ne 3.\] Do đó đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) không đi qua điểm \(\left( {3;3} \right).\)

⦁ Thay \(x = 3\) vào hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2},\) ta được: \[y = \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{9}{2} \ne 3.\] Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) không đi qua điểm \(\left( {3;3} \right).\)

⦁ Thay \(x = 3\) vào hàm số \(y = 3{x^2},\) ta được: \[y = 3 \cdot {3^2} = 27 \ne 3.\] Do đó đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) không đi qua điểm \(\left( {3;3} \right).\)

⦁ Thay \(x = 3\) vào hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^2},\) ta được: \[y = \frac{1}{3} \cdot {3^2} = 3.\] Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^2}\) đi qua điểm \(\left( {3;3} \right).\)

Chọn D.

Ta có \(25 = {5^2}\) nên 25 là số chính phương, vậy mệnh đề ở đáp án A đúng.

Số 8 có nhiều hơn 2 ước khác 1 và 8 nên nó là hợp số, vậy mệnh đề ở đáp án B là đúng.

Số 17 chỉ có 2 ước là 1 và 17 nên nó là số nguyên tố, vậy mệnh đề ở đáp án C đúng.

Số 21 không chia hết cho 5, vậy mệnh đề ở đáp án D sai. Chọn D.

Số học sinh có chiều cao từ 158 cm đến dưới 161 cm là 12 học sinh. Chọn B.

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 4 chấm là \(\frac{3}{{10}}.\) Chọn A.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: là: . Chọn D.

Đẳng thức đúng là \(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .\) Chọn B.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - 2 \le k \le 2\end{array} \right. \Rightarrow k = \left\{ { - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2} \right\} \Rightarrow {k^2} = \left\{ {0\,;\,1\,;\,4} \right\}\).

Do đó \(A = \left\{ {0;1;4} \right\}\). Chọn D.