Đề tham khảo ĐGNL V-SAT môn Toán 2026 (Đề 2)
25 câu hỏi
Từ câu hỏi 01 đến 09, thí sinh ghi dấu X vào cột Đúng hoặc Sai tương ứng với nội dung ghi ở cột bên trái.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
1. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\).
2. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{2}\).
3. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).
4. \(c \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
1. Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\) nên đồ thị hàm số có một nhánh nằm dưới đường tiệm cận ngang và cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\).
2. Sai. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 3\).
3. Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).
4. Đúng. Từ hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) ta có giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung là điểm có tọa độ là \(\left( {0;\frac{{ - 1}}{c}} \right)\).
Từ bảng biến thiên ta có \( - \frac{1}{c} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{c} + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{{c + 2}}{{2c}} > 0 \Leftrightarrow c \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
1. Ta có \({S_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = 1\).
2. Số hạng thứ hai của dãy số là \({u_2} = 1\).
3. Số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\).
4. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là 2.
1. Đúng. Ta có \({S_1} = {u_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1\).
2. Sai. Ta có \({u_2} = {S_2} - {u_1} = \frac{3}{2}\).
3. Đúng. Với \(n \ge 2\) thì \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = \left( {{n^2} - \frac{3}{2}n} \right) - \left[ {{{\left( {n - 1} \right)}^2} - \frac{3}{2}\left( {n - 1} \right)} \right] = - \frac{5}{2} + 2n\).
Mà \({u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1\) nên \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
4. Đúng. Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left( { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right) = 2\) không đổi với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là 2.
1. Hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D.
2. Hàm số \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\) là họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
3. Cho \(F\left( 1 \right) = 5\), khi đó \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\).
4. \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(xf\left( x \right)\) thỏa mãn \(G\left( 1 \right) = 4\). Khi đó \(G\left( 2 \right) = 2\).
1. Đúng. Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{x} = 2 - \frac{3}{x}\), khi đó \(f'\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}} = g\left( x \right),\forall x \in D\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D.
2. Đúng. Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{{2x - 3}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)} } \,{\rm{d}}x = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\).
3. Đúng. Vì \(F\left( 1 \right) = 5 \Rightarrow 2 \cdot 1 - 3\ln 1 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\).
4. Sai. Vì \(G\left( x \right) = \int {xf\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {x\left( {\frac{{2x - 3}}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {2x - 3} \right)} \,{\rm{d}}x = {x^2} - 3x + C\).
Mà \[G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow {1^2} - 3 \cdot 1 + C = 4 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow G\left( x \right) = {x^2} - 3x + 6\]. Vậy \(G\left( 2 \right) = 4\).
1. Tập xác định của hàm số là \[\left[ {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\].
2. \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}},\forall x \in \left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\).
3. Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
4. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 4\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng 903.
1. Sai. Điều kiện xác định: \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\). Tập xác định của hàm số là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\].
2. Đúng. Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}},\forall x \in \left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\).
3. Sai. \[f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = {x^2} - x - 1\\2x - 3 > 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].
Vậy phương trình có một nghiệm \[x = 2\] .
4. Sai. \(f\left( x \right) \le 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) \le 4\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \le 81\\2x - 3 > 0\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 42\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x \le 42\).
Kết hợp với điều kiện \(x \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow S = \left\{ {2\,;\,3\,;\,4\,;\,...\,;\,42} \right\}\)
Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(2 + 3 + 4 + ... + 42 = \frac{{41}}{2} \cdot \left( {2 + 42} \right) = 902\).
1. \(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
2. Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD,AB\) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
4. Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).
1. Đúng. Ta có \(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow AD{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\).
2. Sai. Vì \(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) nên \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
3. Đúng. Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
4. Sai. Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích khối chóp cần tìm là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).
1. Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(3x + y + 5z - 10 = 0\).
2. Bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành tứ diện.
3. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec a = \left( {4; - 2;7} \right)\).
4. Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A,B\) sao cho khoảng cách từ \(C\) và \(D\) đến mặt phẳng đó bằng nhau. Cả 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm \(M\left( {1;2;1} \right)\).
1. Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3;0} \right)\] suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;2;10} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;1} \right)\) nhận \({\overrightarrow n _1} = \left( {3;1;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 5z - 10 = 0\).
2. Đúng. Ta có \(3 \cdot 0 + 3 + 5 \cdot 1 - 10 = - 2 \ne 0\) nên \(D \notin \left( {ABC} \right)\).
Do đó bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành tứ diện.
3. Sai. Ta có mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\).
Vì \(\vec n\) không cùng phương với \(\vec a\) nên \(\vec a = \left( {4; - 2;7} \right)\) không là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
4. Đúng. Trường hợp 1: \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) và song song với \(CD\), khi đó:
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\) và \(A \in \,\left( P \right)\)\( \Rightarrow \left( P \right):4x + 2y + 7z - 15 = 0.\)
Vì \(4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 7 \cdot 1 - 15 = 0\) nên \(M \in \left( P \right)\).
Trường hợp 2: \(\left( Q \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) cắt \(CD\) tại trung điểm \(I\) của đoạn \(CD\).
Ta có \(I\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} \left( {0; - 1;0} \right)\), vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {2;0;3} \right)\) nên phương trình \(\left( Q \right):2x + 3z - 5 = 0\).
Vì \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\) nên \(M \in \left( Q \right)\).
1. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,3\,;\, - 1} \right)\), bán kính \(R = 6\).
2. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A là \(\left( P \right):2x + y + 2z - 10 = 0\).
3. Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu với \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 1 = 0\) là \(5\).
4. Gọi \(I'\) là tâm mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) sao cho diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) gấp \(4\) lần diện tích mặt cầu \(\left( {S'} \right)\). Khi đó, \(II' = \frac{{11}}{2}\).
1. Sai. \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {0\,;\,3\,;\, - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3\).
2. Đúng. \(\left( P \right)\) có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,4\,;\,1} \right)\] nên ta có phương trình:
\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 4} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 10 = 0\).
3. Sai. Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu với \(\left( Q \right)\).
Ta có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\). Suy ra \(r = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).
4. Sai. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({S_1} = 4 \cdot \pi \cdot {3^2} = 36\pi \)\( \Rightarrow \) Diện tích mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) là \({S_2} = \frac{{{S_1}}}{4} = 9\pi \Rightarrow r' = \frac{3}{2}\).
Có \(\left( {S'} \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\) nên \(II' = R + r' = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).
1. Xác suất \(P\left( B \right) = \frac{{21}}{{40}}\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{19}}{{40}}\).
2. Xác suất có điều kiện \(P\left( {A|B} \right) = 0,3\).
3. Xác suất \(P\left( A \right) = 0,51\).
4. Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có \(70\% \) người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).
1. Đúng. Xác suất \(P\left( B \right) = \frac{{{n_B}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{105}}{{200}} = \frac{{21}}{{40}};P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = \frac{{19}}{{40}}\).
2. Sai. Theo đề bài: Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” là \(70\% \). Do đó xác suất có điều kiện \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\).
3. Đúng. Xác suất \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right) + P\left( {A|\overline B } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,7 \cdot \frac{{21}}{{40}} + 0,3 \cdot \frac{{19}}{{40}} = 0,51\).
4. Sai. Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,7 \cdot \frac{{21}}{{40}}}}{{0,51}} \approx 0,72 = 72\% \).
1. Số tiền Lisa còn nợ sau tháng đầu tiên là \({A_1} = P\left( {1 + r} \right) - M\) ($).
2. \(r = 0,6875\% \).
3. Tổng số tiền Lisa phải trả sau \(30\) năm gấp hơn \(2,5\) lần so với giá bán \(P\) của ngôi nhà.
4. Mỗi tháng, Lisa quyết định trả thêm \(250\,\$ \) so với số tiền phải trả \(M\,(\$ )\). Cô ấy sẽ trả hết tiền mua nhà trong \(20\) năm.
1. Đúng. Số tiền Lisa còn nợ sau tháng đầu tiên là \({A_1} = P + Pr - M = P\left( {1 + r} \right) - M\).
2. Đúng. Lãi suất của tháng là \(r = \frac{{8,25\% }}{{12}} = 0,6875\% \).
3. Đúng. Số tiền Lisa còn nợ sau tháng thứ 2 là \({A_2} = P{\left( {1 + r} \right)^2} - M\left( {1 + r} \right) - M\)
....
Số tiền Lisa còn nợ sau 30 năm là
\({A_{360}} = P{\left( {1 + r} \right)^{360}} - M - M\left( {1 + r} \right) - M{\left( {1 + r} \right)^2} - ...... - M{\left( {1 + r} \right)^{359}} = 0\)
\( \Rightarrow M = \frac{{r.P{{\left( {1 + r} \right)}^{360}}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^{360}} - 1}} = \frac{{0,6875\% \cdot 290000{{\left( {1 + 0,6875\% } \right)}^{360}}}}{{{{\left( {1 + 0,6875\% } \right)}^{360}} - 1}}\).
Tổng số tiền trong 30 năm Lisa phải trả là: \(T = 360M \approx 784322\)$.
Ta có: \(\frac{T}{{290000}} \approx 2,7\).
4. Sai. Nếu mỗi tháng Lisa trả \(N = M + 250\)($) thì sau 20 năm số nợ còn lại là:
\(\begin{array}{l}{A_{240}} = P{\left( {1 + r} \right)^{240}} - N - N\left( {1 + r} \right) - N{\left( {1 + r} \right)^2} - ...... - N{\left( {1 + r} \right)^{239}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 290000{\left( {1 + 0,6875\% } \right)^{240}} - 2428 \cdot \frac{{{{\left( {1 + 0,6875\% } \right)}^{240}} - 1}}{{0,6875\% }} \approx 26123,6 \ne 0.\end{array}\)
Vậy Lisa không trả hết tiền mua nhà trong 20 năm.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Đọc nội dung sau và trả lời các câu hỏi từ 10 đến 12.
Số liệu thống kê chiều cao (đơn vị tính chiều cao: cm) của tất cả các cây vú sữa trong vườn ươm của một lâm trường được thể hiện trên biểu đồ tần số sau:
\(0\) cm.
\(8\) cm.
\(6\) cm.
\(4\) cm.
Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,{\rm{cm}}\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,{\rm{cm}}\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(117 - 71 = 46\) (cm).
Từ biểu đồ, ta có bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là:
|
Nhóm |
\(\left[ {70;80} \right)\) |
\(\left[ {80;90} \right)\) |
\(\left[ {90;100} \right)\) |
\(\left[ {100;110} \right)\) |
\(\left[ {110;120} \right)\) |
|
Tần số |
9 |
20 |
33 |
25 |
15 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: \(120 - 70 = 50\) (cm).
Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là \(50 - 46 = 4\) (cm). Chọn D.
\(96,66\) cm.
\(96,67\) cm.
\(95,05\) cm.
\(95\) cm.
Ta có bảng sau:
|
Nhóm |
\(\left[ {70;80} \right)\) |
\(\left[ {80;90} \right)\) |
\(\left[ {90;100} \right)\) |
\(\left[ {100;110} \right)\) |
\(\left[ {110;120} \right)\) |
|
Giá trị đại diện |
75 |
85 |
95 |
105 |
115 |
|
Tần số |
9 |
20 |
33 |
25 |
15 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là \(n = 9 + 20 + 33 + 25 + 15 = 102\).
Chiều cao trung bình của các cây vú sữa trong vườn ươm là:
\(\overline x = \frac{{75 \cdot 9 + 85 \cdot 20 + 95 \cdot 33 + 105 \cdot 25 + 115 \cdot 15}}{{102}} = \frac{{290}}{3} \approx 96,67\,\,{\rm{cm}}\). Chọn B.
\(s_1^2 = s_2^2\).
\(s_1^2 = 3s_2^2\).
\(3s_1^2 = s_2^2\).
\(s_1^2 = 9s_2^2\).
Mẫu số liệu đã cho có số trung bình \(\overline x = \frac{{290}}{3}\) và phương sai:
\(s_1^2 = \frac{1}{{102}}\left( {9 \cdot {{75}^2} + 20 \cdot {{85}^2} + 33 \cdot {{95}^2} + 25 \cdot {{105}^2} + 15 \cdot {{115}^2}} \right) - {\left( {\frac{{290}}{3}} \right)^2} = \frac{{20725}}{{153}}\).
Nếu tăng số cây của mỗi nhóm lên gấp 3 lần thì bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm mới là:
|
Nhóm |
\(\left[ {70;80} \right)\) |
\(\left[ {80;90} \right)\) |
\(\left[ {90;100} \right)\) |
\(\left[ {100;110} \right)\) |
\(\left[ {110;120} \right)\) |
|
Giá trị đại diện |
75 |
85 |
95 |
105 |
115 |
|
Tần số |
27 |
60 |
99 |
75 |
45 |
Khi đó, giá trị trung bình là: \({\bar x_2} = \frac{{75 \cdot 27 + 85 \cdot 60 + 95 \cdot 99 + 105 \cdot 75 + 115 \cdot 45}}{{306}} = \frac{{290}}{3}\,{\rm{cm}}\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm mới là:
\(s_2^2 = \frac{1}{{306}}\left( {27 \cdot {{75}^2} + 60 \cdot {{85}^2} + 99 \cdot {{95}^2} + 75 \cdot {{105}^2} + 45 \cdot {{115}^2}} \right) - {\left( {\frac{{290}}{3}} \right)^2} = \frac{{20725}}{{153}}\).
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm mới bằng phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm cũ.
Chọn A.
Đọc nội dung sau và trả lời các câu hỏi từ 13 đến 15.
Một chất điểm chuyển động trong 3 giây với vận tốc \(v\left( t \right) = m\cos \left( {\pi t} \right) + n\) (đơn vị: m/s) trong đó \(t\) (giây) là biến thời gian và \(m,\,n\) là các hằng số, có đồ thị như hình sin vẽ dưới đây:
\(5\pi \) (m/s2).
\(2\pi \) (m/s2).
\(3\pi \) (m/s2).
\(10\pi \) (m/s2).
Hàm số có dạng: \(v\left( t \right) = m\cos \left( {\pi t} \right) + n\)
Dựa vào đồ thị, ta có các điểm đặc biệt:
Tại \(t = 0\) thì \(v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow m\cos \left( 0 \right) + n = 10 \Rightarrow m + n = 10\).
Tại \(t = 1\) thì \(v\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow m\cos \left( \pi \right) + n = 0 \Rightarrow - m + n = 0\).
Giải hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + n = 10}\\{ - m + n = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 5}\\{n = 5}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình vận tốc là: \(v\left( t \right) = 5\cos \left( {\pi t} \right) + 5\) (m/s).
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left[ {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right]^\prime } = - 5\pi \sin \left( {\pi t} \right)\).
Giá trị lớn nhất của \(a\left( t \right)\) là: \(\left| { - 5\pi } \right| = 5\pi \) (khi \(\sin \left( {\pi t} \right) = - 1\)). Chọn A.
\(10\) m.
\(7\) m.
\(5\) m.
\(3\) m.
Quãng đường chất điểm đi được trong giây đầu tiên \(\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\) là:
\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right){\rm{d}}t} = 5\) (m). Chọn C.
\(15\) m/s.
\(5\) m/s.
\(3\) m/s.
\(1\) m/s.
Vận tốc trung bình: \[{v_{tb}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)} \,{\rm{d}}t = 5\] (m/s). Chọn B.
Từ câu hỏi 16 đến 20, thí sinh ghép mỗi nội dung ở cột bên trái với một nội dung ở cột bên phải thành nội dung đúng.
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.
|
1. Số giá trị dương trong các số \(a,\,b,\,c,\,d\) là |
A. 0. |
|
2. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( { - 2;1} \right)\) bằng |
B. 2. |
|
3. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ bằng |
C. 3. |
|
4. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2}\) có số nghiệm phân biệt là |
D. 5. |
|
|
E. 6. |
|
|
F. 7. |
Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __
Từ đồ thị ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 0 \right) = 1\\f\left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 3\\a + b + c + d = - 1\\d = 1\\ - 8a + 4b - 2c + d = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\\d = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Suy ra có 2 số dương trong các số \(a,\,b,\,c,\,d\).
Từ đồ thị ta thấy trong khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\) hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3.
Từ đồ thị ta thấy tâm đối xứng của đồ thị có hoành độ bằng \(0\).
Ta có \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\left( {a \in \left( { - 2\,; - 1} \right)} \right)\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = b\,\,\left( {b \in \left( { - 1\,;0} \right)} \right)\,\,\left( 2 \right)\\f\left( x \right) = c\,\,\left( {c \in \left( {1\,;2} \right)} \right)\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).
Số nghiệm của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2}\) chính là số giao điểm của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = a\,,\,y = b\,,\,y = c\).
Từ đồ thị suy ra phương trình \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) lần lượt có 1 nghiệm, 3 nghiệm, 3 nghiệm.
Vậy phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2}\) có 7 nghiệm.
Đáp án: 1 – B; 2 – C; 3 – A; 4 – F.
Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(\left( {1;0;0} \right)\).
Vì \(E \in Ox \Rightarrow E\left( {x;0;0} \right)\). Ta có \(AE \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\).
Ta có \(\overrightarrow {AE} = \left( {x - 1;1; - 1} \right),\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \cdot 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow E\left( { - 1;0;0} \right)\).
Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y + 1 = 1\\z - 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\x = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0; - 2} \right)\).
Giả sử \[H\left( {x;y;z} \right).\]
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right),\overrightarrow {CH} = \left( {x;y;z - 1} \right)\].
Khi đó:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {x - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\\ - \left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\\ - 3x - 3y - 3\left( {z - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{9}\\y = - \frac{4}{9}\\z = \frac{8}{9}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{9}; - \frac{4}{9};\frac{8}{9}} \right)\].
Đáp án: 1 – C; 2 – D; 3 – F; 4 – A.
Ta có \[\left. \begin{array}{l}\left( {ADC'B'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\AD \bot C'D\\AD \bot DC\end{array} \right\} \Rightarrow \]góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADC'B'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {C'DC} = 45^\circ \).
Suy ra sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADC'B'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\sin 45^\circ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Gọi \(O = A'C' \cap B'D'\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}B'D' \bot A'O\\B'D' \bot AO\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {AOA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',A'} \right]\).
Ta có \[A'C' = a\sqrt 2 \Rightarrow OA' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]. Khi đó \(\tan \widehat {AOA'} = \frac{{AA'}}{{A'O}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \).
Vậy tang của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',A'} \right]\) bằng \(\sqrt 2 \).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}B'D' \bot AO\\B'D' \bot C'O\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {AOC'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C'} \right]\).
Vì \(\widehat {AOC'} + \widehat {AOA'} = 180^\circ \) nên \(\tan \widehat {AOC'} = - \tan \widehat {AOA'} = - \sqrt 2 \).
Vậy tang của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C'} \right]\) bằng \( - \sqrt 2 \).
Vì \[B'D' \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \left. \begin{array}{l}B'D' \bot AO\\B'D' \bot CO\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {AOC}\] là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C} \right]\).
Ta có \(AO = CO = \sqrt {A'{A^2} + A'{O^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\); \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác \(OAC\) có \(\cos \widehat {AOC} = \frac{{O{A^2} + O{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot OA \cdot OC}} = \frac{{\frac{{6{a^2}}}{4} + \frac{{6{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{1}{3}\).
Vậy côsin của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C} \right]\) bằng \(\frac{1}{3}\).
Đáp án: 1 – E; 2 – A; 3 – B; 4 – C.
Giả sử \(\left( a \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) và cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) theo thứ tự tại các điểm M, N.
Khi đó:
Điểm \(M \in \left( {{d_1}} \right)\) suy ra \(M\left( {1;t;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;\,\,t - 1;\,\,1} \right)\).
Điểm \(N \in \left( {{d_2}} \right)\) suy ra \(N\left( {1 + u;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AN} = \left( {u + 1;\, - 1;\,\,2} \right)\).
Ba điểm A, M, N thẳng hàng ta được: \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AN} \) \[\left\{ \begin{array}{l}1 = k\left( {u + 1} \right)\\t - 1 = - k\\1 = 2k\end{array} \right.\] \(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\u = 1\end{array} \right.\) \[N\left( {2;\,0;\,\,2} \right)\].
Khi đó, đường thẳng \(\left( a \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AN} = \left( {2; - 1;2} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Giả sử \(\left( b \right)\) là đường thẳng cắt \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) theo thứ tự tại các điểm M, N và song song với đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Khi đó:
Điểm \(M \in \left( {{d_1}} \right)\) suy ra \(M\left( {1;t;1} \right)\).
Điểm \(N \in \left( {{d_2}} \right)\) suy ra \(N\left( {1 + u;0;2} \right)\).
Vì MN song song với đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} = \left( {1;\,\, - 1;\,\,1} \right)\) ta được:
\(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} \) \[\frac{u}{1} = \frac{{ - t}}{{ - 1}} = \frac{1}{1} \Rightarrow t = u = 1 \Rightarrow M\left( {1;1;1} \right)\].
Khi đó, đường thẳng \(\left( b \right)\) đi qua \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} = \left( {1;\,\, - 1;\,\,1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Giả sử \(\left( c \right)\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {2;1;2} \right)\) và vuông góc với cả \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( c \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_c}} \), khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( c \right) \bot \left( {{d_1}} \right)\\\left( c \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_c}} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {{u_c}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_c}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0;\,\,0;\,\, - 1} \right)\].
Khi đó đường thẳng \(\left( c \right)\) đi qua \(B\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_c}} = \left( {0;0; - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2 - t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Giả sử đường thẳng \(\left( d \right)\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\). Gọi P, Q theo thứ tự là chân đường vuông góc chung trên \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \[P\left( {1;t;1} \right)\] và \(Q\left( {1 + u;0;2} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {PQ} = \left( {u;\,\, - t;\,\,1} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( d \right) \bot \left( {{d_1}} \right)\\\left( d \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow t = u = 0\]. Suy ra \(P\left( {1;0;1} \right)\) và \(Q\left( {1;0;2} \right)\).
Khi đó, đường vuông góc chung \(\left( d \right)\) đi qua \(P\left( {1;0;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ} = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Đáp án: 1 – C; 2 – B; 3 – A; 4 – E.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định, liên tục trên đoạn \[\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\] và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.
![Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [- 1;3/2] và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1779622154/image5.png)
|
1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\] bằng |
A. \( - 1\). |
|
2. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\] bằng |
B. \(0\). |
|
3. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \[f\left( x \right) = m\] có nghiệm với mọi \[x \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right)\] là |
C. \(2\). |
|
4. Số giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để bất phương trình \[f\left( x \right) \le m + 7\] có nghiệm với mọi \[x \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\] là |
D. \(3\). |
|
|
E. \(4\). |
|
|
F. \(5\). |
Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __
Từ đồ thị hàm số, ta thấy:
Trên đoạn \[\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\], hàm số \[y = f\left( x \right)\] có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 1\).
Trên đoạn \[\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\], hàm số \[y = f\left( x \right)\] có giá trị lớn nhất bằng \(4\).
Để phương trình \[f\left( x \right) = m\] có nghiệm với mọi \[x \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right)\] thì \[ - 1 \le m < 4\].
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\]. Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \[f\left( x \right) = m\] có nghiệm với mọi \[x \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right)\].
Để bất phương trình \[f\left( x \right) \le m + 7\] có nghiệm với mọi \[x \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\] thì \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]} f\left( x \right) = 4 \le m + 7 \Leftrightarrow m \ge - 3\).
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ - }\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để bất phương trình \[f\left( x \right) \le m + 7\] có nghiệm với mọi \[x \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\].
Đáp án: 1 – A; 2 – E; 3 – F; 4 – D.
Ta có \({\sin ^8}x - {\cos ^8}x - 4{\sin ^6}x = \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)
\( = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)\( = {\cos ^4}x \cdot {\sin ^2}x - {\sin ^4}x \cdot {\cos ^2}x - {\cos ^6}x - 3{\sin ^6}x\)
\( = \left( {{{\cos }^4}x \cdot {{\sin }^2}x - {{\sin }^6}x} \right) - \left( {{{\sin }^4}x \cdot {{\cos }^2}x + {{\sin }^6}x} \right) - \left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right)\)
\( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right) - {\sin ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x} \right)\)
\( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - {\sin ^4}x - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x} \right)\)
\( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) - {\sin ^4}x - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x} \right)\)
\( = 4{\cos ^2}x \cdot {\sin ^2}x - 2{\sin ^4}x - 1\)\( = - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}\).
Do đó \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x} = - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x + C\).
Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \( - \frac{3}{{16}}\sin \left( {4 \cdot 0} \right) + \frac{1}{2}\sin \left( {2 \cdot 0} \right) - \frac{5}{4} \cdot 0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).
Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x\).
Ta có \(I = \int\limits_0^\pi {8f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^\pi {8\left( { - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \int\limits_0^\pi {\left( { - \frac{3}{2}\sin 4x + 4\sin 2x - 10x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{3}{8}\cos 4x - 2\cos 2x - 5{x^2}} \right)} \right|_0^\pi = - 5{\pi ^2}\).
Vậy \(a = - 5\).
Đáp án: \( - 5\).
Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài \(25\,\,{\rm{m,}}\) chiều rộng \(15,5\,\,{\rm{m}}\) và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính \(10\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng \(AC\) rồi bơi tiếp đoạn thẳng \(CM,\) với \(M\) là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm \(D\) dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí \(A\) và kết thúc chu trình (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là \(2,4\,\,{\rm{km/h, }}\)vận tốc đi bộ là \(4,8\,\,{\rm{km/h}}\) và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp án: ____
Đổi \[2,4\,\,{\rm{km/h}}\,\,{\rm{ = }}\,\frac{2}{3}\,\,{\rm{m/s;}}\,\,\,4,8\,\,{\rm{km/h}}\,\,{\rm{ = }}\,\frac{4}{3}\,\,{\rm{m/s}}{\rm{.}}\]
Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là
Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là
Do \(AC,\,\,DE,\,\,EA\) không đổi nên \({T_{\max }}\) khi đạt giá trị lớn nhất.
Đặt \(\widehat {MCD} = \alpha ,\,\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \widehat {MOD} = 2\alpha .\)
Suy ra
Xét hàm số \(f\left( \alpha \right) = 15\cos \alpha + \frac{{15}}{2}\alpha ,\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(f'\left( \alpha \right) = - 15\sin \alpha + \frac{{15}}{2},\,\,f'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow - 15\sin \alpha + \frac{{15}}{2} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{6} \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right).\,\)
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right),\) ta có \(\mathop {\max }\limits_{\alpha \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)} f\left( \alpha \right) = f\left( {\frac{\pi }{6}} \right).\)
Vậy \({T_{\max }} = \frac{{3\sqrt {{{25}^2} + 15,{5^2}} }}{2} + \frac{{15}}{2}\left( {\sqrt 3 + \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{{3\left( {15 + 15,5} \right)}}{4} \approx 83,9\) giây\( \approx 1,4\) phút.
Đáp án: \[1,4\].
Ta có \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right)}}{{{{\log }_a}\sqrt {ab} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}a + \frac{1}{3}{{\log }_a}b}}{{\frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)}} = 3\]
\[ \Leftrightarrow \frac{2}{3}.\frac{{3 + {{\log }_a}b}}{{1 + {{\log }_a}b}} = 3 \Leftrightarrow 6 + 2{\log _a}b = 9 + 9{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b = - \frac{3}{7}\].
Ta có \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right) = \frac{{{{\log }_a}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right)}}{{{{\log }_a}\sqrt {ab} }} = \frac{{{{\log }_a}b + \frac{1}{3}{{\log }_a}a}}{{\frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)}} = \frac{{ - \frac{3}{7} + \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{3}{7}} \right)}} = - \frac{1}{3}\].
Suy ra \(m = 1,n = 3\). Vậy \(m + n = 4\).
Đáp án: \[4\].
Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].
Khi đó \[\left( P \right)\] cắt các tia \[Ox\,,Oy\,,Oz\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].
Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\, \cdot OB\, \cdot \,OC = 6\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6} \cdot \left| { - \frac{m}{2}} \right| \cdot \left| { - \frac{m}{3}} \right| \cdot \left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\]) \[ \Leftrightarrow {m^3} = - \,216 \Leftrightarrow m = - \,6\] (thỏa mãn).
Ta có \[\left( P \right):2x + 3y + z - 6 = 0\]\[ \Rightarrow d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\,\left| {\,2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0 - 6\,} \right|\,}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }} \approx 1,6\].
Đáp án: 1,6.
Gọi \(A\) là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”; \(M\) là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây bố”; \(N\) là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây mẹ”; \(E\) là biến cố: “Cây con có kiểu gene bb”.
Theo giả thiết hai biến cố \(M\) và \(N\) độc lập nên \(P\left( E \right) = P\left( M \right) \cdot P\left( N \right)\).
Ta có \(P\left( A \right) = 40\% = 0,4\); suy ra \(P\left( {\bar A} \right) = 0,6\); \(P\left( {M|A} \right) = 1\); \(P\left( {M|\bar A} \right) = \frac{1}{2}\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có
\(P\left( M \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {M|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {M|\bar A} \right) = 0,4 \cdot 1 + 0,6 \cdot \frac{1}{2} = 0,7\).
Tương tự, ta tính được \(P\left( N \right) = 0,7\).
Vậy \(P\left( E \right) = P\left( M \right) \cdot P\left( N \right) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49\).
Đáp án: 0,49.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
