Đề số 9

Đáp án C.

Diện tích mặt cầu (S) là: $4\pi R^2=4\pi \Rightarrow R=1.$

Do dó thể tích khối cầu (S) là: $V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{4}{3}\pi$(đvtt).

Đáp án A.

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-2=0\iff x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow x_{CT}=-x_{CD}.$

Mà hàm số đã cho là hàm số lẻ nên ta suy ra $y_{CT}=-y_{CD}$ hay $y_{CT}+y_{CD}=0.$

Đáp án A.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left(-1\right)+\left(-3\right).4+1.\left(-2\right)=-16.$

Đáp án B.

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right..$

Bảng xét dấu  như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(0;1\right);$ nên nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right).$

Đáp án A.

Với x > 0 ta có: $P=\sqrt[3]{x.\sqrt[5]{x^2.\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{x.\sqrt[5]{x^2.x^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt[3]{x.\sqrt[5]{x^{\frac{5}{2}}}}=\sqrt[3]{x.x^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}}=x^{\frac{1}{2}}=x^{\alpha }$

Vậy $\alpha =\frac{1}{2}.$

Đáp án B.

Đáp án A.

Ta có: $R=\frac{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3.$

Đáp án C.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-6>0\end{array}\right.\iff x>6.$

Phương trình tương đương với: ${\log }_3\left[x\left(x-6\right)\right]={\log }_{3}7\iff x\left(x-6\right)=7$

$\iff x^2-6x-7=0\iff \left[\begin{array}{l}x=7\left(thoaman\right)\\ x=-1\left(loai\right)\end{array}\right..$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm thực.

Đáp án A.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left(1;2;-3\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;3\right)$  là:

$2\left(x-1\right)-1\left(y-2\right)+3\left(z+3\right)=0\iff 2x-y+3z+9=0.$

Đáp án B.

Ta có: $\int \left(e^x+x\right)dx=\int e^{x}dx+\int xdx=e^x+\frac{x^2}{2}+C.$

Đáp án A.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;4;-8\right)=2\left(1;2;-4\right),$ vậy đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-4\right).$

Đáp án B.

Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12 (viên bi).

Vậy ta có $C_{12}^6=924$ cách lấy.

Đáp án C.

Theo công thức $u_8=u_1+7d,$ suy ra $d=\frac{u_8-u_1}{7}=\frac{39+3}{7}=6.$

Đáp án A.

Ta có: $z_3=z_1.z_2=\left(4+3i\right)\left(-4+3i\right)=-25\Rightarrow \left|z_3\right|=25.$

Đáp án A.

Ta có: $z_3=z_1.z_2=\left(4+3i\right)\left(-4+3i\right)=-25\Rightarrow \left|z_3\right|=25.$

Đáp án A.

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-3=0\left[\begin{array}{l}x=1\in \left[0;2\right]\\ x=-1\notin \left[0;2\right]\end{array}\right..$

Ta lại có: $y\left(0\right)=\mathrm{4,}y\left(2\right)=\mathrm{6,}y\left(1\right)=2.$

Do đó: $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(1\right)=2.$

Đáp án B

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có:  $y^{\text{'}}=4m{x}^3+\left(m^2-1\right).$

Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $y^{\text{'}}\left(0\right)=0\iff m^2-1=0\iff m=\pm 1.$

+ Với $m=1\Rightarrow y=x^4+\mathrm{1,}$ suy ra $y^{\text{'}}=4x^3=0\iff x=0.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=0

Do đó suy ra m=1 không thỏa mãn.

+ Với $m=-1\Rightarrow y=-x^4+\mathrm{1,}$  suy ra $y^{\text{'}}=-4x^3=0\iff x=0.$

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0

Do đó suy ra m=-1 thỏa mãn.

Đáp án D.

Số phức $3-2\sqrt{2i}$ có phần thực $a=\mathrm{3,}$ phần ảo $b=-2\sqrt{2}.$

Vậy $P=ab=-6\sqrt{2}.$

Đáp án D.

Ở A, B, C đều có hệ số của $x^2,y^2,z^2$ bằng nhau; nên chưa loại được đáp án.

Ở đáp án D có $a=\frac{3}{2};b=\frac{-4}{2}=-2;c=\frac{\sqrt{3}}{2};d=7$

Đáp án D.

Ta có:   $S=2\ln a-\left(\ln b+\ln c\right)=\ln a^2-\ln \left(bc\right)=\ln \left(bc\right)-\ln \left(bc\right)=0.$

Đáp án C.

Vì $\left\{\begin{array}{l}\left(2-3i\right)+\left(2+3i\right)=4\\ \left(2-3i\right).\left(2+3i\right)=13\end{array}\right.,$ nên $2-3i$ và $2+3i$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-4z+13=0.$

Đáp án C.

Gọi $A\left(a;0;0\right),$ $B\left(0;b;0\right),$$C\left(0;0;c\right)$ lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox, Oy, Oz.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Do M(1;2;3) là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_a+x_b+x_c=3x_M\\ y_a+y_b+y_c=3y_M\\ z_a+z_b+z_c=3z_M\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+0+0=3.1\\ 0+b+0=3.2\\ 0+0+c=3.3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\\ c=9\end{array}\right..$

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\iff 6x+3y+2z-18=0.$

Đáp án A.

Bất phương trình tương đương với:   $2^{\frac{1}{x}}<\frac{1}{4}\iff \frac{1}{x}<-2\iff -\frac{1}{2}<x<0.$

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:    $-x^2+4=-x+2$

$\iff x^2-x-2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right..$

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|\left(-x^2+4\right)-\left(-x+2\right)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+x+2\right)dx={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|}_{-1}^2=\frac{9}{2}.$

Đáp án A.

Ta có:  $S_{xq}=\pi rl\Rightarrow l=\frac{S_{xq}}{\pi r}=\frac{20\pi }{\pi .4}=5\Rightarrow h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$

Vậy $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}.\pi {.4}^2.3=16\pi .$

Đáp án C.

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=+\infty$ nên x=1 là TCĐ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=5;$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=2;$ nên $y=2;y=5$ là hai TCN của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án B.

Theo giả thiết, ta có $A^{\text{'}}H\perp AB.$

Tam giác vuông $A^{\text{'}}HA,$ có $A^{\text{'}}H=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Diện tích hình vuông $S_{ABCD}=a^2$ (đvdt).

Thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là:

$V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{ABC}.A^{\text{'}}H=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$(đvtt)

Đáp án C.

Đạo hàm   $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^{\pi }\right)}^{\text{'}}.{\pi }^x+x^{\pi }.{\left(x^{\pi }\right)}^{\text{'}}=\pi .x^{\pi -1}.\pi +x^{\pi }.{\pi }^x.\ln \pi .$

Suy ra $f^{\text{'}}\left(1\right)={\pi }^2+\pi \ln \pi .$

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ và trục Ox là:

Bấm máy tính ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên số giao điểm là 3.

Đáp án B.

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB. Trong mặt phẳng (SAB) có

$SH\perp AB\Rightarrow SH\perp d.$Ta có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp HK\\ CD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SHK\right)\Rightarrow CD\perp SK\Rightarrow d\perp SK.$

Từ đó suy ra $\widehat{\left(SAB\right),\left(SCD\right)}=\widehat{SH,SK}=\widehat{HSK}.$ 

Trong tam giác vuông SHK, có $\tan \widehat{HSK}=\frac{HK}{SH}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Đáp án B.

Phương trình tương đương với: $\iff 9-2^2=2^{3-x}\iff 9-2x=\frac{8}{2^x}$

$\iff {\left(2^x\right)}^2-{9.2}^x+8=0\iff \left[\begin{array}{l}{2}^x=1\\ 2^x=8\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right..$

Đáp án C.

Thể tích phần phía dưới (hình hộp chữ nhật): $V_1=\mathrm{4.4.40}=640.$

Thể tích phần bên trên (nửa hình trụ): $V_2=\frac{1}{2}\times \left(2^2\pi 40\right)=80\pi .$

Vậy thể tích thùng đựng thư: $V=V_1+V_2=640+80\pi .$

Đáp án B.

Đặt: $t=\sqrt{x^3+1}\Rightarrow t^2=x^3+1\Rightarrow \frac{2}{3}tdt=x^{2}dx.$

Khi đó $I=\frac{2}{3}\int dt=\frac{2}{3}t+C.$

Với $t=\sqrt{x^3+1}$  thì $I=\frac{2}{3}\sqrt{x^3+1}+C.$

Đáp án B.

Gọi O là tâm của đáy, suy ra $SO\perp \left(ABCD\right).$

Ta có $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right).$  

Gọi J là trung điểm CD, suy ra $OJ\perp CD.$

Gọi K là hình chiếu của O trên SJ, suy ra

Khi đó $d\left(O;\left(SCD\right)\right)=OK=\frac{SO.OJ}{\sqrt{S{O}^2+O{J}^2}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.$

Vậy $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2OK=\frac{2a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.$

Đáp án C.

Ta có: $\overrightarrow{u_{d_2}}=\left(1;2;2\right).$

Gọi $I=d_1\cap \Delta ,I\left(1+t;-1+2t;-t\right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left(t;2t-1;-t-2\right)=\overrightarrow{u_{\Delta }}.$

Do $\Delta \perp d_2\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}.\overrightarrow{u_{d_2}}=0\iff t+2\left(2t-1\right)+2\left(-t-2\right)=0\iff t=2.$

Vậy   $\overrightarrow{AI}=\left(2;3;-4\right).$

Phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{-4}.$

Đáp án B.

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{m\right\}.$

Ta có:  $y^{\text{'}}=\frac{x^2-2mx+m^2-\left(2m+1\right)}{{\left(x-m\right)}^2}.$

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: $y^{\text{'}}\ge \mathrm{0,}\forall x\in D$

$\iff x^2-2mx+m^2-\left(2m+1\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\ne m$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=2m+1\le 0\end{array}\right.\iff m\le -\frac{1}{2}.$

Đáp án B.

Gọi số phức z thỏa mãn đề bài là:   $z=x+yi$ $\left(x,y\in ℝ\right).$

Ta có: $\left|z+1-2i\right|=\left|\overline{z}-2+i\right|\iff \left|x+1+\left(y-2\right)i\right|=\left|x-2+\left(1-y\right)i\right|.$

Đáp án B.

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=2f^{\text{'}}\left(x\right)-2\left(x-1\right)=2\left[f^{\text{'}}\left(x\right)-\left(x-1\right)\right].$

Và đường thẳng $y=x-1$ cùng với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=x-1\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên của hàm g(x) trên [-3;3] 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $\underset{\left[-3;3\right]}{\min g}\left(x\right)=\min \left\{g\left(-3\right);g\left(3\right)\right\}$

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),y=x-\mathrm{1,}x=-\mathrm{3,}x=1.$

Gọi  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),y=x-\mathrm{1,}x=\mathrm{1,}x=3.$

Ta có  $S_1>S_2\iff \underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[f^{\text{'}}\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]dx>\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[\left(x-1\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx$

$\iff \frac{1}{2}\underset{-3}{\overset{1}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx>\frac{1}{2}\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[-g^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx$

$\iff \underset{-3}{\overset{1}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx>0\iff \underset{-3}{\overset{3}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx>0\iff {\left.g\left(x\right)\right|}_{-3}^3>0$

$\iff g\left(3\right)-g\left(-3\right)>0\iff g\left(3\right)>g\left(-3\right)\Rightarrow \underset{\left[-3;3\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-3\right).$

Đáp án C.

Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số  $\Rightarrow \left|\Omega \right|={9.10}^6$

Số chia hết cho 9 số có tổng các chữ số chia hết cho 9

Gọi số lẻ có 7 chữ số chia hết cho 9 cần tìm là x ta có $1000017\le x\le \mathrm{9999999,}$ có  $\frac{9999999-1000017}{18}+1=500000$ số thõa mãn.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{50000}{{9.10}^6}=\frac{1}{18}.$

Đáp án C.

Các hoành độ giao điểm $\left\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{2}{x}\iff x^3=2\iff x=\sqrt[3]{2}\\ x^2=\frac{8}{x}\iff x^3=8\iff x=2\\ \frac{x^2}{4}=\frac{2}{x}\iff x^3=9\iff x=2\\ \frac{x^2}{4}=\frac{8}{x}\iff x^3=32\iff x=2\sqrt[3]{4}\end{array}\right.$

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có 

$S=S_1+S_2$

$=\underset{\sqrt[3]{2}}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-\frac{2}{x}\right)dx+\underset{2}{\overset{2\sqrt[3]{4}}{\int }}\left(\frac{8}{x}-\frac{x^2}{4}\right)dx={\left.\left(\frac{x^3}{3}-2\ln x\right)\right|}_{\sqrt[3]{2}}^2+{\left.\left(8\ln x-\frac{x^3}{12}\right)\right|}_2^{2\sqrt[3]{4}}=4\ln 2$ (đvdt).