Đề số 8
50 câu hỏi
Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn 1-iz=1+3i.
z¯=-1+2i
z¯=1-2i
z¯=-1-2i
z¯=1+2i
Đáp án C.
z=1+3i1-i=-1+2i⇒z¯=-1-2i.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho a→=2;-1;0, biết b→ cùng chiều với a→ và có a→.b→=10. Chọn phương án đúng?
b→=-6;3;0
b→=-4;2;0
b→=6;-3;0
b→=4;-2;0
Đáp án D.
b→∥a→⇒b→=2k;-k;0, k>0⇒a→.b→=4k+k=5k⇒5k=10⇒k=2⇒b→=4;-2;0.
Hàm số y=2x4+3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
0;+∞
-∞;3
-∞;0
3;+∞
Đáp án C.
Ta có y'=8x3 nên hàm số nghịch biến trên -∞;0
Cho hàm số y = sin 2x. Khẳng định nào dưới đây đúng?
y2+y'2=1
y=y'tan2x
4y+y''=0
4y-y'=0
Đáp án C.
Ta có y'=2cos2x; y''=-4sin2x⇒4y+y''=0.
Biết log72=m, khi đó giá trị của log4928 được tính theo m là:
1+2m2
m+24
1+m2
1+4m2
Đáp án A.
Ta có log4928=12log728=1+2log722=1+2m2.
∫fxdx=1x+ln5x+C với x∈0;+∞ thì hàm số f(x) là
fx=x+15x
fx=-1x2+15x
fx=-1x2+1x
fx=-1x2+ln5x
Đáp án C.
Ta có fx=1x+ln5x'=-1x2+1x.
Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số an,n≥1 là Sn=2n2+3n. Khi đó
an là một cấp số cộng với công sai bằng 4
anlà một cấp số nhân với công bội bằng 4
anlà một cấp số cộng với công sai bằng 1
anlà một cấp số nhân với công bội bằng 1
Đáp án A.
Do Sn=2n2+3n⇒an không thể là cấp số nhân.
Dựa vào 4 đáp án suy ra an là cấp số cộng, giả sử số hạng đầu là u1, công sai là d
Khi đó Sn=n2u1+n-1d2=2n2+3n⇔2u1+n-1d=4n+6⇔nd+2u1-d=4n+6
⇔d=42u1-d=6⇔d=4u1=5.
Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0→ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD
12
4
10
8
Đáp án A.
Với mỗi cách chọn ra 2 đỉnh bất kỳ của tứ diện ta được 2 vecto đối nhau.
Do đó có 2C42=12 vecto.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=2cos2x và Fπ4=-3. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Fx=-2cotx-5
Fx=2tanx+3
Fx=tanx-4
Fx=2tanx-5
Đáp án D.
Ta có F(x)=∫2dxcos2x=2tanx+C mà Fπ4=-3⇒C=-5⇒Fx=2tanx-5.
Cho fx=12.52x+1;gx=5x+4x.ln5. Tập nghiệm của bất phương trình f'x>g'x là
x < 0
x > 1
0 < x < 1
x > 0
Đáp án D.
Ta có: f'x=52x+1ln5;g'x=5xln5+4ln5
Khi đó f'x>g'x⇔52x+1>5x+4⇔5.52x-5x-4>0⇔5x-15.5x+4>0⇔5x>1⇔x>0.
Tập nghiệm của bất phương trình 5-22xx-1≤5+2x là
(-∞;-1]∪[0;1)
[-1;0]
-∞;-1∪[0;+∞)
-1;0∪1;+∞
Đáp án D.
Ta có 5-22xx-1≤5+2x⇔5-22xx-1≤5-2-x
Do 0<5-2<1 nên BPT ⇔2xx-1≥-x⇔2xx-1+xx-1x-1≥0⇔x2+xx-1≥0⇔xx+1x-1≥0⇔xx+1x-1≥0⇔[x>1-1≤x≤0.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\1, liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt thì m∈1;2.
Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
Hàm số đồng biến trên -∞;1.
Đáp án B.
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận, 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt thì m∈1;2.
Phương án D bị gián đoạn bởi tập xác định.
Phương án C sai vì đồ thị hàm số có dáng điệu tiến đến vô cùng.
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng có phương trình d:x+11=y-2-1=z1. Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d.
x - y + z - 1 = 0
x - y + z - 1 = 0
x - y + z = 0
x - y + z - 2 = 0
Đáp án C.
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì d⊥P nên (P) nhận vecto chỉ phương của (d) là ud→=1;-1;1 làm vecto pháp tuyến ⇒nP→=1;-1;1. Khi đó: P:x-1-y-2+z-1=0⇔x-y+z=0.
Biết tập nghiệm S của bất phương trình logπ6log3x-2>0 là khoảng (a;b). Tính b - a.
2
4
3
5
Đáp án A.
Ta có: logπ6log3x-2>0⇔0<log3x-2<1⇔x-2>1x-2<3⇔3<x<5
Vậy S=3;5⇒b-a=2.
Biết I=∫04xln2x+1dx=abln3-c, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.
S = 60
S = 70
S = 72
S = 68
Đáp án B.
Đặt ln2x+1=uxdx=dv⇒22x+1dx=duv=x22⇒1x+12dx=duv=x2-1/42
⇒I=x22ln2x+104-12∫04x-12dx=63ln34-3⇒a+b+b=70.
Cho hàm số y=log13x3-2x. Tập nghiệm của bất phương trình y' > 0 là:
-∞;1
-∞;0
1;+∞
2;+∞
Đáp án B.
Điều kiện x2-2x>0⇔[x>2x<0.
Khi đó y=-log3x2-2x⇒y'=-2x-2x2-2xln3>0⇔x<1 nên x<0.
Tập xác định của hàm số y=log23x-2 là
0;+∞
[0;+∞)
23;+∞
log32;+∞
Đáp án D.
Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x-2>0⇔3x>2⇔x>log32⇒D=log32;+∞.
Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức.
Phần thực là -3 và phần ảo là 2.
Phần thực là 2 và phần ảo là -3.
Phần thực là -3 và phần ảo là 2i.
Phần thực là 2 và phần ảo là -3i.
Đáp án B.
Ta có M(2;-3) suy ra M biểu diễn cho số phức 2 - 3i.
Cho hàm số y=ax+1bx-2. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y=12 là tiệm cận ngang.
a = -1; b = -2
a = 1; b = 2
a = -1; b = 2
a = 4; b = 4
Đáp án B.
Đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y=12 là tiệm cận ngang khi x=2b=1ab=12⇔a=2a=1.
Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng α song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB’A’?
32
3
23
22
Đáp án C.
Gọi R,h,l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ.
Ta có diện tích xung quanh Sxq=4π⇔2πRl=4π⇒Rl=2.
Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120°. Vì ABA’A’ là hình chữ nhật có AA' = h = l.
Xét tam giác OAB cân tại O, có OA=OB=RAOB^=120°⇒AB=R3.
Vậy diện tích cần tính là SABB'A'=AB.AA'=R3.1=23.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết rằng các cạnh SA = AC = 2. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
223a3
13a3
23a3
43a3
Đáp án C.
Thể tích của khối chóp S.ABC là VS.ABC=13.SA.S∆ABC=13.2a.12.a22=23a3.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z-i=2 và z2 là số thuần ảo:
3
1
4
2
Đáp án C.
Đặt z = x + yix,y∈ℝ, ta có z2=x+yi2=x2-y2+2xyi là số thuần ảo
⇔x2-y2=02xy≠0 (1).
Mặt khác z-i=2⇔x+y-1i=2⇔x2+y-12=2 (2).
Từ (1),(2) suy ra x2=y2x2+y-12=2⇔x2=y2y2+y-12=2⇒ có 4 số phức cần tìm.
Cho tích phân I=∫0π4x-1sin2xdx. Tìm đẳng thức đúng
I=-x-1cos2x0π4+∫0π4cos2xdx
I=-x-1cos2x-∫0π4cos2xdx
I=-12x-1cos2x0π4+12∫0π4cos2xdx
I=-12x-1cos2x0π4-∫0π4cos2xdx
Đáp án C.
Đặt u=x-1dv=sin2xdx⇔du=dxv=-cos2x2. Khi đó I=-12x-1cos2x0π4+12∫0π4cos2xdx.
Gọi z1,z2,z3,z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z2-2z2-8=0. Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm của z1,z2,z3,z4. Tính giá trị của P = OA + OB + OC + OD trong đó O là gốc tọa độ.
P = 4
P = 2+2
P = 22
P = 4+22
Đáp án D.
Phương trình z4-2z2-8=0⇔z2-12=32⇔[z2=4z2=-2⇔[z=±2z=±i2⇒z1=2;z2=-2z3=±i2;z4=-i2.
Khi đó A(2;0), B(-2;0), C(0;2), D(0;-2) ⇒P=OA+OB+OC+OD=4+22.
Có bao nhiêu số a∈0;20π sao cho ∫0asin5x.sin2xdx=27.
20
19
9
10
Đáp án D.
Ta có ∫0asin5x.sin2xdx=∫0asin5x.2sinxcosxdx=2∫0asin6xdsinx=2.sin7x70a=27sin7a=27 ⇔sinx=1⇔x=π2+k2π k∈ℤ.
Ép cho 0<π2+k2π<20π⇔-14<k<394⇒k∈0;1;2;...;9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x-22+y+12+z-32=9. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).
Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả ba mặt (Oxy), (Oxz), (Oyz).
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz).
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz).
Đáp án A.
Xét mặt cầu S:x-22+y+12+z-32=9⇒ tâm I(2;-1;3) và R = 3.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là z = 0; x = 0; y = 0.
Khi đó dI;Oxy=3dI;Oyz=2dI;Oxz=1 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).
Cho hàm số y=2x2-3x-1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên 12;2 là:
178
94
2
3
Đáp án A.
Xét hàm số fx=2x2-3x-1 trên 12;2. Ta có: f'x=4x-3=0⇔x=34
Lại có: f12=-2;f34=-178;f1=-2⇒fx∈-178;-2⇒fx∈2;178
Do đó max12;2y=178.
Biết hàm số Fx=ax3+a+bx2+2a-b+cx+1 là một nguyên hàm của hàm số fx=3x2+6x+2. Tổng a + b + c là:
5
4
3
2
Đáp án A.
Ta có Fx=∫3x2+6x+2dx=x3+3x2+2x+C⇒a=1a+b=32a-b+c=2C=1⇒a=1b=2c=2.
Cho hàm số fx=4x4x+2. Tính giá trị biểu thức A=f1100+f2100+...+f100100?
50
49
1493
3016
Đáp án D.
Với a+b=1⇒fa+fb=4a4a+2+4b4b+2=4a+b+2.4a+4a+b+2.4b4a+b+2.4a+2.4b+4=1.
Lưu ý 1100+9100=1,... cứ vậy ⇒A=982+f50100+f100100=3016.
Cho A, B, C là những điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z3+i=0. Tìm phát biểu sai?
Tam giác ABC đều
Tam giác ABC có trọng tâm là O(0;0)
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O(0;0)
SABC=332
Đáp án D.
Ta có z3+i=0⇔z=iz=-i±32⇒A0;1B32;-12,C-32;-12⇒S∆ABC=334.
Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:
12
18
14
17
Đáp án D.
Gọi h,r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón lớn.
Theo đó, chiều cao và bán kính của khối nón nhỏ lần lượt là h2 và r2
Tỉ số thể tích khối nón nhỏ và khối nón lớn là: π3r22h2πr2h3=18
Vậy tỉ số thêt tích của 2 phần được chia là: 17.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y=x, y=x-2 và trục hoành (hình vẽ).
Diện tích của (H) bằng
103
163
73
83
Đáp án A.
Diện tích của (H) bằng S=∫02xdx+∫24x-x-2dx=103.
Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng a2. Tính diện tích thiết diện của trục cắt bởi mặt phẳng
a23
a2
2a23
πa2
Đáp án C.
Gọi thiết diện mặt cắt là hình vuông ABCD.
Xét mặt đáy tâm O như hình vẽ. Vì thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên chiều cao của hình trụ OO' = 2a = BC và OA = a.
⇒AB=2OA2-OM2=a3
Diện tích thiết diện cần tính: AB.CD=2a23.
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và mặt phẳng P:x+2y-2z=0. Gọi B là điểm đối xứng với A qua (P). Độ dài đoạn AB là:
2
43
23
4
Đáp án B.
AB=2dA;P=43.
Có bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
360
220
240
180
Đáp án B.
Số cần lập có dạng abcd¯ trong đó a;b;c;d∈0;1;2;3;4;5;6; trong đó d = {0;5}.
TH1: d = 0 khi đó a,b,c có A63 cách chọn và sắp xếp.
TH2: d = 5 khi đó a,b,c có 5.5.4 a≠0 cách chọn và sắp xếp.
Theo quy tắc cộng có A63+5.5.4=220 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Số hạng không chứa x trong khai triển 2x-3x32n với x≠0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3+2n=An+12 là
-C1612.24.312
C160.216
C1612.24.312
C1616.20
Đáp án C.
Ta có Cn3+2n=An+12⇔n!n-3!.3!+2n=n+1!n-1!⇔nn-1n-26+2n=n+1n
⇔n-1n-2+12=6n+1⇔n2-9n+8=0⇔[n=8n=1⇒n=8.
Khi đó 2x-3x316=∑k=016C16k2x16-k-3x3k=∑k=016C16k216-k-3kx16-43k.
Số hạng không chứa x ⇔16-43k=0⇔k=12⇒k=12⇒a12=C161224(-3)12.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên. Xét hàm số gx=fx3-2 Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;0)
Hàm số g(x)nghịch biến trên khoảng -∞;-2
Hàm số g(x)nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số g(x)đồng biến trên khoảng 2;+∞
Đáp án A.
Ta có g'x=x2-2'f'x2-2=2x.f'x2-2;∀x∈ℝ.
Khi đó g'x<0⇔x.f'x2-2<0⇔[x<0f'x2-2>0x>0f'x2-2<0⇔[x<0x2-2>2x>0x2-2<2⇔[0<x<2x<-2.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng -∞;-2 và (0;2) khẳng định A là sai.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh AB và α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là
S=a2
S=3a22
S=a22
S=2a2
Đáp án A.
Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD ⇒MN⊥ABMQ⊥AB.
Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.
Suy ra thiết diện của mặt phẳng α và hình chóp là MNPQ.
Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD ⇒MQ=3a2.
MN là đường trung bình của tam giác SAB⇒MN=SA2=a.
NP là đường trung bình của tam giác SBC ⇒NP=BC2=a2.
Vậy diện tích hình thang MNPQ là SMNPQ=MN.NP+MQ2=a2a2+3a2=a2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3), C(4;2;5). Biết điểm M(x0;y0;z0) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA→+MB→+MC→ có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tổng P=x0+y0+z0 bằng
P = 0
P = 6
P = 3
P = -3
Đáp án C.
Gọi C là trọng tâm của tam giác ABC ⇒G2;1;3
Khi đó MA→+MB→+MC→=3MG→+GA→+GB→+GC→⏟0=3MG→=3MG.
Suy ra MGmin⇔ M là hình chiếu của G trên mp (Oxy) ⇒M2;1;0.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=3x4-4x3-12x2+m có 5 điểm cực trị?
44
27
26
16
Đáp án B.
Đặt fx=3x4-4x3-12x2→f'x=12x3-12x2-24x; ∀x∈ℝ.
Khi đó y=fx+m⇒y'=f'x.fx+mfx+m. Phương trình y'=0⇔[f'x=0fx=-m (*).
Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị ⇔y'=0 có 5 nghiệm phân biệt
Mà f'x=0 có 3 nghiệm phân biệt ⇒fx=-m có 2 nghiệm phân biệt.
Dựa vào BBT hàm số f(x) để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔[-m>0-5>-m>-32⇔[m<05<m<32.
Kết hợp với m∈ℤ+ suy ra có tất cả 27 giá trị nguyên cần tìm.
Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ\-1;1 và thỏa mãn f'x=1x2-1. Biết f(-3) + f(3) = 0 và f-12+f12=2. Tính giá trị T=f-2+f0+f4.
T=1+ln95
T=1+ln65
T=1+12ln95
T=1+12ln65
Đáp án C.
Ta có fx=∫f'xdx=∫1x2-1dx=12lnx-1x+1+C.
· Với [x>1x<-1⇒fx=12lnx-1x+1+C mà f-3+f3=0⇒2C+12ln12+12ln2=0⇔C=0.
· Với -1<x<1⇒fx=12ln1-xx+1+C mà f-12+f12=2⇒2C+12ln13+12ln3=2⇔C=1.
Vậy T=f-2+f0+f4=12ln-2-1-2+1+12ln1-00+1+1+12ln4-14+1=1+12ln95.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
a33
16a345
a32
a322
Đáp án B.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối SO∩B'D'=I.
Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tam giác SAC vuông tại A, có SC2=SA2+AC2=6a2⇒SC=a6.
Ta có BC⊥SAB⇒BC⊥AB' và SB⊥AB'⇒AB'⊥SC.
Tương tự AD'⊥SC suy ra SC⊥(AB'D')≡(AB'C'D')⇒SC⊥AC'.
Mà SC'.SC=SA2⇒SC'SC=SA2SC2=23 và SB'SB=SA2SB2=45.
Do đó VS.AB'C'=815VS.ABC=830VS.ABCD mà VS.ABCD=13.SA.SABCD=2a33.
Vậy thể tích cần tính là VS.AB'C'D'=2.VS.AB'C'=16a345
Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm, chiều dài 6cm. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm x 5cm x 6cm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn?
17
15
16
18
Đáp án C.
Chiều dài viên phấn bằng với chiều dài của hộp carton bằng 6cm.
Đường kính đáy của viên phấn hình trụ bằng d = 1cm.
TH1: Chiều cao của đáy hình hộp chữa nhật bằng với 5 lần đường kính đáy bằng 5cm.
Khi đó ta sẽ xếp được 4.6 = 30 viên phấn.
TH2: Chiều cao của đáy hình hộp chữ nhật bằng với 6 lần đường kính đáy bằng 6cm.
Khi đó ta cũng sẽ xếp được 6.5 = 30 viên phấn.
Vậy hộp phấn cần đẻ xếp 460 viên phấn là 16 hộp.
Cho số phức thỏa mãn z≤1. Đặt A=2z-12+iz. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A≤1
A≥1
A<1
A>1
Đáp án A.
Ta có A=2z-12+iz⇔2A+Aiz=2z-i⇔2A+i=2z-Aiz⇔z=2A+i2-Ai.
Mà z≤1⇒2A+i2-Ai≤1⇔2A+i2-Ai≤1⇔2A+i≤2-Ai (*).
Đặt A = x + yi, Khi đó (*) ⇔2x+2y+1i≤2+y-xi⇔4x2+2y+12≤2+y2+x2.
⇔4x2+4y2+4y+1≤x2+y2+4y+4⇔x2+y2≤1⇒A≤1.
Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức LM=logkR2(Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là LA=3 (Ben) và LB=5 (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy).
3,59 (Ben).
3,06 (Ben).
3,69 (Ben).
4 (Ben).
Đáp án C.
Ta có LA=logkOA2=3LB=logkOB2=5⇒kOA2=103kOB2=105⇒AB=OA+OB=11010+110010k=11k10010.
Trung điểm I của cạnh AB cách O một khoảng IO=AB2-OB=11k20010-k10010=9k20010⇒LI=logkIO2=logk9k200102≈3,69.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=1+sinx+1+cosx. Tính giá trị của M - m.
42
3+22
4+22-1
4+22
Đáp án C.
Ta có: f2x=2+sinx+cosx+21+sinx1+cosx
=2+sinx+cosx+21+sinx+cosx+sinxcosx
Đặt t=sinx+cosx=2sinx+π4⇒t∈-2;2.
Suy ra sinxcosx=t2-12⇒f2x=2+t+21+t+t2-12=2+t+2t2+2t+1
⇒ft=t+2+2t+1=t+2+2t+1 khi t≥-1t+2-2t+1 khi t<-1=1+2t+2+2 khi t≥-11-2t+2-2 khi t<-1
Từ đó suy ra 1≤f2x≤4+22⇔fx≤4+22⇒M-m=4+22-1.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P).
2017
20143
20163
20153
Đáp án D.
Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB). Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại I⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra z1=c2.
Ta có S∆OAD=12.S∆OAB=14.ab=12.DE.OA⇒DE=b2.
Tương tự DF=a2⇒x1=a2,y=b2⇒Ia2;b2;c2.
Suy ra x1+y1+z1=a+b+c2=1⇒I∈P:x+y+z-1=0.
Vậy khoảng cách từ điểm M dến (P) bằng d=20153.
Cho số phức z thỏa mãn z-3-4i=5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+22-z-i2. Tính môđun của số phức w = M + mi ?
w=2315
w=1258
w=3137
w=2309
Đáp án B.
Đặt z=x+yix,y∈ℝ suy ra tập hợp các điểm M(z) = (x,y) là đường tròn (C) có tâm I(3;4) và bán kính R=5.
Ta có P=z+22-z-i2=x+2+yi2-x+y-1i2=x+22+y2-x2-y-12
=x2+y2+4x+4-x2-y2+2y-1=4x+2y+3→∆:4x+2y+3-P=0.
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung ⇔dI;∆≤R.
⇔4.3+2.4+3-P42+22≤5⇔23-P≤10⇔-10≤23-P≤10⇔13≤P≤33.
Do đó, maxP=33minP=13→w=M+mi=33+13i⇒w=1258.
Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa ∫01fxdx=∫01x+1exfxdx=e2-14 và f(1) = 0. Tính ∫01fxdx.
e-12
e24
e-2
e2
Đáp án C.
Đặt u=f(x)dv=x+1exdx⇔du=f'xdxv=xex, khi đó ∫01x+1ex.fxdx
=xex.fx01-∫01xex.f'xdx
=e.f1-∫01xex.f'xdx⇔∫01xex.f'xdx=-∫01x+1ex.fxdx=1-e24.
Xét tích phân ∫01f'x+k.xex2dx=∫01f'x2dx+2k.∫01xex.f'xdx+k2.∫01x2e2xdx=0
⇔e2-14+2k.1-e24+k2.e2-14=0⇒k2-2k+1=0⇔k=1⇒f'x=-x.ex.
Do đó fx=∫f'xdx=-∫x.exdx=1-xex+C mà f1=0⇒C=0.
Vậy I=∫01f(x)dx=∫01(1-x)exdx→casioI=e-2.
Một công ty mỹ phẩm chiết xuất 1m3 hoạt chất đặc biệt và họ sử dụng nó để sản suất ra một sản phẩm kem dưỡng da mới với thiết kế hộp là một khối cầu có đường kính 108 cm bên trong hộp là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Để thu hút khác hàng công ty đã thiết kế khối trụ có thể tích lớn nhất để đựng kem dưỡng da. Hỏi với 1m3 hoạt chất đặc biệt trên, công ty đó sản xuất được tối đa bao nhiêu hộp sản phẩm, biết rằng trong kem dưỡng da chỉ chứa 0,3% hoạt chất đặc biệt trên ?
1964875 hộp
2254715 hộp
2084645 hộp
1754845 hộp
Đáp án A.
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của khối trụ.
Vì 2 x khối trụ nội tiếp khối cầu suy ra R2=r2+h2⇔r2+h2=27.
Thể tích của khối trụ là V=πr2h=π.h27-h2→fh=27h-h3.
Khảo sát hàm số fh→ GTLN của f(h) là 54 khi h = 3.
Suy ra thể tích lớn nhất của khối trụ là V=54π cm3.
Số hoạt chất đặc biệt cần dùng để làm kem dưỡng da là 0,3%.54π=0,509 cm3.
Vậy số hộp kem tối đa mà công ty sản xuất được là 1.10030,509≈1964875 hộp.
