Đề số 5

Ta thấy qua ba điểm bất kì chỉ xác định được một hoặc chùm mặt phẳng chứ không xác định được khối đa diện nên mệnh đề B sai.

Mặt khác, ta có khối chóp tam giác có bốn đỉnh, bốn mặt, sáu cạnh nên các mệnh đề C, D đều sai.

Đáp án A

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}.$

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được số các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là $A_6^3=120$ (số).

Đáp án D

* Vì $\underset{x\to {(-\frac{m}{2})}^{+}}{\lim }\frac{mx-1}{2x+m}=-\infty$  (hoặc $\underset{x\to {(-\frac{m}{2})}^{-}}{\lim }\frac{mx-1}{2x+m}=+\infty$ ) nên đường thẳng $x=-\frac{m}{2}$  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

* Đường tiệm cận đứng đi qua điểm $A(1;2)$ nên $1=-\frac{m}{2}\iff m=-2.$

Đáp án D.

Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a là: $V=a^3$  (đvtt).

Đáp án B.

Đường thẳng đi qua $A(-1;2)$ , nhận $\overrightarrow{n}=(2;-4)$  làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:

$2(x+1)-4(y-2)=0\iff 2x-4y+10=0\iff x-2y+5=0.$

Đáp án A.

+ Tổng số học sinh của lớp là 41 học sinh.

+ Số cách chọn 5 học sinh trong lớp là số tổ hợp chấp 5 của 41 phần tử $C_{41}^5.$

Đáp án D

Lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 nên có chiều cao $h=5.$

Thể tích của khối lăng trụ là: $V=B.h=4^2.5=80.$

Đáp án D

Số nghiệm của phương trình $|x^3-3x|=m^2+m$  là số giao điểm của đồ thị $y=|x^3-3x|$  và đường thẳng $y=m^2+m.$

Cách vẽ đồ thị hàm số  từ đồ thị hàm số $y=|x^3-3x|$  là: Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số $y=x^3-3x$  nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của hàm số $y=x^3-3x$  nằm phía dưới trục hoành rồi xóa bỏ phần đồ thị hàm số $y=x^3-3x$  nằm phía dưới trục hoành:

Phương trình $|x^3-3x|=m^2+m$  có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{m}^2+m>0\\ m^2+m<2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m>0\\ m<-1\end{array}\\ -2<m<1\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<m<1\\ -2<m<-1\end{array}.$

Đáp án A

Xét hàm số $y=x^4+4x^2-3.$

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^4+4x^2-3)=+\infty$  và $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^4+4x^2-3)=+\infty .$

Vậy đồ thị hàm số  không có tiệm cận ngang.

Đáp án D

Thể tích khối lăng trụ là $V=AA\text{'}.S_{ABCD}=AA\text{'}.\frac{1}{2}.AC.BD=4a.\frac{1}{2}.2a.a=4a^3.$

Đáp án C

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số$y=f\left(x\right)$  tại điểm $x_0$  là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $\left(C\right)$  của hàm số tại điểm$M(x_0;y_0).$

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến của $\left(C\right)$  tại điểm $M(a;b)\in \left(C\right)$ là $k=f\text{'}\left(a\right)$

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Ta thấy:

* $y\text{'}>0$  khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$  nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$

*  $y\text{'}<0$khi $x\in (-1;1)$  nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1).$

Vậy đáp án đúng là đáp án D.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$  và đạt cực tiểu tại $x=2.$

Đáp án B

Điều kiện của phương trình: $\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-2\ge 0\\ x-3\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ge 2\\ x\ge 3\end{array}\iff x\ge 3$

Vậy tập xác định của phương trình là: $D=[3;+\infty ).$

Đáp án C

Vì $\pi \notin \mathbb{Z}$  nên hàm số có điều kiện xác định là$x^2-3x+2\ne 0$

$\Rightarrow x\in (-\infty ;1)\cup (2;+\infty ).$

Đáp án A

Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $(1;-1).$

Đáp án C

$y\text{'}=4x^3+4x$

$f\text{'}\left(1\right)=8$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(1;4) và có hệ số góc $k=8$ là:

  $\begin{array}{l}y=8(x-1)+4\\ \iff y=8x-4\end{array}$

Đáp án A

Từ khai triển ${(1+x)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\mathrm{...}+C_n^n{x}^n.$

Cho $x=1$ ta được ${(1+1)}^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^2=1+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^n$

Mà $C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^n=1023$ nên$2^n=1024\iff n=10.$

Bài toán trở thành tìm hệ số của $x^2$  trong khai triển ${(2x+1)}^{10}$  thành đa thức.

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(2x+1)}^{10}$  là  $C_{10}^k{\left(2x\right)}^k=C_{10}^k{2}^k{x}^k$

Từ yêu cầu bài toàn suy ra $k=2.$

Vậy hệ số của $x^2$  trong khai triển ${(2x+1)}^{10}$  thành đa thức là $C_{10}^2{2}^2=180.$

Đáp án B

Trong $\left(ABCD\right)$ gọi $O=AC\cap BD.$

Trong $\left(SBD\right)$ gọi $I=SO\cap MP.$

Trong $\left(SAC\right)$ gọi $N=SC\cap AI.$

Trong  qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt SO tại H, qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt SO tại K.

Gọi T là trung điểm NC

Ta có: $\frac{IH}{IK}=\frac{MH}{PK}=\frac{\frac{1}{2}BO}{\frac{2}{3}BO}=\frac{3}{4}.$

$HK=SO-SH-OK=SO-\frac{1}{2}SO-\frac{1}{3}SO=\frac{1}{6}SO.$

$\frac{IH}{3}=\frac{IK}{4}=\frac{IH+IK}{7}=\frac{\frac{1}{6}SO}{7}=\frac{1}{42}SO.$

$\frac{SI}{SO}=\frac{SH+IH}{SO}=\frac{\frac{1}{2}SO+\frac{1}{14}SO}{SO}=\frac{4}{7}.$

$\Rightarrow \frac{SN}{ST}=\frac{4}{7}.$

$\Rightarrow \frac{SN}{SC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$

$\frac{V_{S.AMNP}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{2}[\frac{V_{S.AMN}}{S_{S.ACB}}+\frac{V_{S.ANP}}{V_{S.ACD}}]=\frac{1}{2}[\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}+\frac{SP}{SD}.\frac{SN}{SC}]=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}.\frac{2}{5}+\frac{2}{5}.\frac{2}{3}]=\frac{7}{30}.$

$V_{ABCD.AMNP}=V_{S.ABCD}-V_{S.AMNP}=V-\frac{7}{20}V=\frac{23}{30}V.$

Đáp án D

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}m{x}^2+x-2.$

$f\text{'}\left(x\right)=x^2-mx+1.$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff x^2-mx+1=0\left(1\right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $\iff$  phương trình $\left(1\right)$  có 2 nghiệm phân biệt.

.$\iff \Delta =m^2-4>0\iff [\begin{array}{l}m<-2\\ m>2\end{array}.$

$\left(1\right)\iff [\begin{array}{l}{x}_1=\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}\\ x_2=\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}\left|x_1\right|=\frac{|m+\sqrt{m^2-4}|}{2}\\ \left|x_2\right|=\frac{|m-\sqrt{m^2-4}|}{2}\end{array}$

Ta có:${\left|x_1\right|}^2+{\left|x_2\right|}^2={\sqrt{7}}^2\iff {(m+\sqrt{m^2-4})}^2+{(m-\sqrt{m^2-4})}^2=7\iff m^2=9\iff [\begin{array}{l}m=3\\ m=-3\end{array}.$

Vậy chọn B.

$B=AB\cap Ox\Rightarrow$ tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:$\{\begin{array}{l}2x-y+4=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}\Rightarrow B(-2;0)$

$C=AC\cap Ox\Rightarrow$ tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: $\{\begin{array}{l}x-2y-6=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=0\end{array}\Rightarrow C(6;0).$

Phương trình đường phân giác của góc BAC là:$\frac{|2x-y+4|}{\sqrt{5}}=\frac{|x-2y-6|}{\sqrt{5}}\iff [\begin{array}{l}x+y+10=0\left(d_1\right)\\ 3x-3y-2=0\left(d_2\right)\end{array}$

Đặt $f(x,y)=x+y+10$

$f(-\mathrm{2,0})=8$

$f\left(\mathrm{6,0}\right)=16$

$\Rightarrow f(-\mathrm{2,0}).f(-\mathrm{6,0})=128>0\Rightarrow B$ và C nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $d_1$

$\Rightarrow$phương trình phân giác ngoài của góc BAC là:$x+y+10=0.$

Đáp án B

Đặt $g\left(x\right)=f(1-x)+\frac{x^2}{2}-x$

$g\text{'}\left(x\right)=-f\text{'}(1-x)+x-1$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}(1-x)=-1(1-x)$

Xét phương trình $f\text{'}\left(x\right)=-x.$  Từ đồ thị hàm số $f\text{'}\left(x\right)$  ta có các nghiệm của phương trình này là $x=-\mathrm{3,}x=-\mathrm{1,}x=3.$

Do đó, phương trình $f\text{'}(1-x)=-(1-x)$  tương đương với $[\begin{array}{l}1-x=-3\\ 1-x=-1\\ 1-x=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=2\\ x=-2\end{array}$

Từ đó ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;\frac{3}{2}).$

Đáp án D