Đề số 3

Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp $P$ là $C_{10}^3$

Chọn đáp án A

Ta có: $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$. Theo giả thiết ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}{u}_4=2\\ u_2=4\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=2\\ u_1+d=4\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ d=-1\end{array}\right.$

Vậy $u_1=5$ và $d=-1.$

Chọn đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$ trên các khoảng  $\left(-1;0\right)$ và  $\left(1;+\infty \right)\Rightarrow$  hàm số nghịch biến trên $\left(-1;0\right)$

Chọn đáp án C

Theo BBT

Chọn đáp án D

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại bằng 5 tại $x=0$

 Chọn đáp án B

Tập xác định của hàm số $D=ℝ\backslash \left\{-3\right\}$

Ta có $\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\frac{2-x}{x+3}=+\infty$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-3$

Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C

Khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$$\Rightarrow a>0$

Với $x=0\Rightarrow y=2$. Vậy đồ thị hàm số $y=-x^4+x^2+2$ cắt trục $Oy$ tại điểm $A\left(0;2\right)$

Chọn đáp án A

$\log a^3=3\log a\Rightarrow$A sai, D đúng

$\log \left(3a\right)=\log 3+loga\Rightarrow$ B,C sai.

Chọn đáp án D

Ta có $y=6^x\Rightarrow y^{\text{'}}=6^x\ln 6$

Chọn đáp án B

$P=\sqrt[3]{x^5}.\frac{1}{\sqrt{x^3}}$$=x^{\frac{5}{3}}.x^{-\frac{3}{2}}=x^{\frac{5}{3}-\frac{3}{2}}=x^{\frac{1}{6}}$

Chọn đáp án C

$2^{x-1}=\frac{1}{16}\iff 2^{x-1}=2^{-4}\iff x-1=-4\iff x=-3$

Chọn đáp án A

Ta có: $\left(3x-2\right)=2\iff 3x-2=4^2\iff 3x-2=16\iff x=6$

Chọn đáp án A

Ta có: $\int \left(3x^2+\sin x\right)\text{d}x=x^3-\cos x+C$

Chọn đáp án C

Ta có: $\int {\text{e}}^{3x}\text{d}x=\frac{{\text{e}}^{3x}}{3}+C$

Chọn đáp án D

Ta có: $I=\underset{0}{\overset{10}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{6}{\overset{10}{\int }}f\left(x\right)dx=7-1=6$
Vậy $I=6$

Chọn đáp án B

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx=-\cos x\left|\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\ 0\end{array}\right.=1$

Chọn đáp án B

Điểm biểu diễn số phức $z=-1+2i$ là điểm $P\left(-1;2\right)$

Chọn đáp án B

$V=2^3=8$

Chọn đáp án B

Ta có $V_{chop}=\frac{1}{3}B.h\Rightarrow h=\frac{3V}{B}=\frac{3.32}{16}=6\left(cm\right)$

Chọn đáp án B

Thể tích của khối nón đã cho là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi 4^2.3=16\pi$

Chọn đáp án A

Thể tích khối trụ là $V=\pi R^2.h=\pi .a^2.2a=2\pi a^3$

Chọn đáp án A

Lần lượt thay toạ độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình $\left(P\right)$ ta thấy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình (P). Do đó điểm N thuộc (P)

Chọn đáp án B

$n\left(\Omega \right)=C_{21}^3=1330$

Xét các phương án:

A. $f\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-4$$\Rightarrow$$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-6x+3=3{\left(x-1\right)}^2\ge 0$ $\forall x\in ℝ$ và dấu bằng xảy ra tại $x=1$.Do đó hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-4$ đòng biến trên $ℝ$

B. $f\left(x\right)=x^2-4x+1$ là hàm bậc hai và luôn có một cực trị nên không đồng biến trên $ℝ$

C. $f\left(x\right)=x^4-2x^2-4$ là hàm trùng phương luôn có ít nhất một cực trị nên không đồng biến trên $ℝ$

D. $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1}$ có $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ nên không đồng biến trên $ℝ$

Chọn đáp án A

$y=x^4-10x^2+2\Rightarrow y^{\text{'}}=4x^3-20x=4x\left(x^2-5\right)$

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\sqrt{5}\\ x=-\sqrt{5}\end{array}\right.$

Các giá trị $x=-\sqrt{5}$ và $x=\sqrt{5}$ không thuộc đoạn $\left[-1;2\right]$ nên ta không tính.

Có $f\left(-1\right)=-7;f\left(0\right)=2;f\left(2\right)=-22$

Do đó $M=\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=2$, $m=\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y=-22$ nên $M+m=-20$

Chọn đáp án C

Ta có: $\log x\ge 1\iff x\ge 10$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)\text{d}x=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=2.4=8$

Chọn đáp án D

Ta có $z=-3-4i$

Suy ra $\frac{1}{z}=\frac{1}{-3-4i}=-\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i$

Nên $\left|z\right|=\sqrt{{\left(\frac{-3}{25}\right)}^2+{\left(\frac{4}{25}\right)}^2}=\frac{1}{5}$

Chọn đáp án D

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;4\right)$ nên phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$

Chọn đáp án D

Ta có $\left(3+\sqrt{8}\right)={\left(3-\sqrt{8}\right)}^{-1},\left(17-12\sqrt{2}\right)={\left(3-\sqrt{8}\right)}^2$

Do đó ${\left(17-12\sqrt{2}\right)}^x\ge {\left(3+\sqrt{8}\right)}^{x^2}\iff {\left(3-\sqrt{8}\right)}^{2x}\ge {\left(3+\sqrt{8}\right)}^{x^2}\iff {\left(3+\sqrt{8}\right)}^{-2x}\ge {\left(3+\sqrt{8}\right)}^{x^2}$

$\iff -2x\ge x^2\iff -2\le x\le 0$

$\begin{array}{l}I=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\sin x\right)\cos x\text{d}x+3{\int }_0^{1}f\left(3-2x\right)\text{d}x\\ \text{ =}2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\sin x\right)\text{d}\left(\sin x\right)-\frac{3}{2}{\int }_0^{1}f\left(3-2x\right)\text{d}\left(3-2x\right)\\ \text{ =}2{\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x+\frac{3}{2}{\int }_1^{3}f\left(x\right)\text{d}x\\ =2{\int }_0^1\left(5-x\right)\text{d}x+\frac{3}{2}{\int }_1^3\left(x^2+3\right)\text{d}x\\ =9+22=31\end{array}$

Chọn đáp án B

Ta có: góc giữa đường thẳng $SC$ và $\left(ABCD\right)$ là góc $\widehat{SCA}=45°$

$\Rightarrow SA=AC$$=a\sqrt{2}$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.a^2.a\sqrt{2}$ $=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Chọn đáp án C

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $AB$ trùng $Ox$, $A$ trùng $O$ khi đó parabol có đỉnh $G\left(2;4\right)$ và đi qua gốc tọa độ.

Gọi phương trình của parabol là $y=a{x}^2+bx+c$

Do đó ta có $\left\{\begin{array}{l}c=0\\ \frac{-b}{2\text{a}}=2\\ 2^{2}a+2b+c=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\right.$

Nên phương trình parabol là $y=f\left(x\right)=-x^2+4x$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm. Gọi$M=\Delta \cap d_1$, $N=\Delta \cap d_2$

Vì $M\in d_1$ nên $M\left(3-t;3-2t;-2+t\right)$

Vì $N\in d_2$ nên $N\left(5-3s;-1+2s;2+s\right)$

$\overrightarrow{MN}=\left(2+t-3s;-4+2t+2s;4-t+s\right)$, $\left(P\right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)$

Vì $\Delta \perp \left(P\right)$ nên $\overrightarrow{n},\overrightarrow{MN}$ cùng phương, do đó:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2+t-3s}{1}=\frac{-4+2t+2s}{2}\\ \frac{-4+2t+2s}{2}=\frac{4-t+s}{3}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}s=1\\ t=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}M\left(1;-1;0\right)\\ N\left(2;1;3\right)\end{array}\right.$

$\Delta$ đi qua $M$ và có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=\left(1;2;3\right)$