Đề số 3
50 câu hỏi
Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là
C103
103
A103
A107
Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là C103
Chọn đáp án A
Cho một cấp số cộng có u4=2, u2=4. Hỏi u1 và công sai d bằng bao nhiêu?
u1=6 và d=1.
u1=1 và d=1.
u1=5 và d=−1.
u1=−1 và d=−1.
Ta có: un=u1+n−1d. Theo giả thiết ta có hệ phương trình
u4=2u2=4⇔u1+3d=2u1+d=4⇔u1=5d=−1
Vậy u1=5 và d=−1.
Chọn đáp án C
Cho hàm số fx có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
−∞;−1
0;1
−1;0
−∞;0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f'x<0 trên các khoảng −1;0 và 1;+∞⇒ hàm số nghịch biến trên −1;0
Chọn đáp án C
Cho hàm số f(x)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại
x=−1
x=1
x=0
x=0
Theo BBT
Chọn đáp án D
Cho hàm số y=fxcó bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số không có cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x=0.
Hàm số đạt cực đại tại x=5.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại bằng 5 tại x=0
Chọn đáp án B
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2−xx+3 là
x=2
x=−3
y=−1
y=−3
Tập xác định của hàm số D=ℝ\−3
Ta có limx→−3+y=limx→−3+2−xx+3=+∞
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x=−3
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
y=−x2+x−1
y=−x3+3x+1
y=x4−x2+1
y=x3−3x+1
Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C
Khi x→+∞ thì y→+∞⇒a>0
Đồ thị hàm số y= − x4 + x2 + 2 cắt trục Oy tại điểm
A0 ; 2
A2 ; 0
A0 ; −2
A0 ; 0
Với x =0 ⇒ y=2. Vậy đồ thị hàm số y= − x4 + x2 + 2 cắt trục Oy tại điểm A0 ; 2
Chọn đáp án A
Cho a là số thực dương bất kì. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
loga3=13loga
log3a=3loga
log3a=13loga
loga3=3loga
loga3=3loga⇒A sai, D đúng
log3a=log3+loga⇒ B,C sai.
Chọn đáp án D
Tính đạo hàm của hàm số y=6x
y'=6x
y'=6xln6
y'=6xln6
y'=x.6x−1
Ta có y=6x⇒y'=6xln6
Chọn đáp án B
Cho số thực dương x. Viết biểu thức P=x53.1x3 dưới dạng lũy thừa cơ số x ta được kết quả
P=x1915
P=x196
P=x16
P=x− 115
P=x53.1x3=x53.x−32=x53−32=x16
Chọn đáp án C
Nghiệm của phương trình 2x−1=116 có nghiệm là
x=−3
x=5
x=4
x=3
2x−1=116⇔2x−1=2−4⇔x−1=−4⇔x=−3
Chọn đáp án A
Nghiệm của phương trình log43x−2=2 là
x=6
x=3
x=103
x=72
Ta có: 3x−2=2⇔3x−2=42⇔3x−2=16⇔x=6
Chọn đáp án A
Họ nguyên hàm của hàm số fx=3x2+sinx là
x3+cosx+C
6x+cosx+C
x3−cosx+C
6x−cosx+C
Ta có: ∫3x2+sinxdx=x3−cosx+C
Chọn đáp án C
Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=e3x
∫fxdx=e3x+13x+1+C
∫fxdx=3e3x+C
∫fxdx=e3+C
∫fxdx=e3x3+C
Ta có: ∫e3xdx=e3x3+C
Chọn đáp án D
Cho hàm số fx liên tục trên ℝ thỏa mãn ∫06fxdx=7 , ∫610fxdx=−1 . Giá trị của I=∫010fxdx bằng
I = 5
I = 6
I = 7
I = 8
Ta có: I=∫010fxdx=∫06fxdx+∫610fxdx=7−1=6
Vậy I=6
Chọn đáp án B
Giá trị của ∫0π2sinxdx bằng
0
1
-1
π2
∫0π2sinxdx=−cosxπ20=1
Chọn đáp án B
Số phức liên hợp của số phức z=2+i là
z¯=−2+i
z¯=−2−i
z¯=2−i
z¯=2+i
Số phức liên hợp của số phức z=2+i và z¯=2−i
Cho hai số phức z1=2+i và z2=1+3i. Phần thực của số phức z1+z2 bằng
1
3
4
-2
Ta có z1+z2=2+i+1+3i=3+4i . Vậy phần thực của số phức z1+z2 bằng 3.
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z=−1+2i là điểm nào dưới đây?
Q1; 2
P−1; 2
N1; −2
M−1;−2
Điểm biểu diễn số phức z=−1+2i là điểm P−1; 2
Chọn đáp án B
Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng
6
8
4
2
V=23=8
Chọn đáp án B
Cho khối chóp có thể tích bằng 32cm3 và diện tích đáy bằng 16cm2.Chiều cao của khối chóp đó là
4cm
6cm
3cm
2cm
Ta có Vchop=13B.h⇒h=3VB=3.3216=6 cm
Chọn đáp án B
Cho khối nón có chiều cao h=3 và bán kính đáy r=4. Thể tích của khối nón đã cho bằng
16π
48π
36π
4π
Thể tích của khối nón đã cho là V=13πr2h=13π42.3=16π
Chọn đáp án A
Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a.
2πa3
2πa33
πa33
πa3
Thể tích khối trụ là V=πR2.h=π.a2.2a=2πa3
Chọn đáp án A
Trong không gian, Oxyz cho A 2;−3;−6 ,B 0;5;2 . Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
I −2;8;8
I( 1;1;−2 )
I −1;4;4
I 2;2;−4
Vì I là trung điểm của AB nên I xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2 vậy I 1;1;−2 Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:(x−2)2+(y+4)2+(z−1)2=9. Tâm của (S) có tọa độ là
(−2;4;−1)
(2;−4;1)
(2;4;1)
(−2;−4;−1)
Mặt cầu S có tâm2;−4;1Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P:x−2y+z−1=0 . Điểm nào dưới đây thuộc P ?
M1;−2;1
N2;1;1
P0;−3;2
Q3;0;−4
Lần lượt thay toạ độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình P ta thấy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình (P). Do đó điểm N thuộc (P)
Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d:x=4+7ty=5+4tz=−7−5t t∈ℝ
u→1=7;−4;−5
u→2=5;−4;−7
u→3=4;5;−7
u→4=7;4;−5
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→4=7;4;−5Chọn đáp án D
Một hội nghị có 15 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người vào ban tổ chức. Xác suất để 3 người lấy ra là nam:
12
91266
433
111
nΩ=C213=1330
Gọi A là biến cố: “3 người lấy ra là nam”. Khi đó, nA=C153=455Vậy xác suất để 3 người lấy ra là nam là: PA=nAnΩ=1338=91266Chọn đáp án B
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ ?
fx=x3−3x2+3x−4
fx=x2−4x+1
fx=x4−2x2−4
fx=2x−1x+1
Xét các phương án:
A. fx=x3−3x2+3x−4⇒f'x=3x2−6x+3=3x−12≥0 ∀x∈ℝ và dấu bằng xảy ra tại x=1.Do đó hàm số fx=x3−3x2+3x−4 đòng biến trên ℝ
B. fx=x2−4x+1 là hàm bậc hai và luôn có một cực trị nên không đồng biến trên ℝ
C. fx=x4−2x2−4 là hàm trùng phương luôn có ít nhất một cực trị nên không đồng biến trên ℝ
D. fx=2x−1x+1 có D=ℝ\−1 nên không đồng biến trên ℝ
Chọn đáp án A
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x4−10x2+2 trên đoạn −1;2 . Tổng M+m bằng:
-27
-29
-20
-5
y=x4−10x2+2⇒y'=4x3−20x=4xx2−5
y'=0⇔x=0x=5x=−5
Các giá trị x=−5 và x=5 không thuộc đoạn −1;2 nên ta không tính.
Có f−1=−7 ; f0=2 ; f2=−22
Do đó M=max−1;2y=2, m=min−1;2y=−22 nên M+m=−20
Chọn đáp án C
Tập nghiệm của bất phương trình logx≥1 là
10;+∞
0;+∞
10 ; +∞
−∞;10
Ta có: logx≥1⇔x≥10
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 10 ; +∞Chọn đáp án C
Nếu ∫01fxdx=4 thì ∫012fxdx bằng
16
4
2
8
∫012fxdx=2∫01fxdx=2.4=8
Chọn đáp án D
Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức z=1−2i2
15
5
125
15
Ta có z=−3−4i
Suy ra 1z=1−3−4i=−325+425i
Nên z=−3252+4252=15
Chọn đáp án D
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA=2a , tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng
30o
45o
60o
90o
Ta có: SB∩ABC=B; SA⊥ABC tại A⇒Hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng ABC là AB⇒Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC là α=SBA^Do tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a nên AB=AC2=2a=SASuy ra tam giác SAB vuông cân tại ADo đó α=SBA^=45oVậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 45o.Chọn đáp án B
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB=a , AC=a3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng
a5719
2a5719
2a319
2a3819
Từ A kẻ AD⊥BC mà SA⊥ABC⇒SA⊥BC⇒BC⊥SAD⇒SAD⊥SBC mà SAD∩SBC=SD⇒Từ A kẻ AE⊥SD⇒AE⊥SBC⇒dA;SBC=AETrong △ABC vuông tại A ta có: 1AD2=1AB2+1AC2=43a2Trong △SAD vuông tại A ta có: 1AE2=1AS2+1AD2=1912a2⇒AE=2a5719Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I−1; 2; 0 và đi qua điểm A2; −2; 0 là
x+12+y−22+z2=100.
x+12+y−22+z2=5.
x+12+y−22+z2=10.
x+12+y−22+z2=25.
Ta có: R=IA=32+42=5Vậy phương trình mặt cầu có dạng: x+12+y−22+z2=25.Chọn đáp án D
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A1; 2; −3 và B3; −1; 1
x+12=y+2−3=z−34
x−13=y−2−1=z+31
x−31=y+12=z−1−3
x−12=y−2−3=z+34
Ta có AB→=2;−3;4 nên phương trình chính tắc của đường thẳng AB là x−12=y−2−3=z+34
Chọn đáp án D
Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝ có đồ thị y=f'x cho như hình dưới đây. Đặt gx=2fx−x+12. Mệnh đề nào dưới đây đúng
min−3;3gx=g1
max−3;3gx=g1
max−3;3gx=g3
Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của gx .
Ta có gx=2fx−x+12⇒g'x=2f'x−2x+2=0⇔f'x=x+1Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của f'x và y=x+1 trên khoảng −3;3 là x=1Vậy ta so sánh các giá trị g−3, g1, g3
Xét ∫−31g'xdx=2∫−31f'x−x+1dx>0⇔g1−g−3>0⇔g1>g−3Tương tự xét ∫13g'xdx=2∫13f'x−x+1dx<0⇔g3−g1<0⇔g3<g1Xét ∫−33g'xdx=2∫−31f'x−x+1dx+2∫13f'x−x+1dx>0⇔g3−g−3>0⇔g3>g−3. Vậy ta có g1>g3>g−3Vậy max−3;3gx=g1 Chọn đáp án B
Số nghiệm nguyên của bất phương trình 17−122x≥3+8x2 là
3
1
2
4
Ta có 3+8=3−8−1,17−122=3−82
Do đó 17−122x≥3+8x2⇔3−82x≥3+8x2⇔3+8−2x≥3+8x2
⇔−2x≥x2⇔−2≤x≤0
Vì x nhận giá trị nguyên nên x∈−2;−1;0 .Chọn đáp án A
Cho hàm số y=fx=x2+3 khix≥15−x khi x<1. Tính I=2∫0π2fsinxcosxdx+3∫01f3−2xdx
I=716
I=31
I=32
I=323
I=2∫0π2fsinxcosxdx+3∫01f3−2xdx =2∫0π2fsinxdsinx−32∫01f3−2xd3−2x =2∫01fxdx+32∫13fxdx =2∫015−xdx+32∫13x2+3dx =9+22=31
Chọn đáp án B
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1+iz+z¯ là số thuần ảo và z−2i=1?
2
1
0
Vô số
Đặt z=a+bi với a,b∈ℝ ta có: 1+iz+z¯=1+ia+bi+a−bi=2a−b+aiMà 1+iz+z¯ là số thuần ảo nên 2a−b=0⇔b=2aMặt khác z−2i=1 nên a2+b−22=1⇔a2+2a−22=1⇔5a2−8a+3=0⇔a=1⇒b=2a=35⇒b=65Vậy có số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 45°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
V=a32
V=a333
V=a323
V=a326
Ta có: góc giữa đường thẳng SC và ABCD là góc SCA^=45°
⇒SA=AC=a2
Vậy VS.ABCD=13.a2.a2 =a323
Chọn đáp án C
Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH=4m, chiều rộng AB=4m, AC=BD=0,9m. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2.
Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
114455000(đồng)
7368000(đồng)
4077000(đồng)
11370000(đồng)
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh G2;4 và đi qua gốc tọa độ.
Gọi phương trình của parabol là y=ax2+bx+c
Do đó ta có c=0−b2a=222a+2b+c=4⇔a=−1b=4c=0
Nên phương trình parabol là y=f(x)=−x2+4x
Diện tích của cả cổng là S=∫04(−x2+4x)dx=−x33+2x204=323≈10,67(m2)Do vậy chiều cao CF=DE=f0,9=2,79(m)CD=4−2.0,9=2,2mDiện tích hai cánh cổng là SCDEF=CD.CF=6,138≈6,14m2Diện tích phần xiên hoa là Sxh=S−SCDEF=10,67−6,14=4,53(m2)Nên tiền là hai cánh cổng là 6,14.1200000=7368000đvà tiền làm phần xiên hoa là 4,53.900000=4077000đVậy tổng chi phí là 11445000 đồngChọn đáp án A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1:x−3−1=y−3−2=z+21 ;d2:x−5−3=y+12=z−21 và mặt phẳng P:x+2y+3z−5=0 . Đường thẳng vuông góc với P , cắt d1 và d2 có phương trình là
x−21=y−32=z−13
x−31=y−32=z+23
x−11=y+12=z3
x−13=y+12=z1
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. GọiM=Δ∩d1, N=Δ∩d2
Vì M∈d1 nên M3−t ; 3−2t ; −2+t
Vì N∈d2 nên N5−3s ; −1+2s ; 2+s
MN→=2+t−3s ; −4+2t+2s ; 4−t+s, P có một vec tơ pháp tuyến là n→=1 ; 2 ; 3
Vì Δ⊥P nên n→ , MN→ cùng phương, do đó:
2+t−3s1=−4+2t+2s2−4+2t+2s2=4−t+s3⇔s=1t=2⇔M1 ; −1 ; 0 N2 ; 1 ; 3
Δ đi qua M và có một vecto chỉ phương là MN→=1 ; 2 ; 3
Do đó Δ có phương trình chính tắc là x−11=y+12=z3 Chọn đáp án C
Cho hàm số y=fx có đồ thị y=f'x như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số gx=2fx−x−12 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
3
5
6
7
Xét hàm số hx=2fx−x−12, ta có h'x=2f'x−2x−1h'x=0⇔f'x=x−1⇔x=0∨x=1∨x=2∨x=3Lập bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm y=hx có 2 điểm cực trị. Đồ thị hàm số gx=hx nhận có tối đa 5 điểm cực trị Chọn đáp án B
Tập giá trị của x thỏa mãn 2.9x−3.6x6x−4x≤2 x∈ℝ là −∞;a∪b;c. Khi đó a+b+c! bằng
2
0
1
6
Điều kiện: 6x−4x≠0⇔32x≠1⇔x≠0.Khi đó 2.9x−3.6x6x−4x≤2⇔2.322x−3.32x32x−1≤2Đặt t=32x,t>0 ta được bất phương trình 2t2−3tt−1≤2⇔2t2−5t+2t−1≤0 ⇔t<12t>2⇔32x≤121<32x≤2⇔x≤log32120<x≤log322Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: −∞;log3212∪0;log322Suy ra a+b+c=log3212+log322=0.Vậy a+b+c!=1 Chọn đáp án C
Cho hàm số y=x4−3x2+m có đồ thị Cm, với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ
Gọi S1, S2, S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để S1+S3=S2 là
−52
54
−54
52
Gọi x1 là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x4−3x2+m=0, ta có m=−x14+3x12 (1)Vì S1+S3=S2 và S1=S3 nên S2=2S3 hay ∫0x1fxdx=0
Mà ∫0x1fxdx=∫0x1x4−3x2+mdx=x55−x3+mx0x1
=x155−x13+mx1=x1x145−x12+m
Do đó x1x145−x12+m=0⇔x145−x12+m=0 (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình x145−x12−x14+3x12=0
⇔−4x14+10x12=0 ⇔x12=52
Vậy m=−x14+3x12=54
Chọn đáp án B
Cho số phức z thỏa mãn z−1−i+z−3−2i=5. Giá trị lớn nhất của z+2i bằng
10
5
10
210
Gọi z=x+yi, x,y∈ℝKhi đó z−1−i+z−3−2i=5⇔ x−1+y−1i+x−3+y−2i=5Trong đó mặt phẳng Oxy, đặt A1;1; B3;2;Ma;b⇒Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm Ma;b trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn MA+MB=5Mặt khác AB=3−12+2−12=5 nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng .ABTa có z+2i=a+b+2i. Đặt N0;−2 thì z+2i=MNGọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng ABPhương trình AB:x−2y+1=0Ta có H−1;0 nên hai điểm A,B nằm cùng phía đối với HTa có AN=12+32=10BN=32+2+22=5Vì M thuộc đoạn thẳng ABnên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta cóAN≤MN≤BN=5Vậy giá trị lớn nhất của z+2i bằng 5 đạt được khi M≡B3;2, tức là M≡B3;2Chọn đáp án B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−22+y−12+z−12=9 và Mx0;y0;z0∈S sao cho A=x0+2y0+2z0 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó x0+y0+z0 bằng
2
-1
-2
1
Ta có: A=x0+2y0+2z0⇔x0+2y0+2z0−A=0Nên M∈P:x+2y+2z−A=0do đó điểm là điểm chung của mặt cầu S với mặt phẳng P.Mặt cầu S có tâm I2;1;1 và bán kính R=3.Tồn tại điểm M khi và chỉ khi dI,P≤R⇔|6−A|3≤3⇔−3≤A≤15Do đó, với M thuộc mặt cầu S thì A=x0+2y0+2z0≥−3Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của P:x+2y+2z+3=0 với S hay M là hình chiếu của I lên PSuy ra Mx0;y0;z0 thỏa mãn: x0+2y0+2z0+3=0x0=2+ty0=1+2tz0=1+2t⇔t=−1x0=1y0=−1z0=−1Vậy ⇒x0+y0+z0=−1Chọn đáp án B
