Đề số 2
50 câu hỏi
Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại yCD và giá trị cực tiểu yCT của đồ thị hàm số y=x3-2x là:
yCD+yCT=0
yCT=2yCD
yCT=yCD
2yCT=3yCD
Đáp án A
Xét hàm số y=x3-2x, ta có y'=3x2-2; y''=6x
Phương trình
y'=0⇔x2=23⇔x=±63⇒yCT=-469yCD=469⇒yCT+yCD=0
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tỉ số thể tích giữa khối chóp S.ABCD và S.AOB là:
12
14
4
2
Đáp án C
Ta có: SAOB=14SABCD
Do đó VS.ABCDVS.AOB=SABCD.SHSAOB.SH=4
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 13x+1-3>0
S=-∞;-2
S=-1;+∞
S=1;+∞
S=-2;+∞
Đáp án A
3-x-1>31→3>1-x-1>1⇔x<-2
Cho hàm số y=x4-x2-12 có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của (C) và trục hoành
0
3
2
4
Đáp án C
x4-x2-12=0⇔[x2=4x2=3 (VN)→2nghiệm ứng với 2 giao điểm.
Tìm tập nghiệm của phương trình log2x-2+log2x+1=2
S=-2;3
S=3
S=1-172;1+172
S=∅
Đáp án B
log2x-2+log2x+1=2⇔log2x-2x+1=log24⇔x2-x-6=0⇔[x=3x=-2
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;-1). Ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 có tọa độ là:
A'4;2
A'4;-2
A'2;1
A'-4;-2
Đáp án B
Ta có: VO;k=2(A)=A'⇒OA'→=2OA→⇔xA'=4yA'=-2. Vậy A'4;-2
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
IJ//AB
IJ//DC
IJ//BD
IJ//AC
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của AB
Tam giác ABC có trọng tâm I suy ra MIMC=13
Tam giác ABC có trọng tâm J suy ra MJMD=13
Khi đó MIMC=MJMD⇒IJ//CD (định lí Talet)
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2a và độ dài đường sinh l=5a2. Diện tích toàn phần của hình nón bằng
10πa2
11πa2
3πa2
9πa2
Đáp án D
Stp=Sxq+Sday=π.R.l+π.R2=π5a2+4a2=9πa2
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
2
3
1
2
Đáp án A
Đồ thị hàm số tiệm cận đứng x = -2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , SD tạo với mặt phẳng (SAC) một góc bằng 30°. Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
V=6a36
V=a33
V=6a32
V=a36
Đáp án A
Gọi O=AC∩BD⇒SD;SAC^=SD;SO^=DSO^=30°
Ta có OD=a22⇒SO=a62⇒V=13SO.SABCD=a366
Cho hình chóp S.ABC có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (SBC) là:
CN
SC
MN
CM
Đáp án A
Ta có CN⊂CMNCN⊂SBC⇒CMN∩SBC=CN.
Hàm số y=2sinx+11-cosx xác định khi:
x≠π2+k2π
x≠π2+kπ
x≠k2π
x≠kπ
Đáp án C
Điều kiện 1-cosx≠0⇔cosx≠1⇔x≠k2π
Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được lập thành từ 6 chữ số đó?
36
18
216
256
Đáp án C
Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc, trong đó a,b,c∈2;3;4;5;6;7
Chọn a có 6 cách, chọn b có 6 cách, chọn c có 6 cách
Số các số có 3 chữ số được lập thành là 6.6.6 = 216 (số)
Phương trình sinx-m=0 vô nghiệm khi m là:
-1≤m≤1
[m<-1m>1
m < -1
m > 1
Đáp án A
Phương trình đã cho ⇔sinx=m. Để phương trình đã cho có nghiệm thì -1≤m≤1
Cho hai mặt phẳng (P)và (Q)song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
d⊂(P) và d'⊂Q thì d//d'
Mọi đường thẳng đi qua điểm A∈(P) và song song với (Q) đều nằm trong (P)
Nếu đường thẳng a⊂(Q) thì a // (P)
Nếu đường thẳng ∆ cắt (P) thì ∆ cũng cắt (Q)
Đáp án A
Hai đường thẳng d và d’ có thể chéo nhau.
Phương trình cosx=32 có nghiệm thỏa mãn 0≤x≤π là:
x=π3+k2π
x=π6+k2π
x=π3
x=π6
Đáp án D
Ta có: ⇔cosx=32⇔x=±π6+k2π, k∈ℤ. Vì 0≤x≤π nên x=π6.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, SA vuông góc với đáy ABC. Khẳng định nào dưới đây sai?
SA⊥BC
SB⊥AC
SA⊥AB
SB⊥BC
Đáp án B
Ta có: SA⊥ABC⇒SA⊥BC mà AB⊥BC⇒BC⊥SAB⇒BC⊥SB
Điều kiện để phương trình 3sinx+mcosx=5 vô nghiệm là:
m > 4
m < -4
-4 < m < 4
[m≤-4m≥4
Đáp án C
Để phương trình vô nghiệm thì 32+m2<52⇔m2<16⇔-4≤m≤4.
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = a. Mặt cầu đi qua các đỉnh có bán kính r bằng:
12a2+b2+c2
2a2+b2+c2
2a+b+c3
a2+b2+c2
Đáp án A
Tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm cạnh BC. Ta có:
r=BC2=b2+c22⇒R=SA22+r2=a24+b2+c24=12a2+b2+c2
Cho hàm số y=2x+3x+2 có đồ thị (C) và đường thẳng d ; y = x + m. Với giá trị nào của tham số m thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt?
m < -2
m < 2 hoặc m > 6
2 < m < 6
m < -6
Đáp án B
2x+3x+2=x+m⇔2x+3=x2+mx+2x+2m⇔fx=x2+mx+2m-3=0 (1)
Rõ ràng f-2≠0, ∀m nên ta cần có ∆>0⇔m2-42m-3>0⇔[m>6m<2.
Tìm tất cả các giá trị của a sao cho lima.2n-3a+2n+1=1
a = 1
a = 2
a = -3
a≠0
Đáp án B
Ta có lima.2n-3a+2n+1=lima.2n-3a+2.2n=lima-32n2+a2n=a2=1⇒a=2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
Đáp án D
Tập giá trị của hàm số y=sin2x+3 là:
[2;3]
[-2;3]
[2;4]
[0;1]
Đáp án C
Vì -1≤sin2x≤1⇒-1+3≤sin2x+3≤1+3⇔2≤y≤4. Vậy tập giá trị là [2;4]
Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?
y = cot 4x
y = cos 3x
y = tan 5x
y = sin 2x
Đáp án B
Xét hàm số y = cot 4x
TXĐ: D=ℝ\kπ4⇒-x∈D Hơn nữa: cot(-4x)=cos-4xsin-4x=cos4x-sin4x=-cot4x⇒ hàm lẻ.
Xét hàm số y = cos 3x
TXĐ: D=ℝ⇒-x∈D. Hơn nữa cos-3x=cos3x⇒ hàm số chẵn.
Xét hàm số y = tan 5x. Ta có tan(-5x)=-tan5x⇒ hàm số không chẵn.
Xét hàm số y = sin 2x. Ta có sin(-2x)=-sin2x⇒ hàm số không chẵn.
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;-2). Tọa độ ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v→(3;-2) là:
M'(-2;4)
M'(4;-4)
M'(4;4)
M'(-2;0)
Đáp án B
Ta có: Tv→(M)=M'=MM'→=v→⇔xM'-1=3yM'+2=-2⇔xM'=4yM'=-4. Vậy M'(4;-4)
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a3. Tính thể tích V của khối chóp đó theo a:
V=a323
V=a336
V=a3106
V=a32
Đáp án C
Ta có:Sd=a2 đường cao h=3a2-a222=a102⇒V=13Sd.h=a3106
Một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:
210
410
510
310
Đáp án D
Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu trong 5 quả cầu có C52=10 cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)=10
Gọi X là biến cố “lấy được cả hai quả cầu trắng”
Lấy 2 quả cầu trắng trong 3 quả cầu trắng có C32 cách ⇒nX=C32=3
Vậy xác suất cần tính là P=n(X)n(Ω)=310.
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a≠1,a≠b và logab=2. TínhP=logbaab .
P=1-222-1
P=1+222+1
P=1-222+1
P=1+222-1
Đáp án A
Ta có P=12.1-logablogab-12=1-222-1.
Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y=13m-2x3+m-2x2-2x+4 nghịch biến trên khoảng ?
0
3
1
2
Đáp án D
Ta có: y'=m-2x2+2m-2x-2. Với m=2⇒y'=-2<0 nên thỏa mãn.
Với m≠2 ta có để y'≤0⇔m-2>0∆'<0⇔m<2(m-2)2+2(m-2)<0⇒0<m<2
Hợp hai trường hợp suy ra 0<m≤2⇒m=1;m=2.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là điểm trên đường chéo CA' sao cho MC→=-3MA'→. Tính tỉ số giữa thể tích V1 của khối chóp M.ABCD và thể tích V2 của khối lập phương.
V1V2=13
V1V2=34
V1V2=19
V1V2=14
Đáp án D
Ta có V1=13.3a4.a2=a34;V2=a3⇒V1V2=14.
Cho logba=x;logbc=y. Hãy biểu diễn loga2b5c43theo x và y:
5+4y6x
20y3x
5+3y43x2
2x+20y3
Đáp án A
Ta có loga2b5c43=12logab5c413=12logab53c43=12logab53+12logac43=56logab+46logac
=56.1logba+4logbc6logba=56x+4y6x=5+4y6x
Cho khối tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 60°. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a:
V=a38
V=a3316
V=a328
V=a3212
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của BC khi đó DM⊥BCAM⊥BC
Suy ra BC⊥(DMA)⇒DBC;ABC^=60°
Lại có DM=AM=a32
Dựng DH⊥AM⇒DH⊥(ABC)
Khi đó VABCD=13DH.SABC=13DM.sin60°.a234=a2316.
Cho các số thực a,b thỏa mãn a > b > 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
logab>logba
logab<logba
lna>lnb
log12(ab)<0
Đáp án A
Cho a = 4; b = 2 ta có: logab=12;logba=2 nên A sai.
Các thành phố A,B,C,D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
10
9
24
18
Đáp án C
Số cách đi từ A đến B là 4, số cách đi từ B đến C là 2, số cách đi từ C đến D là 3.
Số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là: 4.2.3 = 24 (cách)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Gọi M là trung điểm A'B' là trung điểm. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN
V=a33
V=a312
V=a36
V=a32
Đáp án C
Ta có: SNAD=12dN;AD.AD=12a2
dM;ABCD=AA'=a
Do đó VM.ADN=13.AA'.SNAD=a36.
Xét một phép thử có không gian mẫu Ω và A là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai?
P(A) = 0 khi và chỉ khi A là chắc chắn
0≤PA≤1
Xác suất của biến cố A là sốPA=nAnΩ
PA=1-PA
Đáp án A
Các phát biểu B, C và D là đúng; phát biểu A là sai
Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB,AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I. Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sau đây:
(ACD)
(CMN)
(BCD)
(ABD)
Đáp án A
Điểm I không thuộc mặt phẳng (ACD) (hình vẽ)
Hàm số y=2cosx+sinx+π4 đạt giá trị lớn nhất là
5+22
5-22
5-22
5+22
Đáp án D
Ta có: y=2cosx+22sinx+cosx=22.sinx+4+22.cosx
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có
22.sinx+4+22.cosx2≤222+4+222.sin2x+cos2x=5+22
Suy ra y2≤5+22⇔y≤5+22. Vậy ymax=5+22.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có cạnh đáy AB và CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. G là trọng tâm của tam giác SAB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (IJG) là một tứ giác. Tìm điều kiện của AB,CD để thiết diện đó là hình bình hành?
AB = 3CD
AB = 2CD
CD = 2AB
CD = 3AB
Đáp án A
Qua G kẻ đường thẳng d song song với AB và cắt SA, SB lần lượt tại hai điểm Q, P. Vì MN là đường trung bình của ABCD⇒MN//AB
Do đó MN//PQ. Vậy giao tuyến của mặt phẳng (MNG) và (SAB) là PQ.
Mặt phẳng (MNG) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNPQ
Vì MN//PQ suy ra MNPQ là hình thang
Để MNPQ là hình bình hành ⇔MN=PQ (1)
Gọi I là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác SAB⇒SGSI=23
Tam giác SAB có PQ//AB⇒PQAB=SGSI=23⇔PQ=23AB (2)
Mà MN là đường trung bình hình thang ABCD⇒MN=AB+CD2 (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra 23AB=AB+CD2⇔4AB=3AB+3CD⇔AB=3CD.
Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng
3+23πR23
3+23πR22
3+22πR22
3+22πR23
Đáp án B
Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình trụ.
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là R2=r2+h24
Theo bài ra, ta có h = R nên suy ra R2=r2+h24⇔r2=3R24⇔r=R32
Diện tích toàn phần hình trụ là:
Stp=2πr2+2πrh=2πrr+h=2π.R32.R32+R=3+23πR22.
Khi tính giới hạn limx→-∞x2-x+2x3-4x ta được kết quả là một phân số tối giản ab,a∈ℤ,b∈ℤ,b≠0 . Tính a + b?
a + b = 5
a + b = 7
a + b = -1
a + b = -3
Đáp án A
Đặt x=-t⇒L=limx→+∞t2+t-2t3-4t=limx→+∞1+1t-23t-4=1-2-4=14
Cho hàm số fx=x-1+x khi x≥1m3-3m+3x khi x<1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên ℝ?
m=1;m=-2
m=1;m=2
m=-1;m=-2
m=1;m=2
Đáp án A
Ta có: limx→1+fx=limx→1+x-1+xlimx→1-fx=limx→1-m3-3m+3x=m3-3m+3⇒m3-3m+3=1⇒[m=1m=-2.
Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f '(x) là đường cong trong vẽ dưới đây.Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
f(x)đồng biến trên khoảng (1;2)
f(x)nghịch biến trên khoảng (0;2)
f(x)đồng biến trên khoảng (-2;1)
f(x)nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Đáp án B
Dựa vào đồ thị hàm số f ' (x) ta thấy f'x<0⇔[x<-20<x<2và f'(x)>0⇔[x>2-2<x<0.
Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)
Gọi a, b, c là ba số thực khác 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện 3a=5b=15-c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a2+b2+c2-4a+b+c
-3-log53
-4
-2-3
-2-log53
Đáp án B
3a=5b=13c5c⇔alog315=blog315=-clog1515⇔a1+log35=b1+log53=-c
Đặt t=log35⇒a=-c1+tb=-c1+1t=at⇒a=-c1+ab⇔ab+bc+ca=0
⇒P=a+b+c2-4a+b+c≥-4. Dấu bằng khi a+b+c=2ab+bc+ca=0, chẳng hạn a = 2,b = c = 0.
Cho tam giác ABC có AB = 3,BC = 5,CA = 7. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra là do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AB:
50π
75π4
275π8
125π8
Đáp án B
Ta có cosABC⏜=BA2+BC2-AC22BA.BC=-12
⇒ABC⏜=120°⇒CBH⏜=60°
Suy ra CH=BCsin60°=532
Khi quay tam giác quay AB ta được khối có thể tích là
V=VN1-VN2=13πCH2.AH-13πCH2.BH
(Trong đó VN1;VN2 lần lượt là thể tích khối nón tạo thành khi quay các tam giác CBH và CAH quanh AB)
13πCH2.AH-BH=13πCH2.AB=754π t=2x>1.
Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 3m+1.12x+2-m6x+3x<0 có nghiệm đúng với mọi x > 0 là:
m > -2
m < -2
m<13
-2<m<13
Đáp án B
Đặt t=2x>1
PT⇔3m+1.4x+2-m2x+1<0⇔m3t2-t+t+12<0⇔m<-t2+2t+13t2-t=f(t)
Xét hàm f(x)=-t2+2t+13t2-t trên khoảng 1;+∞⇒f't=t+11-7t3t2-t2>0 với t∈1;+∞
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra m < -2.
Cho khối hộpABCD.A'B'C'D' Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB'D') chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
512
717
724
517
Đáp án B
Dựng MN//BD//B'D'
Chia thể tích khối A'B'D'.AMN thành 3 khối chóp
Ta có: VA'B'D'.AMN=VN.A'B'D'+VN.A'B'M'+VA'.AMN
=12VN.A'B'C'D'+12VD.A'B'M+14VA'.ABD
=16V+12VD'.A'B'M+124V=16V+112V+124V=724V
Do đó tỷ số thể tích 2 phần là V1V2=717
Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S=A.eNr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?
(1.281.600;1.281.700)
(1.281.800;1.281.900)
(1.281.900;1.282.000)
(1.281.700;1.281.800)
Đáp án D
Từ 2010 đến đầu năm 2015 ta có 1.153.600=1.038.229×e5r⇒r=0,021
Từ 2010 đến đầu năm 2020, số dân tương ứng: 1.038.229×e10r=1.281.791.
Phần không gian bên trong của chai rượu có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng R = 4,5 cm bán kính cổ r = 1,5cm,AB = 4,5 cm, BC = 6,5cm, CD = 20cm. Thể tích phần không gian bên trong của chai rượu đó bằng:
3321π8cm3
7695π16cm3
957π2cm3
478πcm3
Đáp án C
Gọi V là thể tích phần không gian bên trong của chai rượu.
Ta có: V1=π.r2.AB=π.1,52.4,5=818π
V2=π.BC3R2+r2+Rr=π.6,53.4,52+1,52+4,5.1,5=5078π
V3=πR2.CD=π.4,52.20=405π⇒V=V1+V2+V3=957π2
Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Ông A gửi số tiền ban đầu là 10 triệu đồng với lãi suất 0,5%/tháng, chưa đầy nửa năm thì lãi suất tăng lên 1%/tháng trong vòng một quý (3 tháng) và sau đó lãi suất lại thay đổi xuống còn 0,8%/tháng. Ông A tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi rút cả vốn lẫn lãi được 10937826,46912 đồng (chưa làm tròn). Hỏi ông A đã gửi tổng là bao nhiêu tháng? ( Biết rằng kỳ hạn là một tháng, lãi suất nếu có thay đổi chỉ thay đổi sau khi hết tháng và trong quá trình gửi ông A không rút đồng nào, tiền lãi của mỗi tháng được cộng vào tiền gốc của tháng sau).
12 tháng
13 tháng
9 tháng
10 tháng
Đáp án A
Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,5%/tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,8%/tháng.
Khi đó tổng số tháng mà ông A gửi tiền vào ngân hàng là a + x + 3 tháng.
Suy ra số tiền ông A rút được cả vốn lẫn lãi là
10 000 000×1,005a×1,013×1,008x=10 937 826,469
⇔1,008x=10 937 826,46910 000 000×1,005a×1,013⇔x=log1,00810 937 826,46910 000 000×1,005a×1,013
Chọn a=1→6 ta thấy tại a = 4 thì x = 5. Vậy số tháng mà ông A phải gửi 4 + 3 +5 = 12 tháng.
