Đề số 14
50 câu hỏi
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {x^4} - 4{x^2} + 5\)trên đoạn \([ - 2;3]\)bằng:
5
50
1
122
Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right).\)
Giải f'(x)=0⇔[x=0∈[−2;3]x=2∈[−2;3]x=−2∈[−2;3]
Tính f(0)=5;f(2)=1;f(−2)=1;f(−2)=5;f(3)=50.
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = 50 = f\left( 3 \right).\)
Đáp án B
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c(a,b,c \in R)\)có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?
3
2.
1
0
Từ đồ thị ta có hàm số có ba điểm cực trị.
Đáp án A
Hàm số \(y = {2^{{x^2} - x}}\) có đạo hàm là
\({2^{{x^2} - x}}.\ln 2\).
\((2x - 1){.2^{{x^2} - x}}.\ln 2\).
\(({x^2} - x){.2^{{x^2} - x - 1}}\).
\((2x - 1){.2^{{x^2} - x}}\).
Do \(\left( {{a^u}} \right)' = u'.{a^u}\ln a\) nên chọn B.
Tìm tập xác định \[D\] của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\).
\(D = \left( {1;3} \right)\)
\(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
\(D = \left( { - \infty ;2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
\(D = \left( {2 - \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {3;2 + \sqrt 2 } \right)\)
Hàm số xác định
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x >3\end{array} \right..\)</>
Vậy \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)
Đáp án B
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
6.
12.
11.
10.
Từ hình vẽ, ta thấy hình đa diện trên có 12 mặt.
Đáp án B
Khối lập phương cạnh \(2a\) có thể tích là:
\({a^2}\).
\(8{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(4{a^2}\).
Thể tích khối lập phương là \(V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}.\)
Đáp án B
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\):
\( - 2 \le m \le 2\).
\(m = 2\).
\(\left[ \begin{array}{l}m >2\\m < - 2\end{array} \right.\).
\( - 2 < m < 2\).
Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 4 >0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0\\ \Leftrightarrow - 2 < m < 2\end{array}\)
Đáp án D
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B = 6{a^2}\) và chiều cao \(h = 2a\). Thể tích khối chóp đã cho bằng:
\(2{a^3}\).
\(4{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(12{a^3}\).
Thể tích của khối chóp là: \[V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.6{a^2}.2a = 4{a^3}\]
Đáp án B
Cho hàm số \(f(x)\)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
\((0;1)\)
(−1;0)
\(( - 1;1)\)
\((1; + \infty )\)
Nhìn vào BBT ta dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0,1)
Đáp án A
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là
\(x = 1\).
y=1
\(y = 0\).
\(y = 2\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\) nên tiệm cận ngang của hàm số là \(y = 1\)
Vậy đáp án là B.
Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 2;0)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng\(( - \infty ;0)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2)\)
Nhìn vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy \(y' < 0\) trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right),\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right).\) Vậy đáp án B.
Cho hàm số \(f(x)\)có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(f(x) - 1 = 0\)là
2
0
4
3
Phương trình \(f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1.\)
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) - 1 = 0\) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình \(f\left( x \right) - 1 = 0\) có 4 nghiệm thực.
Đáp án C
Số cạnh của một bát diện đều là:
10.
8.
6.
12.
Số cạnh của một bát diện đều là: 12.
Đáp án D
Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hsố y=2x+1x+m đi qua điểm M(2 ; 3) là.
– 2
2
3
0
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + m}}\) có đường tiệm cận đứng là \(x = - m.\)
Đường tiệm cận đứng đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right) \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2.\)
Đáp án A
Xác định \(a,\,b\) để hàm số y=ax−1x+b có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
a=1, b=−1
\(a = - 1,\,\,b = 1\).
\(a = 1,\,\,b = 1\).
\(a = - 1,\,\,b = - 1.\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{x + b}}\) có đường tiệm cận đứng là \(x = - b\) và đường tiệm cận ngang là \(y = a.\)
Theo đồ thị, ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - b = - 1\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right..\)
Đáp án C
Một khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 6 \). Thể tích khối lập phương đó là:
\(V = 2\sqrt 2 {a^3}\).
\(V = 3\sqrt 3 {a^3}\).
\(V = 6\sqrt 6 {a^3}\).
\(V = 64{a^3}\).
Gọi cạnh của hình lập phương là \(x\left( {x >0} \right).\)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {{x^2} + {x^2}} = x\sqrt 2 .\)
Xét tam giác \(A'AC\) là tam giác vuông tại \(A\) có:
\(A'C = \sqrt {A{C^2} + A'{A^2}} = \sqrt {2{x^2} + {x^2}} = x\sqrt 3 \)
Theo bài ra ta có: \(x\sqrt 3 = a\sqrt 6 \Rightarrow x = a\sqrt 2 .\)
Thể tích của khối lập phương bằng \(V = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^3} = 2\sqrt 2 {a^3}.\)
Đáp án A
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{x - 1}}\). Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
\(( - \infty ;1)\)
\((1; + \infty )\)
\(( - \infty ;1)\)và \((1; + \infty )\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( { - 1} \right) - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1.\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Đáp án D
Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số có bốn điểm cực trị.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\)
Hàm số không có cực đại.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 5\)
Xét đáp án A hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại vì vậy có hai điểm cực trị nên đáp án A là đáp án sai.
Xét đáp án B hàm số đạt điểm cực tiểu tại \(x = 2,\) giá trị cực đại là \(y = - 5\) nên đáp án B là đáp án đúng, chọn đáp án B.
Xét đáp án C sai nên loại.
Xét đáp án D sai nên loại.
Đáp án B
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 2}}\)trên đoạn [3;5] bằng
\(3\).
\( - 2\).
5.
\(7\).
Ta có: \(y' = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2.\)
Hàm số luôn nghịch biến trên đoạn \(\left[ {3;5} \right]\) và \(f\left( 3 \right) = 7,f\left( 5 \right) = 3.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ {3;5} \right]\) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 7\) tại \(x = 3\) nên chọn đáp án D.
Rút gọn biểu thức \({a^{\frac{3}{2}}}.{a^3}\) ta được:
a12
a92
a94
\({a^4}\).
Ta có \({a^{\frac{3}{2}}}.{a^3} = {a^{\frac{3}{2} + 2}} = {a^{\frac{9}{2}}}.\)
Đáp án B
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
\(y = {x^3} - 3x + 1\)
\(y = - {x^3} + 3x + 1\)
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\)
y=−x4+2x2+1
Dựa vào đồ thị hàm số thấy đây là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số \(a < 0.\) Do đó chọn đáp án B.
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
\(4{a^3}\)
\(\frac{4}{3}{a^3}\)
\(2{a^3}\)
\(\frac{2}{3}{a^3}\)
Vì đáy là hình vuông cạnh \(a\) nên diện tích của đáy là \(S = {a^2}.\)
Thể tích của khối chóp đã cho là \(V = \frac{1}{3}.h.S = \frac{1}{3}.2a.{a^2} = \frac{2}{3}{a^3}.\)
Đáp án D
Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng?
2
3.
0
-4
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = 3\) do đó hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\) và giá trị cực tiểu là \({y_{CT}} = y\left( 3 \right) = - 4.\)
Đáp án D
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
(2; +∞)
\((0;1)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {1; + \infty } \right).\)
\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Đáp án C
Cho hàm số \(f(x)\)có đạo hàm \[f'(x) = (x - 1){(x + 2)^2},\forall x \in R\]. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
3
1
0
2
Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right..\) Do \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) cho nên dấu \(f'\left( x \right)\) phụ thuộc vào biểu thức \(x + 1\) và \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần. Hàm số \(f\left( x \right)\) có một cực trị.
Đáp án B
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với , \(BC = 4a\), \(SA = 12a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).
\(R = \frac{{13a}}{2}\)
\(R = 6a\)
\(R = \frac{{5a}}{2}\)
\(R = \frac{{17a}}{2}\)
* Gọi \(O\)là tâm của hình chữ nhật \(ABCD.\) Dựng đường thẳng \(Ox\) vuông góc mặt phẳng đáy, ta có \(Ox//SA \Rightarrow Ox \cap SC = I.\) Dễ thấy, \(I\) là trung điểm của \(SC,\) cách đều các đỉnh \(S,A,C\) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD,\) ta có \(R = \frac{{SC}}{2}.\)
* Xét tam giác \(ABC:AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a.\)
Xét tam giác \(SAC:SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {144{a^2} + 25{a^2}} = 13a.\)
Vậy \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{13a}}{2}.\)
Đáp án A
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3\) đạt cực đại tại \(x = 3\)?
\(m = 1\)
В.\(m = - 1\)
m=−7
\(m = 5\)
Ta có y'=x2−2mx+m2−4,y"=2x−2m.
Vì \(x = 3\) là điểm cực đại của hàm số nên \(y'\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right..\)
* Khi \(m = 1,\) ta có y"(3)=4>0⇒x=3 là điểm cực tiểu, không thỏa mãn.
* Khi \(m = 5,\) ta có y"(3)=6−10=−4<0⇒x=3 là điểm cực tiểu, thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án B
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 9} - 3}}{{{x^2} + x}}\)là:
3
2
0
1
* Xét \({x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right..\)
* Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9} - 3}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 3} \right)}}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 3} \right)}} = \frac{1}{6}.\) Đường thẳng \(x = 0\) không phải là tiệm cận đứng.
* Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9} - 3}}{{{x^2} + x}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 9} - 3}}{{{x^2} + x}} = - \infty .\) Đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số trên có một tiệm cận đứng.
Đáp án D
Gọi \({x_1};{x_2}\) là \(2\) nghiệm của phương trình \({4^{{x^2} - x}} + {2^{{x^2} - x + 1}} = 3\).Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)
3.
0.
2.
\(1\)
Ta có
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{\({4^{{x^2} - x}} + {2^{{x^2} - x + 1}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{x^2} - x}}} \right)^2} + {2.2^{{x^2} - x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{x^2} - x}}} \right)^2} + {2.2^{{x^2} - x}} - 3 = 0\)l}{2^{{x^2} - x}} = 1\\{2^{{x^2} - x}} = - 3\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 1 \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1.\)
Đáp án D
Tồn tại bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\).
\(3\).
\(4\).
\(2\).
Vô số.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.\)
Ta có \(y' = \frac{{ - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}.\)
Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\m \notin \left( { - \infty ; - 1} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 2 >0\\m \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 2.\) Mặt khác \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}.\)
Đáp án A
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng(2; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Ta có \(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Đáp án C
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \(3\pi {a^2}\)và có bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng:
\[3a\]
2a
\(\frac{{3a}}{2}\)
\(2\sqrt 2 a\)
Ta có \({S_{xq}} = \pi Rl = 3\pi {a^2}.\) Thay \(R = a.\)
Suy ra \(l = 3a.\)
![Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \(3\pi {a^2}\)và có bán kính đáy bằng \[\]. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578971/1649579146-image27.png)
Đáp án A
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^2x - \left( {m + 2} \right).{\log _3}x + 3m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1}.{x_2} = 27\).
m=143
m=25
m=283
m=1
Điều kiện: \(x >0\)
Đặt \(l{o_3}x = t \Rightarrow x = {3^t}\)
Khi đó ta có phương trình: \({t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 3m - 1 = 0\left( * \right)\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \(t\) phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta >0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) >0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 12m + 4 >0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 8 >0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >4 + 2\sqrt 2 \\m < 4 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Với \(\left[ \begin{array}{l}m >4 + 2\sqrt 2 \\m < 4 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) có hai nghiệm phân biệt \({t_1};{t_2}\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) với \({x_1} = {3^{{t_2}}},{x_2} = {3^{{t_1}}}\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = m + 2\\{t_1}{t_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \({x_1}{x_2} = 27 \Leftrightarrow {3^{{t_1}}}{.3^{{t_2}}} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = 27 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 3 \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\left( {tm} \right).\)
Đáp án D
Cho một hình nón có bán kính đáy bằng \[a\] và góc ở đỉnh bằng \[60^\circ \]. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Sxq=4πa2
\[{S_{xq}} = \frac{{2\sqrt 3 \pi {a^2}}}{3}\]
\[{S_{xq}} = \frac{{4\sqrt 3 \pi {a^2}}}{3}\]
\[{S_{xq}} = 2\pi {a^2}\].\[{S_{xq}} = 4\pi {a^2}\]
Ta có hình vẽ của hình nón đã cho như hình
![Cho một hình nón có bán kính đáy bằng \[a\]và góc ở đỉnh bằng \[60^\circ \]. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/blobid0-1649582926.png)
Gọi \(H\) là tâm của đường tròn đáy và là trung điểm của \(AB.\)
Góc ở đỉnh bằng \({60^0}\) nên \( \Rightarrow \widehat {BSA} = {60^0} \Rightarrow \Delta SAB\) đều \( \Rightarrow l = 2R = 2a.\)
Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi a.2a = 2\pi {a^2}.\)
Đáp án D
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bao nhiêu điểm cực trị ?
2.
3.
0.
1.
Ta có: \(f'\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right),a >0\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\) là các nghiệm đơn
Mặt khác dựa vào đồ thị \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua các nghiệm \(\left\{ { - 1;1;4} \right\}\) nên hàm số đã cho có 3 cực trị
Đáp án B
Phương trình log3(3x−2)=3 có nghiệm là
x=1
x=87
x=293
\(x = \frac{{11}}{3}\).
Điều kiện: \(x >\frac{2}{3}\)
Phương trình đã cho tương đương: \(3x - 2 = {3^3} \Leftrightarrow x = \frac{{29}}{3}.\)
Đáp án C
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình sau:
Đồ thị hàm số \(g(x) = \frac{{2020}}{{2f(x) + 1}}\) có số đường tiệm cận đứng là:
2.
3.
4.
5.
Ta có \(2f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{2}.\)
Từ đồ thị ta có phương trình này có 4 nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}.\)
Xét giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_i}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_i}} \frac{{2020}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \infty \) do đó \(x = {x_i}\left( {i = 1,2,3,4} \right)\) đều là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{{2020}}{{2f\left( x \right) + 1}}.\)
Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{{2020}}{{2f\left( x \right) + 1}}\) có 4 đường tiệm cận đứng.
Đáp án C
Biết \[{4^x} + {4^{ - x}} = 23\] tính giá trị của biểu thức P=2x+2−x:
\(25\).
\[\sqrt {27} \].
\(\sqrt {23} \).
\(5\).
Ta có \({P^2} = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {4^x} + {4^{ - x}} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 25\) do đó \(P = 5.\)
Vậy \(P = {2^x} + {2^{ - x}} = 5.\)
Đáp án D
Cho phương trình \[{\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {5x - 1} \right) = - {\log _3}m\] (Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \[m\] để phương trình đã cho có nghiệm?
4
6.
Vô số.
5.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} >0\\5x - 1 >0\\m >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x >\frac{1}{5}\\m >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >\frac{1}{5}\\m >0\end{array} \right.\)
Ta có:
\({\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {5x - 1} \right) = - {\log _3}m\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.{\log _3}x + {\log _3}m = {\log _3}\left( {5x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {mx} \right) = {\log _3}\left( {5x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow mx = 5x - 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)x + 1 = 0\)
Xét \(m = 5,\) phương trình vô nghiệm nên loại \(m = 5.\)
Xét \(m \ne 5,\) phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - 1}}{{m - 5}}.\)
Dựa vào điều kiện ta được \(\frac{{ - 1}}{{m - 5}} >\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{m - 5}} - \frac{1}{5} >0 \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{{m - 5}} >0 \Leftrightarrow 0 < m < 5.\)
Khi đó \(m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}.\)
Đáp án A
Thể tích của khối cầu bán kính \(R\) bằng
\(\frac{3}{4}\pi {R^3}\)
43πR3
4πR3
\(2\pi {R^3}\)
Công thức tính thể tích khối cầu có bán kính
\(R\) là \(\frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Đáp án B
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l\) bằng
\(4\pi rl\)
\(2\pi rl\)
43πrl
πrl
Đáp án B
Cho hình chóp SABCD có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại A và D. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,\(AB = 2a\), cạnh \(SC\) hợp với đáy một góc \({30^0}\).Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo a?
\[\frac{{{a^3}}}{3}\].
\[\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\].
a363
\[\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\].
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {\widehat {SC;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC;AC}} \right) = \widehat {SCA}.\)
Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .\)
Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(SA = AC.\tan \left( {{{30}^0}} \right) = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2}AB.DA = \frac{1}{2}.2a.a = {a^2}\)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}.\)
Đáp án D.
Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a < 0,{\rm{ }}b >0,{\rm{ }}c >0.\)
\(a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c >0.\)
a<0, b>0, c<0.
\(a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0.\)
Dựa vào dáng đồ thị ta có \(a < 0,\) dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung ta có \(c < 0.\)
\(y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\) dựa vào đồ thị ta có \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt suy ra \( - b < 0 \Rightarrow b >0.\)</>
Đáp án C
Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng \(36\pi {a^2}\). Tính thể tích \(V\) của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
\(27\sqrt 3 {a^3}\).
\(24\sqrt 3 {a^3}\).
\(36\sqrt 3 {a^3}\).
\(81\sqrt 3 {a^3}\).
Ta có \({S_{xq}} = 2\pi rl = 36\pi {a^2} \Rightarrow rl = 18{a^2}\) mà thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên \(l = 2r.\) Do đó \(r = 3a,l = 6a.\)
Gọi \(S\) là diện tích lục giác đều nội tiếp đường tròn đáy.
Ta có \(S = 6.\frac{{{{\left( {3a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
\(V = Bh = \frac{{27{a^2}\sqrt 3 }}{2}.6a = 81{a^3}\sqrt 3 .\)
Đáp án D
Một vật chuyển động theo quy luật \(S = - {t^3} + 9{t^2} + t + 10\), với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(S\) (mét) là quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động tại thời điểm \(t\) bằng bao nhiêu giây thì vật đạt vận tốc lớn nhất?
\[t = 3s\].
t=6s.
\[t = 5s\].
\[t = 2s\].
\(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - 3{t^2} + 18t + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;12} \right].\)
Bảng biến thiên:
Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất theo dữ kiện của bài là: \(t = 3s.\)
Đáp án A
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình dưới:
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 4{\rm{x}} + 1} \right)\)là:
1.
5.
3.
2.
Xét hàm số: \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\)
\(y' = g'\left( x \right) = \left( {2x - 4} \right)f'\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\f'\left( {{x^2} - 4x + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\{x^2} - 4x + 1 = - 1\\{x^2} - 4x + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + 2 = 0\\{x^2} - 4x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2 + \sqrt 2 \\x = 2 - \sqrt 2 \\x = 2 + \sqrt 6 \\x = 2 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Suy ra \(g'\left( x \right)\) bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số \(y = f'\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\) có 5 điểm cực trị.
Đáp án B
Cho hàm số y=−x3−mx2+(4m+9)x+5, với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R?
6.
4.
7.
5.
Ta có \(y' = - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9.\)
Để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9 \le 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 3\left( {4m + 9} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 9 \le m \le - 3.\)
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 3} \right\}.\)
Vậy có 7 số nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \(2\left| {f(x)} \right| - 2m = 0\) có 4 nghiệm phân biệt.
1<m<3
Không có giá trị nào của m.
0<m<3
1<m<4
Ta có \(2\left| {f\left( x \right)} \right| - 2m = 0 \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = m.\)
Đồ thị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\)
Dựa vào đồ thị, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) tại 4 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 1 < m < 3.\)
Vậy với \(1 < m < 3\) thì phương trình \(2\left| {f\left( x \right)} \right| - 2m = 0\) có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án A
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}\). Tính tổng \(S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2018} \right)\).
\(\ln 2018\).
\(1\).
\(2018\).
20182019
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2018}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{x + 1}}{{2018x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\)
Ta có
\(S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2018} \right)\)
\( = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}} \right)\)
\( = 1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}.\)
Đáp án D
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như sau:
Trên khoảng \(( - 10;10)\) có tất cả bao nhiêu số nguyên của m để hàm số \(g(x) = f(x) + mx + 2020\) có đúng một cực trị ?
0.
15.
16
13.
Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + m\)
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - m,\left( 1 \right)\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng một nghiệm bội lẻ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m \ge 3\\ - m \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m \ge 1\end{array} \right..\)
Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 10;10} \right)\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\)
Suy ra có 16 giá trị thỏa yêu cầu bài toán.\(m\)
Đáp án C
