Đề số 14
50 câu hỏi
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
y=x3-3x2+2
y=x3+3x2+2
y=-x3+3x2+2
y=x3-3x2+1
Đáp án A
Do đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là (0;2),(2;0) và limx→+∞y=+∞⇒ đáp án cần tìm là A.
Một khối trụ có thể tích bằng 25π. Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25π. Bán kính đáy của khối trụ ban đầu là
r = 10
r = 5
r = 2
r = 15
Đáp án A
Ta có: V=πr2h=25⇒r2h=25
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng: 2πr.5h=25π⇒rh=52⇒r=2552=10.
Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng (d):y = x + 1 và đường cong (C):y=2x+4x-1. Hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng
-52
2
52
1
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm là:
2x+4x-1=x+1⇔x≠1x2-2x-5=0⇒xM+xN=2⇒xM+xN2=1.
Cho ba số x;5;2y lập thành cấp số cộng và ba số x;4;2y lập thành cấp số nhân thì x-2y bằng
x-2y=8
x-2y=9
x-2y=6
x-2y=10
Đáp án C
Theo giả thiết ta có: x+2y=102xy=16⇒y=8xx+16x=10⇒2y=16xx2-10x+16=0⇔[x=8x=22y=16x
⇒[x=82y=2x=22y=8⇒x-2y=6.
Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 43cosx+sinx+2m-1=0 có nghiệm là
6
5
4
3
Đáp án C
Phương trình có nghiệm ⇔432+12≥1-2m2⇔4m2-4m-48≤0⇔-3≤m≤4.
Suy ra có 4 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn đề bài
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
y=35x
y=32-x
y=log12x+1
y=231-x
Đáp án D
Ta có hàm số y=231-x=32x-1⇒y'=32x-1ln32>0∀x∈ℝ đồng biến trên ℝ.
Cho hình nón có bán kính đáy là r=2 và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh S của hình nón đã cho
S=16π
S=82π
S=162π
S=42π
Đáp án D
Diện tích xung quanh S=πrl=42π.
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x3-4x+1 tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là
y=-8x+17
y=8x-16
y=8x+15
y=8x-15
Đáp án D
Ta có y'=3x2-4⇒y'2=8,y2=1
Suy ra PTTT của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có hoành độ bằng 2 là y = 8(x - 2) + 1⇔y=8x-15.
Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số fx=2x-33?
Fx=2x-348+8
Fx=2x-348-3
Fx=2x-348
Fx=2x-344
Đáp án D
Ta có ∫2x-33dx=12∫2x-33d2x-3=182x-34+C.
Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f '(x) = x + sinx và f(0) = 1. Tìm f(x)
fx=x22-cosx+2
fx=x22-cosx-2
fx=x22+cosx
fx=x22+cosx+12
Đáp án A
Ta có: fx=∫f'xdx=x22-cosx+2. Do f0=1⇒C=2.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex,y=2,x=0 và x = 1.
S=4ln2+e-5
S=4ln2+e-6
S=e2-7
S=e-3
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm ex=2⇔x=ln2
Suy ra diện tích cần tìm bằng S=∫0ln2ex-2dx+∫ln20ex-2dx=4ln2+e-5.
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log2a=x;log2b=y. Tính P=log2a2b3
P=x2y3
P=x2+y3
P=6xy
P=2x+3y
Đáp án D
Ta có P=log2a2b3=log2a2+log2b3=2log2a+3log2b=2x+3y.
Cho các số tự nhiên m n, thỏa mãn đồng thời các điều kiện Cm2=153 và Cmn=Cmn+2. Khi đó m + 2 bằng
25
24
26
23
Đáp án C
Ta có Cm2=153⇒m=18
Suy ra C18n=C18n+2⇒n=18-n+2⇒n=8⇒m+n=26.
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x0≤x≤π là một tam giác đều cạnh là 2sinx
V=3
V=3π
V=-2π3
V=23
Đáp án D
Diện tích tam giác bằng 2sinx234=3sinx.
Suy ra thể tích cần tích bằng V=∫0π3sinxdx=-3cosx0π=23.
Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là Sn=3n2+4n,n∈ℕ*. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là
u10=55
u10=67
u10=61
u10=59
Đáp án C
Gọi số hạng đầu và công sai u1,d ta có Sn=n22u1+n-1d=3n2+4n
⇒2u1-d+nd=8+6n⇒2u1-d=8d=6⇒u1=7d=6⇒u10=61.
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
min-1;+∞fx=f0
max0;+∞fx=f1
max-1;1fx=f0
min-∞;-1fx=f-1
Đáp án B
Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 0;+∞:max0;+∞fx=f1.
Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 là
13
11
10
12
Đáp án B
ĐK: n∈ℕ*
Khi đó 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41⇔1n-1n+1!2!n+1!=76n+4⇔1n-2nn+1=76n+4
⇔6n+1n+4-12n+4=7nn+1⇔n2-11n+24-0⇔[n=8n=3 . Vậy n1+n2=11.
Với hai số thực bất kì a≠0,b≠0 khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
loga2b2=2logab
loga2b2=3loga2b23
loga2b2=loga4b6-loga2b4
loga2b2=loga2+logb2
Đáp án A
loga2b2=2logab2=2logab⇒ Khẳng định A sai.
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
210
105
168
145
Đáp án C
Gọi số tự nhiên cần lập có dạng abc¯a,b,c∈0;1;2;3;4;5;6;a≠0
Bài toán không yêu cầu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
Chọn c = {0;2;4;6} có 4 cách chọn, chọn a≠0 có 6 cách chọn và chọn b có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: 4.6.7 = 168 số.
Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số fx1 và fx2 liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a,x = b (tham khảo hình vẽ). Công thức tính diện tích của (H) là
S=∫abf1x-f2xdx
S=∫abf1x-f2xdx
S=∫abf1x+f2xdx
S=∫abf2x-f1xdx
Đáp án A
S=∫abf1x-f2xdx
Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4, 5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ti
83,7 (triệu đồng)
78,3 (triệu đồng)
73,8 (triệu đồng).
87,3 (triệu đồng)
Đáp án C
Số tiền lương bằng 4,5+4,5+0,3+...+4,5+0,3.11=1224,5+0,3.11+4,5=73,8 triệu đồng.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
M(0;-3) là điểm cực tiểu của hàm số
Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu
f(2) được gọi là giá trị cực đại của hàm số
x0=2 được gọi là điểm cực đại của hàm số
Đáp án A
M(0;-3) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khẳng định A sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+12=y1=z-21 và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - 2z +5 = 0 và A(1;-1;2). Đường thẳng D cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của D là:
a→=2;3;2
a→=1;-1;2
a→=-3;5;1
a→=4;5;-13
Đáp án A
Gọi M-1+2t;t;2+t∈∆⇒N2xA-xM;2yA-yM;2zA-zM
Suy ra N3-2t;-2-t;2-t, do N∈P⇒3-2t-2-t-4+2t+5=0⇒t=2
⇒M3;2;4⇒AM→=2;3;2=u∆→.
Cho hàm số y=x3+3mx2+m+1x+1 có đồ thị (C). Biết rằng khi m=m0 thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng x0=-1 đi qua điểm A(1;3). Khẳng định nào sau đây đúng?
-1<m0<0
0<m0<1
1<m0<2
-2<m0<-1
Đáp án B
Ta có: y'=3x2+6mx+m+1⇒y'-1=4-5m;y-1=2m-1
PTTT tại điểm có hoành độ x0=-1 là y=4-5mx+1+2m-1
Do tiếp tuyến qua A1;3⇒3=24-5m+2m-1⇔-4=-8m⇔m=m0=12.
Cho hàm số y=x3-3x+2 có đồ thị (C). Tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành bằng:
9
11
0
-15
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm x3-3x+2=0⇔x-12x+2=0⇔[x=1x=-2
Mặt khác y'=3x2-3⇒[k1=y'1=0k2=y'-2=9. Vậy k1+k2=9.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cos2x trên 0;π là
98
54
2
1
Đáp án A
Ta có: fx=sinx+1-2sin2x. Đặt t=sinx,t∈0;1⇒gt=-2t2+t+1,t∈0;1
Khi đó g't=-4t+1=0⇔t=14. Mà g0=1;g14=98;g1=0⇒max0;πfx=98.
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y=x3+33ax có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
a < -1
a < 0
-1 < a < 0
a > 0
Đáp án B
Ta có y'=3x2+33a
Hàm sổ có cực trị ⇔y'=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔a<0.
Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ, do đó đường thẳng nối cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho
V=πa2h9
V=a2h9
V=πa2h3
V=3πa2h
Đáp án C
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có: R=BC2sinA=a2sin60°=a3
Thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ là:
V=πR2h=πa32.h=πa2h3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2-2;) và B(2;2;-4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T=a2+b2+c2
T = 8
T = 2
T = 6
T = 14
Đáp án A
Do đó OA¯;OB¯=-41;1;1⇒OAB:x+y+z=0
Ta có: IO=IAIO=IBI∈OAB⇒a2+b2+c2=a2+b-22+c+22a2+b2+c2=a-22+b-22+c+42a+b+c=0⇔a=2b=0c=-2
Do đó T=a2+b2+c2=8.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD¢. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau CK và AD¢ bằng:
a33
a32
2a33
a3
Đáp án D
Chọn hệ trục với D0;0;0,Aa;0;0,A'a;0;a,K0;0;a2,C0;a;0
Khi đó DA'→=a;0;a,KC→0;a;-a2⇒DA'→;KC→=a222;-1;-2
Phương trình mặt phẳng qua C (chứa CK) và song song với DA’ là (P):2x - y - 2z + a = 0
Khi đó dCK;A'D=dD;P=a3.
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y=13x3+m+1x2+4x+7 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 25. Tính tổng tất cả phần tử của S?
4
2
-1
-2
Đáp án D
Ta có y'=x2+2m+1x+4
Hệ số a=13>0 nên hàm số nghịch biến trong đoạn x2;x1 có độ dài bằng 25 thì hàm số có cực đại và cực tiểu x1,x2 thỏa mãn x2-x1=25 với x1,x2 là 2 nghiệm PT y'=0
Khi đó ∆'=m+12-4>0⇔[m>0m<-3⇒[x1+x2=-m-1x1x2=4.
Có x2-x1=x2-x12=x2+x12-4x2x1=m+12-16=25⇔m+12=36⇔[m=5m=-7.
Kết hợp điều kiện (1) ⇒[m=5m=-7⇒S=-2.
Cho hình chóp S.ABC có BSC^=12°,CSA^=60°,ASB^=90° và SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
I là trung điểm AB
I là trọng tâm tam giác ABC.
I là trung điểm AC
I là trung điểm BC
Đáp án D
Đặt SA = SB = SC = a⇒∆SAC đều cạnh a⇒AC=a,AB=a2
Mặt khác BC2=SB2+SC2-2SB.SC.cos120°=2a2-2a2.-12=3a2⇒BC=a3.
Khi đó ∆ABC cận tại A, do SA = SB = SC⇒ hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền BC.
Có 11 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 11, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
911
311
211
811
Đáp án D
Có 2 TH sau:
+) 1 thẻ đánh số chẵn, 1 thẻ đánh số lẻ, suy ra có C51C61=30 cách.
+) 2 thẻ đánh số chẵn, suy ra có C52=10 cách.
Suy ra xác suất bằng 30+10C112=811.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1:x-43=y-1-1=z+5-2 và ∆2:x-21=y+33=z1. Giả sử M∈∆1,N∈∆2 sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Tính MN→.
MN→(5;-5;10)
MN→(2;-2;4)
MN→(3;-3;6)
MN→(1;-1;2)
Đáp án B
Gọi M4+3t;1-t;-5-2t và N2+u;-3+3u;u suy ra MN¯=-2+u-3t;-4+3u+t;u+2t+5
Mặt khác MN→⊥u∆1→MN→⊥u∆2→⇔3-2+u-3t+4-3u-t-2u-4t-10-2+u-3t-12+9u+3t+u+2t+5=0⇔-2u-14t=1211u+2t=9⇔u=1t=-1
Suy ra MN→(2;-2;4).
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30°.
MN=a2
MN=a32
MN=a33
MN=a4
Đáp án B
Gọi E là trung điểm AC
Khi đó NE//AB suy ra AB;MN^=NE;MN^
Do đó [ENM^=30°ENM^=150°
Lại có NE=AB2=a2;ME=a2 nên tam giác MNE cân tại E suy ra ENM^=30°⇒NEM^=120°
Suy ra MN=ME2+NE2-2ME.NE.cosNEM^=a32.
Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình 4sin2x+5cos2x≤m.7cos2x có nghiệm là [ab;+∞) với a, b là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản. Khi đó giá trị S = a + b bằng:
S = 13
S = 15
S = 9
S = 11
Đáp án A
Ta có 4sin2x+5cos2x≤m.7cos2x⇔41-cos2x+5cos2x≤m.7cos2x⇔m≥428cos2x+57cos2x
Đặt t=cos2x,0≤t≤1 khi đó m≥428t+57t=gt
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔m≥min0;1gt
Dễ thấy g't<0∀t∈0;1⇒min0;1gt=g1=67⇒m≥67 là giá trị cần tìm
Vậy a + b + c = 13.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;5) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó
15 (km)
323km
12 (km)
353km
Đáp án B
Phương trình vận tốc theo thời gian là Parabol có dạng: y=ax2+bx+1
Do Parabol có đỉnh I(2;5) nên -b2a=2y2=4a+2b+1=5⇔a=-1b=4
Khi đó quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đầu là
S=∫01-x2+4x+1dx+∫134dx=323km.
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f2=-2;∫02fxdx=1. Tính tích phân I=∫04f'xdx
I = -10
I = -5
I = 0
I = -18
Đáp án A
Đặt t=x⇔dt=dx2x⇔dx=2dt;x=0⇒t=0x=4⇒t=2
Khi đó I=∫04f'xdx=∫022t.f'tdt=2∫02t.f'tdt
Đặt u=tdv=f'tdt⇔du=dtv=ft⇒2∫02t.f'tdt=t.ft02-∫02ftdt=2f2-1=-5
Vậy tích phân I=2.-5=-10.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a2. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SB bằng
45°
60°
90°
Đáp án B
Ta có: BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥MA
Mặt khác AM⊥SB⇒AM⊥SBC⇒AN⊥SC, tương tự AN⊥SC
Do đó SC⊥AMN, mặt khác ∆SBC vuông tại B suy ra tanBSC^=BCSB=aSA2+AB2=13
⇒SB;SC^=BSC^=30°⇒SB;AMN^=60°.
Cho hàm số fx=32x-2.3x có đồ thị như hình vẽ sau
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) Đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là x=log32
(2) Bất phương trình fx≥-1 có nghiệm duy nhất.
(3) Bất phương trình fx≥0 có tập nghiệm là -∞;log32
(4) Đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.
2
4
1
3
Đáp án C
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng
(1) Đường thẳng fx=0⇔32x-2.3x=0⇔3x=2⇔x=log32⇒1 đúng.
(2) Bất phương trình fx≥-1⇔32x-2.3x+1≥0⇔3x-12≥0,∀x∈ℝ. Nên fx≥-1 có vô số nghiệm ⇒2 sai.
(3) Bất phương trình fx≥0⇔3x2-2.3x≥0⇔3x≥2⇔x≥log32⇒3 sai.
(4) Đường thẳng f(x) = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất ⇒4 sai
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x-11=y-2-2=z+1-1 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 2018 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng D và tạo với (P) một góc nhỏ nhất cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm A, B, C. Thể tích tứ diện O.ABC là:
16
323
326
643
Đáp án B
Gọi A=∆∩P;d=P∩Q
Lấy I∈∆⇒A;I cố định, kẻ IH⊥P;HK⊥d⇒P;Q^=IKH^=φ
Do IA≥IK⇒sinφ=IHIK≥IHIA⇒φmin khi K≡A tức là IA⊥d⇒nQ→=u∆→;ud→
Trong đó n∆¯=1;-2;-2;ud¯=u∆¯;uP¯=3;0;3=31;0;1
Suy ra nQ¯=u∆¯;ud¯=-21;1;-1, mặt khác (Q) chứa đường thẳng ∆ nên (Q) đi qua điểm (1;2;-1)
Do đó Q:x+y-z-4=0⇒A4;0;0,B(0;4;0),C(0;0;-4)⇒VO.ABC=646=323
Cho hàm số y= f(x) xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f1+2x2=x-f1-x3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1.
y=-17x-67
y=17x-87
y=-17x+87
y=-x+67
Đáp án A
Đặt f1=af'1=b, thay x = 0 vào giả thiết, ta được f21=-f30⇔a3+a2=0⇔[a=0a=-1
Đạo hàm cả 2 vế biểu thức f21+2x=x-f31-x, ta đưuọc
4f'1+2x.f1+2x=1+3f'1-x.f21-x1
Thay x = 0 vào (1), ta có 4f'1.f1=1+3f'1.f21⇔4ab=1+3a2b2
TH1. Với a = 0 thay vào (2), ta được 0 = 1 (vô lí)
TH2. Với a = -1 thay vào (2), ta được -4b=1+3b⇔b=-17⇒f'1=-17
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y-f1=f'1x-1⇒y=-17x-67.
Gọi a là một nghiệm của phương trình 4.22logx-6logx-18.32logx=0. Khẳng định nào sau đây đúng khi đánh giá về a.
a-102=1
a cũng là nghiệm của phương trình 23logx=94
a2+a+1=2
a=102
Đáp án B
Đặt t=logx, khi đó 4.22logx-6logx-18.32logx=0⇔4.2t2-2t.3t-18.3t2=0
⇔423t2-23t-18=0⇔23t=94⇔t=-2⇔logx=-2⇔x=1100.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 2fx-1-3=0 là
1
4
3
2
Đáp án B
Cách 1:
Dựa vào đồ thị suy ra hàm số có dạng bậc 3
Ta có y'=kxx-1⇒y=kx32-x22+C
Đồ thị qua 2 điểm (0;1),(1;2)
⇒C=1k=-6⇒y=-2x3+3x2+1. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y=fx-1
Cách 2:
Từ đồ thị hàm số y = f(x) tịnh tiến sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x - 1) từ đó suy ra đồ thị hàm số y=fx-1 như hình bên
Suy ra phương trình fx-1=32 có 4 nghiệm phân biệt
Cho x0 là nghiệm của phương trình sinxcosx+2sinx+cosx=2 thì giá trị của biểu thức P=sinx0+π4 là
P=22
P = 1
P=12
P=-22
Đáp án A
Đặt t=sinx+cosx=2sinx+π4∈-2;2⇒sinxcosx=t2-12
Khi đó sinxcosx+2sinx+cosx=2⇔t2-12+2t=2⇔t2+4t-5=0⇔t=1
Vậy P=sinx0+π4=sinx0+cosx02=t02=22.
Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 1<x<y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây P=logxy-12+8logyxyx2
18
9
27
30
Đáp án C
Đặt t=yx>1⇒y=tx⇒P=logxtx2-12+8logttxx2
=logxt2+12+8logttx-logtx2=2logxt2+12+81+logtx-12logtx2
Đặt u=logtx⇒P=2u+12+81+12u2=4u2+4u+2u2+8u+9=Pu
Do u=logxyx=logxy-1>0 nên xét Puu>0⇒P'u=8u+4-4u3-8u2
=42u+1u3-1u3=0→u>0u=1. Do đó ta tìm được Pmin=P1=27.
Tổng các nghiệm của phương trình z+i1+i3-z2-1+2iz2i+2=0 là:
1 + 2i
2 - i
1 - 2i
2 + i
Đáp án C
Ta có z2-1+2iz=z2+2iz+i2=z+i2. Đặt w=z+i, khi đó phương trình đã cho trở thành:
w31+i3-w22i+2=0⇔w3-1+iw2-4+4i=0⇔w-2w-2iw+1+i=0[w=2w=2iw=-1-i⇔[z+i=2z+i=2iz+i=-1-i⇔[z=2-iz=iz=-1-2i⇒∑z=2-i+i-1-2i=1-2i.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. Xét hàm số gx=2fx+2x3-4x-3m-65 với m là số thực. Để gx≤0,∀x∈-5;5 thì điều kiện của m là
m≥23f5
m≤23f5
m≤23f0-25
m≥23f-5-45
Đáp án A
Ta có gx=2fx+2x3-4x-3m-65≤0,∀x∈-5;5
⇔hx=2fx+2x3-4x-65≤3m,∀x∈-5;5⇔max-5;5hx≤3m
Mặt khác h'x=2f'x+6x2-4=0⇔f'x=2-3x2
Dựa vào đồ thị f '(x) ta thấy rằng phương trình f'x≥2-3x2,∀x∈-5;5
Do đó h(x) đồng biến trên đoạn -5;5
Suy ra h5=2f5≤3m⇔m≥23f5.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B¢ và vuông góc AC¢ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1,V2 với V1<V2. Tỉ số V1V2:
123
147
111
17
Đáp án B
Gọi M là trung điểm A’C’. Ta có B'M⊥ACC'A'⇒B'M⊥A'C.
Suy ra M∈mpP. Kẻ MN⊥A'C(N∈AA')⇒N∈mpP
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và lăng trụ là tan giác B’MN
Hai tam giac A’C’C và NA’M đồng dạng ⇒A'N=12A'M=a4
Thể tích tứ diện A'B'MN là V1=13A'N.S∆A'B'M=a3396
Thể tích lăng trụ là V=AA'.S∆ABC=a332. Vậy V1V2=147.
Cho hai hộp đựng bi, đựng 2 loại bi là bi trắng và bi đen, tổng số bi trong hai hộp là 20 bi và hộp thứ nhất đựng ít hơn hộp thứ hai. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Cho biết xác suất để lấy được 2 bi đen là 5584. Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng?
1584
128
1184
1128
Đáp án B
Gọi hộp 1 có x viên bi trong đó có y bi đen. Hộp 2 có a viên bi trong đó b bi đen.
Tổng số bi của hai hộp 1 và 2 là x+a=20. số phần tử của không gian mầu là nΩ=xa.
Goi X là biến cố lấy được 2 bi đen ⇒nX=Cy1.Cb1=yb⇒P=nXnΩ=ybxa=5584⇔55xa=84yb
Do đó xa chia hêt cho 84 mà xa≤14x+a2=100→x=6a=14 (vì x < a)
Khi đó yb = 55 và y,b∈ℤ⇒y=5b=11. Suy ra số bi trắng ở hộp 1 là 1, số bi trắng ở hộp 2 là 3.
Vây xác suất cần tính là P0=1.36.14=128.
