Đề số 13
50 câu hỏi
Tập nghiệm S của bất phương trình lnx2+1−ln2x+4>0.
S=3;+∞
S=−1;3
S=−2;−1∪3;+∞
S=−∞;−1∪3;+∞
Đáp án C
Tập xác định D=−2;+∞.
Ta có lnx2+1−ln2x+4>0⇔x2−2x−3>0⇔x<−1x>3.
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình S=−2;−1∪3;+∞.
Hàm số fx=cos2x2+1 có đạo hàm là
f'x=−2xsin2x2+1
f'x=2cosx2+1
f'x=2xsin2x2+1
f'x=−4xsin2x2+1
Đáp án D
f'x=2cosx2+1cosx2+1'=2cosx2+1−2xsinx2+1=−2xsin2x2+1.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua ba điểm A(0;-2;0), B(0;0;3) và C(-1;0;0) có phương trình là
3x+6y−2z+6=0
6x+3y−2z−6=0
2x−6y−3z−6=0
6x+3y−2z+6=0
Đáp án D
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x−1+y−2+z3=1⇔6x+3y−2z+6=0.
Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh mặt trụ Sxq=4πa2. Thể tích khối trụ bằng
23πa3
πa3
2πa3
8πa3
Đáp án C
Khối trụ có độ dài đường sinh l=2a, bán kính đáy R, diện tích xung quanh mặt trụ Sxq=4πa2⇔2πRl=4πa2⇔R=a. Thể tích khối trụ bằng V=hπR2=2a3π.
Họ nguyên hàm của hàm số fx=3x+12x là
3xln3−12x2+C
3xln3+12lnx+C
3xln3−12x2+C
3xln3+12lnx+C
Đáp án B
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 2|f(x)|-5=0 là:
3
5
4
6
Đáp án C
Tìm fx rồi tìm f(x).
Số nghiệm của phương trình là số nghiệm của phương trình đường thẳng fx=±a với đồ thị hàm số y=fx
2fx−5=0⇔fx=52⇔fx=52 1fx=−52 2
Số nghiệm của phương trình đã cho là tổng số nghiệm của phương trình (1) và phương trình (2).
Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đường thẳng y=52 và đường thẳng y=−52 với đồ thị hàm số y=f(x).
Như vậy, dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, BC=2a, SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng
25
215
32
12
Đáp án B
Kẻ DE⊥AC, E∈AC ta có DE⊥SA do đó DE⊥SAC.
Suy ra góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng góc DSE^.
Ta có ED=25,SD=a5,SE=a215.
Tam giác DSE vuông tại E nên cosDSE^=SESD=215.
Số các số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là
C83
P8
A83
P3
Đáp án C
Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập thành từ dãy trên là A83.
Cho a là số thực dương tùy ý khi đó log2a522 bằng:
5log2a−32
5log2a−23
5log2a+32
32−5log2a
Đáp án A
Ta có:log2a522=log2a5232=log2a5−log2232=5log2a−32 .
Cho số phức z thỏa mãn z¯=1−3i31+i. Môđun của số phức w=z¯−i.z bằng
11
8
82
0
Đáp án C
z¯=1−3i31+i=−4+4i và z=−4−4i
w=z¯−i.z=−4+4i−i−4−4i=−8+8i⇒w=82.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;-3) và B(-2;1;-1) . Độ dài đoạn thẳng AB bằng
17
5
13
3
Đáp án A
Vì AB=9+4+4=17.
Cho hàm số y=x−22x2+1−3. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là
1
4
3
2
Đáp án D
Tập xác định: D=ℝ\±2
Ta có limx→+∞y=22, limx→−∞y=−22⇒ đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
limx→2y=limx→2x−22x2+1+32x2−8=limx→22x2+1+32x+2=34limx→−2+y=limx→−2+x−22x2+1+32x2−8=limx→−2+2x2+1+32x+2=+∞, limx→−2−y=−∞Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x=−2.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2.
Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?
y=x3+3x+1
y=x3−3x+1
y=−x3−3x+1
y=−x3+3x−1
Đáp án B
Nhìn đồ thị biết hàm số có tính chất limx→+∞y=+∞ nên chọn A hoặc D.
Đồ thị hàm số đi qua (1;-1) nên chọn A.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'x=x2−1x−32x+22019,∀x∈ℝ. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
5
2
3
4
Đáp án B
Ta có:f'x=x2−1x−32x+22019,∀x∈ℝ
f'x=0⇔x=−2x=3x=±1 trong đó x=3 là nghiệm bội chẵn
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu là x=-2 và x=1.
Cho các số thực a, b thỏa mãn đẳng thức 2a+3+(3b-2i)i=4-3i với i là đơn vị ảo. Giá trị biểu thức P=2a-b bằng
0
2
−32
-2
Đáp án A
Ta có: 2a+3+3b−2ii=4−3i⇔2a+3+3bi+2=4−3i⇔2a+5+3bi=4−3i
Vậy ta có 2a+5=43b=−3⇔a=−12b=−1⇒2a−b=0.
Cho phần vật thể (H) được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại x=0,x=3. Cắt phần vật thể (H) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x ( 0≤x≤3) ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là x và 3−x. Thể tích phần vật thể (H) bằng
27π4
123π5
1235
274
Đáp án C
Ta có diện tích thiết diện là Sx=x3−x.
Vậy thể tích phần vật thể Φ là: V=∫03Sxdx=∫03x3−xdx=1235.
Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA=a2 , đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB=AC=a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
a34
a312
a32
a36
Đáp án B
Thể tích khối chóp S.ABC là: V=13.SA.12.AB.AC=13.a2.12.a.a=a312.
Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng d:x−11=y+14=z1 và mặt phẳng P:2x−y+2z−9=0 bằng:
103
4
2
43
Đáp án C
Đường d:x−11=y+14=z1 đi qua M1;−1;0 và có véctơ chỉ phương u→=1;4;1.
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến n→=2;−1;2
Ta có: u→.n→=0M∉P⇒d // P
dd;(P)=dM;(P)=2+1−94+1+4=2.
Thể tích của khối cầu (S) có bán kính R=32 bằng
3π4
3π2
43π
π
Đáp án B
Áp dụng công thức V=43πR3⇒V=43π323=32π.
Tập nghiệm của phương trình 2x2−2x+1=4 là
1;−3
1
−1;3
3
Đáp án C
Ta có: 2x2−2x+1=4⇔2x2−2x+1=24⇔x2−2x+1=4⇔x=3x=−1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là −1;3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S1:x−12+y2+z−22=1 và điểm I3;−1;4. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc ngoài với mặt cầu S1 là
x−32+y−12+z−42=4
x−32+y−12+z−42=16
x−32+y+12+z−42=4
x−32+y+12+z−42=16
Đáp án C
Gọi là tâm mặt cầu S1 và R1 là bán kính mặt cầu S1.
Tính được khoảng cách II1=22+12+22=3>R1=1 nên điểm I nằm ngoài mặt cầu (S)
Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là R=II1−R1=2.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số fx=sin4x+cos2x+14cos2x. Giá trị M−m bằng
116
916
12
1116
Đáp án B
Ta có fx=sin4x+cos2x+14cos2x=sin4x+1−sin2x+141−2sin2x=sin4x−32sin2x+54
Đặt sin2x=t 0≤t≤1 khi đó đưa về bài toán tìm M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số gt=t2−32t+54,t∈0;1.
Ta có g't=2t−32⇒g't=0⇔2t−32=0⇔t=34∈0;1.
Mà g0=54;g1=34;g34=1116.
Vậy M=54,m=1116⇒M−m=916.
Đặt a=log25,b=log53. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
log4845=a+2b4+ab
log4845=a+2ab4+ab
log4845=1+2b4a+b
log127xy3=13a+b
Đáp án B
Ta có log23=log25.log53=ab
log4845=log245log248=log232.5log224.3=2log23+log254+log23=a+2ab4+ab.
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:
−1;1
1;+∞
0;1
−2;1
Đáp án C
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên hai khoảng −∞;−2 và 0;1 nên chọn đáp án C.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x-3z+5=0. Một véctơ chỉ phương của đường thẳng (d) là
u→=2;−3;5
u→=2;0;−3
u→=2;−3;0
u→=2;0;3
Đáp án B
P:2x−3z+5=0, suy ra véctơ pháp tuyến của (P) là n→=2;0;−3.
Đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) nên có véctơ chỉ phương là u→=2;0;−3.
Tổng các nghiệm thực của phương trình x+2y+2z+3=0 là
7
1
2
10
Đáp án B
Ta có
log7−10x=1−x⇔7−10x=101−x⇔102x−7.10x+10=0⇔10x=210x=5⇔x=log2x=log5.
Tổng các nghiệm thực bằng log2+log5=log10=1.
Cho cấp số nhân . Biết tổng ba số hạng đầu bằng 4, tổng của số hạng thứ tư, thứ năm và thứ sáu bằng -32 . Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
un=−4.−2n5
un=−4.−2n−15
un=4.−2n−13
un=4.−2n3
Đáp án C
Gọi q là công bội của cấp số nhân un.
Ta có: u1+u2+u3=4u4+u5+u6=−32⇔u11+q+q2=4u1q3+u1q4+u1q5=−32⇔u11+q+q2=4q3u11+q+q2=−32
⇔u11+q+q2=4q=−2⇔u1=43q=−2.
Vậy un=4.−2n−13.
Cho ∫13fxdx=4, khi đó ∫01f2x+1dx bằng:
8
2
12
32
Đáp án B
Đặt t=2x+1⇒dt=2dx⇔dx=dt2.
Đổi cận:
x | 0 | 1 |
t | 1 | 3 |
Ta có ∫01f2x+1dx=∫13ft.dt2=12∫13fxdx=2.
Họ nguyên hàm của hàm số fx=2x3+ex là
3x2+2xex−2ex+C
6x2+2xex+2ex+C
3x2+ex−2xex+C
3x2+2xex+2ex+C
Đáp án A
Ta có ∫fxdx=∫2x3+exdx=6∫xdx+2∫xexdx.
Đặt u=xdv=exdx⇒du=dxv=ex
Suy ra: ∫fxdx=3x2+2xex−∫exdx=3x2+2xex−2ex+C.
Cho hàm số y=x4+mx2+1 với m là số thực âm. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
2
3
1
0
đáp án B
Phương pháp trắc nghiệm. Vì hàm số bậc 4 trùng phương có a.b<0 nên có 3 cực trị.
Phương pháp tự luận. Tính y'=4x3+2mx=0⇔x=0x=−m2x=−−m2
nên hàm số có 3 cực trị.
Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1=1−2i, z2=−1+i và z3=3+4i. Điểm G trọng tâm ΔABC là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
z=1−i
z=3+3i
z=1+2i
z=1+i
Đáp án D
A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1=1−2i, z2=−1+i và z3=3+4i suy ra A1;−2, B−1;1, C3;4.
Điểm G là trọng tâm ΔABC⇒xG=1+−1+33=1yG=−2+1+43=1⇒G1;1.
Vậy G là điểm biểu diễn của số phức z=1+i.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SA. Biết hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm G của tam giác ACD, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) bằng
a4214
3a4214
a4221
2a4221
Đáp án A
Gọi O là giao điểm AC và BD.
SB,(ABCD)=SB,BG=SBG^=60°.
SΔABC=12a2.
BD=a2⇒BG=23a2=223a
Trong tam giác vuông SBG có
tan60°=SGBG⇒SG=tan60°.BG=263a.
VS.ABC=13SΔABC.SG=69a3.
⇒VA.SBC=69a2⇒VM.SBC=12VA.SBC=618a3.
Trong tam giác vuông SBG, có SB=SGsin60°=423a .
Trong tam giác vuông OGC, có GC=OC2+OG2=a222+13.a222=53.
Trong tam giác vuông SGC, có SC=SG2+GC2=293a.
⇒SΔABC=73a2.
⇒VM.SBC=13SΔABC.dM,(SBC)⇒dM,(SBC)=3VM.SBCSΔABC=4214a.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm AC. Biết tam giác A'MB cân tại A' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa A'B với mặt phẳng (ABC) là 30 độ. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
a3316
a3348
a3324
a338
Đáp án A
Gọi H là trung điểm BM, tam giác A'BM cân tại A' nên A'H⊥BM
Ta có: A'BM⊥ABCA'BM∩ABC=BMA'H⊥BM⇒A'H⊥ABC
Tam giác ABC đều cạnh a nên ta có: BM=a32⇒BH=a34SΔABC=a234
A'B có hình chiếu vuông góc trên (ABC) là HB
Góc tạo bởi A'B với mặt phẳng (ABC) là góc A'BH (vì góc A'BH là góc nhọn)
Xét tam giác A'BH vuông tại H, ta có:
A'BH^=30°, tanA'BH^=A'HBH⇒A'H=a34.13=a4,
VABC.A'B'C'=A'H.SΔABC=a4.a234=a3316.
Một trang trại chăn nuôi lợn dự định mua thức ăn dự trữ, theo tính toán của chủ trang trại, nếu lượng thức ăn tiêu thụ mỗi ngày là như nhau và bằng ngày đầu tiên thì số lượng thức ăn đã mua để dự trữ sẽ ăn hết sau 120 ngày. Nhưng thực tế, mức tiêu thụ thức ăn ngày sau tăng 3% so với ngày trước. Hỏi thực tế lượng thức ăn dự trữ đó sẽ hết trong khoảng bao nhiêu ngày? (Đến ngày cuối có thể lượng thức ăn còn dư ra một ít nhưng không đủ cho một ngày đàn lợn ăn).
50 ngày
53 ngày
52 ngày
51 ngày
Đáp án D
Gọi m (kg) là lượng thức ăn tiêu thụ của ngày đầu tiên.
Số lượng thức ăn mua dự trữ là 120.m (kg).
Gọi n là số ngày thực tế lượng thức ăn sẽ hết. Ta có n là số nguyên lớn nhất thỏa mãn:
120m≥m+m.1,03+...+m.1,03n−1⇔120≥1,03n−10,03⇔n≤51,63
Suy ra n=51.
Cho ∫02xx2+2x+4dx=aln3+bπ với a, b là các số thực. Giá trị của a2+3b2 bằng
727
12
518
35144
Đáp án C
Ta có: ∫02xx2+2x+4dx=∫02x+1x2+2x+4−1x2+2x+4dx
=∫02x+1x2+2x+4dx−∫021x2+2x+4dx.
Tính I1=∫02x+1x2+2x+4dx=12lnx2+2x+402=12ln12−ln4=12ln3.
Tính I2=∫021x2+2x+4dx=∫021x+12+3dx.
Đặt x+1=3tanu⇒dx=3cos2udu. Đổi cận: x=0⇒u=π6 và x=2⇒u=π3.
Suy ra I2=∫π6π33cos2u.131+tan2udu=13∫π6π3du=13π3−π6=π63.
Vậy ∫02xx2+2x+4dx=I1−I2=12ln3−π63.
Suy ra a2+3b2=122+3.1632=518.
Một con quạ bị khát nước, nó tìm thấy một bình đựng nước hình trụ, do mức nước trong bình chỉ còn lại hai phần ba so với thể tích của bình nên nó không thể thò đầu vào uống nước được. Nó liền gắp 3 viên bi ve hình cầu để sẵn bên cạnh bỏ vào bình thì mực nước dâng lên vừa đủ đầy bình và nó có thể uống nước. Biết 3 viên bi ve hình cầu đều có bán kính là 1cm và chiều cao của bình hình trụ gấp 8 lần bán kính của nó. Diện tích xung quanh của bình hình trụ nói trên gần với số nào nhất trong các số sau
65,8 cm2
61,6 cm2
66,6 cm2
62,3 cm2
Đáp án B
Gọi chiều cao của bình nước hình trụ là h (cm), bán kính là R (cm).
Ta có chiều cao của bình nước thì gấp 8 lần bán kính của viên bi ve nên: h=8.1=8(cm)
Khi cho ba viên bi vào bình nước thì nước dâng lên đến miệng bình, nên ta có thể tích của ba viên bi bằng một phần ba thể tích của bình nước
343π.13=138πR2⇔R=32(cm)
Diện tích xung quanh của bình nước là: Sxq=2πRh=2π32.8≈61,6 cm2.
Logo gắn tại Showroom của một hãng ô tô là một hình tròn như hình vẽ bên. Phần tô đậm nằm giữa Parabol đỉnh I và đường gấp khúc AJB được dát bạc với chi phí 10 triệu đồng/m2 phần còn lại phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng/m2. Biết AB=2m,IA=2m,IA=IB=5m và JA=JB=132m. Hỏi tổng số tiền dát bạc và phủ sơn của logo nói trên gần với số nào nhất trong các số sau:
19 250 000 đồng
19 050 000 đồng
19 150 000 đồng
19 500 000 đồng
Đáp án C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do AB=2m,IA=IB=5m và JA=JB=132m.
Nên ta có: I0;0,A−1;2,B1;2,J0;12; phương trình Parabol là y=2x2, đường thẳng JB là y=32x+12.
Gọi K là tâm của hình tròn KB=KI=r⇒K0;54,r=54 .
Phần diện tích dát bạc là: S1=2∫0132x+12−2x2dx=76m2.
Phần diện tích phủ sơn là: S2=πr2−S1≈3,73m2.
Tổng số tiền dát bạc và phủ sơn của logo nói trên là:
76.10000000+3,73.2000000=19127000 đồng.
Cho hàm số y=f'x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y=fx2+2x+3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
−∞;−1
−1;+∞
−2;0
−2;−1
Đáp án D
Đặt gx=fx2+2x+3⇒g'x=2x+1f'x2+2x+3.
Do x2+2x+3=x+12+2≥2 và đồ thị hàm số y=f'x ta có:
g'x=0⇔x+1=0f'x2+2x+3=0⇔x=−1x2+2x+3=3⇔x=−1x=0x=−2.
Ta có bảng xét dấu g'(x) như sau
Suy ra hàm số y=fx2+2x+3 nghịch biến trên mỗi khoảng −2;−1 và 0;+∞ nên chọn D.
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn f2x=3fx,∀x∈ℝ. Biết rằng . Tính tích phân ∫12fxdx.
I=3
I=5
I=2
I=6
Đáp án C
Ta có: I=∫12fxdx=∫02fxdx−∫01fxdx=∫02fxdx−1=J−1
Ta có: ∫01fxdx=13∫013fxdx=13∫01f2xdx=1⇔∫01f2xdx=3
Đặt t=2x→dt=2dx.
Đổi cận: x=0⇒t=0x=1⇒t=2⇒∫01f2xdx=∫02ftdt=∫02fxdx=3⇒J=3
Vậy I=∫12fxdx=3−1=2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1:x−13=y+12=z−2−2, d2:x−42=y−42=z+3−1. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 là
d1:x−42=y+1−1=z2
x−26=y−23=z+2−2
x−22=y−2−1=z+22
x−42=y−1−1=z−2
Đáp án C
Hai đường thẳng d1, d2 có véctơ chỉ phương là u1→=3;2;−2 và u2→=2;2;−1.
Lấy điểm A1+3t;−1+2t;2−2t∈d1 và B4+2u;4+2u;−3−u∈d2
AB là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 khi
AB→.u1→=0AB→.u2→=0⇔12u−17t=−299u−12t=−21⇔u=−1t=1⇒A4;1;0B2;2;−2AB→−2;1;−2.
Vậy phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 là x−22=y−2−1=z+22.
Cho số phức z thỏa mãn z−4+z¯+z−z¯≥4 và số phức w=z−2iz¯i+2−4i có phần ảo là số thực không dương. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình phẳng (H) là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z. Diện tích hình (H) gần nhất với số nào sau đây?
7
17
21
193
Đáp án C
Gọi Mx;y là điểm biểu diễn của số phức z=x+iy x2+y2>0
Ta có: z−4+z¯+z−z¯≥4⇔2x−4+2y≥4⇔x−2+y≥2
* w=z−2iz¯i+2−4i=x+y−2ix−yii+2−4i
x+y−2iy+2+x−4i=xy+2−x−4y−2+xx−4+y2−4iTheo giả thiết, ta có: xx−4+y2−4≤0⇔x2+y2−4x−4≤0
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
x−2+y≥2x2+y2−4x−4≤0 có miền là hình vẽ dưới đây:
Hình phẳng là phần không gian nằm bên ngoài hình vuông cạnh bằng 2 và nằm bên trong hình tròn (C) có tâm I2;0 và bán kính R=4+4=22.
Diện tích hình (H) là S=πR2−22=π222−4=8π−4≃21,13.
Bạn Nam làm bài thi thử THPT Quốc gia môn Toán có 50 câu, mỗi câu có 4 đáp án khác nhau, mỗi câu đúng được 0,2 điểm mỗi câu làm sai hoặc không làm không được điểm cũng không bị trừ điểm. Bạn Nam đã làm đúng được 40 câu còn 10 câu còn lại bạn chọn ngẫu nhiên mỗi câu một đáp án. Xác suất để bạn Nam được trên 8,5 điểm gần với số nào nhất trong các số sau?
0,53
0,47
0,25
0,99
Đáp án A
Vì mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng nên xác suất để chọn đúng đáp án là 14, xác suất để trả lời sai là 34.
Gọi A là biến cố bạn Nam được trên 8,5 điểm thì A¯ là biến cố bạn Nam được dưới 8,5 điểm.
Vì bạn Nam đã làm chắc chắn đúng 40 câu nên để có A¯ xảy ra 2 trường hợp.
TH1: Bạn Nam chọn được một câu đúng trong 10 câu còn lại, xác suất xảy ra là: 10.14.349.
TH2: Bạn Nam chọn được hai câu đúng trong 10 câu còn lại, xác suất xảy ra là: C102.142.348.
Vậy PA=1−PA¯=1−10.14.349−C102.142.348≃0,53
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình xm−2fsinx+2.2fsinx+m2−3.2fx−1≥0 nghiệm đúng với mọi x∈ℝ. Số tập con của tập hợp S là
![Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình [x(m-2^f(sinx))+2.2^f(sinx)+m^2-3].(2^f(x)-1)>=0 nghiệm đúng với mọi . Số tập con của tập hợp S là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/06/sx-1654162922.png)
4
1
2
3
Đáp án C
Nhận xét phương trình 2fx−1=0 có một nghiệm đơn nên biểu thức sẽ đổi dấu khi đi qua điểm x=2 .
Do đó để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ℝ thì phương trình
xm−2fsinx+2.2fsinx+m2−3=0 phải có một nghiệm.
Thử lại với m=1 ta có:
x1−2fsinx+2.2fsinx−22fx−1≥0⇔x−21−2fsinx2fx−1≥0.
⇔2fsinx≤1⇔fsinx≤0⇔sinx≤2luôn đúng với mọi thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thử lại với m=-3 ta có:
x−3−2fsinx+2.2fsinx+62fx−1≥0⇔−x−23+2fsinx2fx−1≥0 (vô lý) m=-3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy S=1. Số tập con của S là 2 đó 1 và ∅.
Cho hàm số F(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f4−x3−6x2+9x−3=0 là
3
4
5
6
Đáp án B
Điều kiện xác định x3−6x2+9x≥0⇔x≥0
Ta có f4−x3−6x2+9x=3⇔4−x3−6x2+9x=a1∈−∞;2 14−x3−6x2+9x=a2∈2;4 24−x3−6x2+9x=a3∈4;+∞ 3
Đặt t=4−x3−6x2+9x với x≥0.
t'=−3x2−12x+92x3−6x2+9x với
x>0;=0⇔3x2−12x+9=⇔x=1x=3.
Ta có bảng biến thiên của hàm số t=4−x3−6x2+9x
Từ bảng biến thiên trên, suy ra
Phương trình (1) có 1 nghiệm
Phương trình (2) có 3 nghiệm
Phương trình (3) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y=f'x như hình vẽ bên. Bất phương trình fx≤3x−2x+m có nghiệm trên −∞;1 khi và chỉ khi
![Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên y=f(x) và đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình f(x)<=3^x-2x+m có nghiệm trên (-âm vô cùng;1] khi và chỉ khi (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/06/yu-1654163533.png)
m≥f1−1
m>f1+1
m≤f1−1
m<f1−1
Đáp án A
Bất phương trình đã cho tương đương với: m≥fx−3x+2x có nghiệm trên −∞;1.
Xét hàm số gx=fx−3x+2x trên −∞;1.
Bài toán trở thành tìm m để m≥gx có nghiệm trên .
Ta có g'x=f'x−3xln3+2.
Nhận xét: Với x∈−∞;1⇒f'x≤−3−3xln3<0⇒g'x<0.
Do đó ta có m≥min−∞;1gx=g1=f1−31+2.1=f1−1.
Vậy m≥f1−1.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng −3π;3π để đồ thị của hàm số y=2x3−3m+1x2+6mx+m2−3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
8
9
6
7
Đáp án A
+ Xét hàm sốfx=2x3−3m+1x2+6mx+m2−3, a=2>0
Vì y=2x3−3m+1x2+6mx+m2−3 là hàm chẵn nên để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi fx=0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó 2 nghiệm dương, 1 nghiệm âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt và hai nghiệm đều dương.
Ta có f'x=6x2−6m+1x+6m=0⇔x=1x=m
Ta có f1=m2+3m−4; fm=−m3+4m2−3; f0=m2−3
+ Nếu m=1 thì f(x)=0 có nghiệm duy nhất nên loại.
+ Nếu m≠1 thì f(x) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực trị luôn dương
* f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó 2 nghiệm dương, 1 nghiệm âm
⇔fm.f1<0f0>0⇔m2+3m−4−m3+4m2−3<0m2−3>0⇔m>3+212−4<m<−3
* f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và hai nghiệm đều dương
⇔m>0fm.f1=0f0<0⇔m>0m2+3m−4−m3+4m2−3=0m2−3<0⇔m=1 lVậy có 8 giá trị thỏa mãn.
Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1≠z2 và z12−5z1z2+4z22=0. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1, z2¯ thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2z1−z2 là
143
212
1463
76
Đáp án D
Vì z12−5z1z2+4z22=0 z1≠z2 suy ra z1=4z2⇒P=7z2
Mặt khác SΔOMN=12OM.ON.sinMON^⇔12=12z1.z2.sinMON^=6 ⇒P=7z2=76sinMON^.
. Nên P=7z2 nhỏ nhất khi sinMON^ lớn nhất
⇔sinMON^=1.
Khi đó P=76.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): S:x−12+y+12+z−12=6 tâm I. Gọi là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d:x+11=y−3−4=z1 và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biếtα không đi qua gốc tọa độ, gọi HxH,yH,zH là tâm của đường tròn (C) . Giá trị của biểu thức T=xH+yH+zH bằng
13
43
23
−12
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm I1;−1;1, bán kính R=6.
Gọi x là khoảng cách từ I đến mặt phẳng α, 0<x<6. Khi đó, thể tích khối nón đỉnh I, đáy là đường tròn (C) là: V=13x6−x2=−x33+2x
Xét hàm số fx=−x33+2x, với 0<x<6
f'x=−x2+2;x=0⇔x=±2
Hàm số y=fx liên tục trên 0;6, có f0=f6=0, f2=2 , nên max0;6fx=2, đạt được khi x=2.
Gọi u→=1;−4;1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì IH⊥α nên tồn tại số thực k sao cho
IH→=ku→, suy ra IH→=k.u→⇒k=218=13⇒k=±13 .
Với k=13:IH→=13u→⇒H43;−73;43⇒α:x−4y+z−6=0 (nhận vì O∉α)
Với k=−13:IH→=−13u→⇒H23;13;23⇒α:x−4y+z=0 (loại vì O∈α).
Vậy xH+yH+zH=13.
Trong không gain Oxyz, cho đường thẳng d:x+12=y−1−1=z−2−1. Gọi α là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng Oxy một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ M0;3;−4 đến mặt phẳng α bằng
30
26
20
35
Đáp án A
Có góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy) là d;(Oxy)^
Góc tạo bởi mặt phẳng α và mặt phẳng Oxy là (α);(Oxy)^.
Ta có d;(Oxy)^≤(α);(Oxy)^⇒(α);(Oxy)^min⇔d;(Oxy)^=(α);(Oxy)^
sind,(α)^=ud→.k→ud→.k→=16⇒cosd,(α)^=306Gọi véctơ pháp tuyến của α là n→=a;b;c, a2+b2+c2≠0
Vì d⊂α⇒u→⊥n→⇒2a−b−c=0⇒c=2a−b
cos(Oxy),(α)^=n→.k→n→.k→=2a−ba2+b2+2a−b2=306⇔364a2−4ab+b2=305a2−4ab+2b2
⇔6a2+24ab+24b2=0⇔6a+2b2=0⇔a=−2bChọn n→=2;−1;5.
Vậy α đi qua A−1;1;2∈d và có véctơ pháp tuyến n→=2;−1;5⇒α:2x−y+5z−7=0.
Ta có: dM,(α)=3030=30.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình |f(|f(x)|-|f(x)=0 là
20
24
10
4
Đáp án A
Đặt fx=t≥0.
Khi đó phương trình trở thành: ft=t(1).
Từ đồ thị hàm số ta có
Phương trình (1) có 4 nghiệm t=a,0<a<1t=b,a<b<1t=c,1<c<2t=d,2<d
Khi đó các phương trình fx=a, fx=b, fx=c mỗi phương trình có 6 nghiệm phân biệt không trùng nhau.
Phương trình fx=d có 2 nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của 3 phương trình trên.
Vậy phương trình đã cho có 20 nghiệm phân biệt.
