Đề số 13
50 câu hỏi
Gọi Fx là một nguyên hàm của hàm số fx=e−x+cosx. Tìm khẳng định đúng.
Fx=−e−x− cosx+2019
Fx=e−x+ sinx+2019
Fx=e−x+ cosx+2019
Fx=−e−x+ sinx+2019
Áp dụng công thức: ∫fax+bdx=1aFax+b+C và nguyên hàm của hàm số lượng giác, nên Fx=−e−x+sinx+2019.Chọn đáp án D
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
y=x3−3x+1
y=x4−x2+1
y=−x2+x−1
y=−x3+3x+1
Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d nên loại phương án B và C
Dựa vào đồ thị, ta có limx→+∞y=+∞⇒a>0 nên loại phương án DChọn đáp án A
Cho số phức z=5−2i. Tìm số phức w=iz+z¯.
w=7+7i
w=−3−3i
w=3+3i
w=−7−7i
Ta có w=iz+z¯=i5−2i+5+2i=7+7i.Chọn đáp án A
Điểm A trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức z.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là 2i.
Số phức z có phần thực là -3, phần ảo là 2i.
Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là 2.
Số phức z có phần thực là -3, phần ảo là 2.
Từ hình vẽ ta có A3;2 biểu diễn số phức z=3+2i, số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 2Chọn đáp án C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA⊥ABCD và SA=a3. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
a333
a34
a3312
a33
Khối chóp S.ABCD có chiều cao h=a3 và diện tích đáy B=a2.
Nên có thể tích V=13.a2.a3=a333.Chọn đáp án A
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d:x=2−ty=1+2tz=3+t có một véctơ chỉ phương là
u→4−1 ; 2 ; 1
u→1−1 ; 2 ; 3
u→22 ; 1 ; 1
u→32 ; 1 ; 3
Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u→4−1;2;1Chọn đáp án A
Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
−∞;1
−1;3
1;+∞
0;1
Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).Chọn đáp án D
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R=4cm và đường sinh l=5cm bằng:
40πcm2
100πcm2
80πcm2
20πcm2
Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq=2πRl=2π.4.5=40πcm2.Chọn đáp án A
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1=2 và công sai d=5. Giá trị của u5 bằng
27
1250
12
22
Ta có : u5=u1+4d=2+4.5=22Chọn đáp án D
Nghiệm của phương trình 2x+1=16 là
x=8
x=4
x=7
x=3
Phương trình đã cho tương đương với
2x+1=16⇔2x+1=24⇔x+1=4⇔x=3
Vậy phương trình có nghiệm x=3.Chọn đáp án D
Cho hàm số y=3x5x−2.Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y=25.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=35.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=35.
Vì limx→+∞3x5x−2=35 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=35.Chọn đáp án D
Trong không gian Oxyz, cho điểm M−3 ; −2 ; 1. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm:
M10 ; 0 ; 1
M2−3 ; −2 ; 0
M3−3 ; 0 ; 0
M40 ; −2 ; 1
Hình chiếu của điểm Ma ; b ; c lên trục Oxy là điểm a ; b ; 0Nên chọn đáp án D
Cho hàm số y=f( x ) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
2
1
4
3
+ Vì f( x ) liên tục trên R nên f( x ) liên tục tại x=−1; x=2; x=4; x=0.
+ Từ bảng biến thiên ta thấy f'(x) đổi dấu khi x qua x=−1; x=2; x=4; x=0
Suy ra hàm số y=f( x ) đạt cực trị tại x=−1; x=2; x=4; x=0.
Vậy hàm số y=f( x ) có 4 cực trị.Chọn đáp án C
Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k≤n mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cnk−1=Cnk 1≤k≤n
Cnk=n!n−k!
Ank=n!k!n−k!
Cn−1k−1+Cn−1k=Cnk
Dựa vào định nghĩa và công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp ta thấy:
Ank=n!n−k!, Cnk=Cnn−k 1≤k≤n, Cnk=n!k!n−k!, nên các đáp án A, C, B sai.
Ta có Cn−1k−1+Cn−1k=n−1!k−1!n−k!+n−1!k!n−k−1!=n−1!nk!n−k!=n!k!n−k!=Cnk.Chọn đáp án D
Cho biết ∫03fxdx=3, ∫05ftdt=10. Tính ∫352fzdz.
∫352fzdz=−7
∫352fzdz=14
∫352fzdz=13
∫352fzdz=7
Ta có: ∫352fzdz=2∫35fzdz=2∫05fzdz−∫03fzdz=210−3=14.Chọn đáp án B
Rút gọn biểu thức P=a3+1.a2−3a2−22+2 với a>0.
P=a3
P=a4
P=a5
P=a
P=a3+1.a2−3a2−22+2=a3+1+2−3a2−22+2=a3a−2=a5
Chọn đáp án C
Trong không gian Oxyz, mặt cầu S:x2+y2+z2−8x+2y+1=0 có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là
I−4; 1; 0, R=4
I8; −2; 0, R=217
I4; −1; 0, R=4
I4; −1; 0, R=16
Ta có:
• −2a=−8−2b=2−2c=0R2=a2+b2+c2−d⇔a=4b=−1c=0R2=16.
⇒S có tâm I4; −1; 0 và bán kính R=4.Chọn đáp án C
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
3πa2
2πa2
2a2
4πa2
Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq=πRl=2πa2.Chọn đáp án B
Cho hàm số fx=lnx4+2x. Đạo hàm f'1 bằng
1
2
3
0
f'x=4x3+2x4+2x⇒f'1=2
Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P:2x−y+z−1=0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?
N0;1;−2
M2;−1;1
P1;−2;0
Q1;−3;−4
Nhận thấy 2.1−−3+−4−1=0 nên Q1;−3;−4 thuộc (P).Chọn đáp án D
Có bao nhiêu số nguyên dương n để logn256 là một số nguyên dương?
4
1
2
3
logn256=8.logn2=8log2n là số nguyên dương
⇔log2n∈1;2;4;8⇔n∈2;4;16;256.
Vậy có 4 số nguyên dương.Chọn đáp án A
Tập nghiệm của bất phương trình 11+a22x+1>1 là
−∞;−12
0;+∞
−∞;0
−12;+∞
Ta có 0<11+a2<1, ∀a≠0, nếu 11+a22x+1>1⇔2x+1<0⇔x<−12⇔x∈−∞;−12Chọn đáp án A
Cho số phức z=(1−2i)2. Tính mô đun của số phức 1z.
15.
15.
5.
125.
Ta có: z=(1−2i)2=−3−4i⇒z=5⇒1z=1z=15
Vậy mô đun của số phức 1z bằng 15.
Chọn đáp án B
Tổng các nghiệm của phương trình log12x2−5x+7=0 bằng
6
7
13
5
Phương trình tương đương với x2−5x+7=0, tổng các nghiệm của phương trình này là 5 (theo định lý Vi-et).Chọn đáp án D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình vuông tâm O, SA⊥ABCD. Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ABCD bằng độ dài đoạn thẳng nào?
IO
IC
IA
IB
Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của ΔSAC, do đó OI∥ SA.
Ta có IO∥ SASA⊥ABCD⇒IO⊥ABCD.
Vậy dI,ABCD=OI.Chọn đáp án A
Cho hàm số fx liên tục trên R và có một nguyên hàm là Fx. Biết F1=8, giá trị F9 được tính bằng công thức
F9=8+f'1
F9=∫198+fxdx
F9=8+∫19fxdx
F9=f'9
Ta có: ∫19fxdx=Fx19=F9−F1⇔∫19fxdx=F9−8⇔F9=8+∫19fxdxChọn đáp án C
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
V=2a3
V=a31512
V=a3156
V=2a33
Gọi H là trung điểm AB.
Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra SH⊥AB.
Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra SH⊥ABCD.
Xét tam giác SHA vuông tại H.
SH=SA2−AH2=2a2−a22=a152
Diện tích hình vuông là SABCD=a2.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD làV=13.SH.SABCD=a3156.Chọn đáp án C
Biết hai đồ thị hàm số y=x3+x2−2 và y=−x2+x cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C. Khi đó diện tích tam giác ABC bằng
4
3
5
6
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: x3+x2−2=−x2+x⇔x3+2x−x−2=0⇔x=1x=−1x=−2
Khi đó A(−2; −6) ; B(1; 0) ; C(−1; −2) suy ra AB=45; BC=8; AC=17
Áp dụng công thức hê rông ta có SABC=3Chọn đáp án B
Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đạo hàm f'x=x+2x−133−x. Hàm số đạt cực tiểu tại
x=1
x=3
x=2
x=−2
Ta có bảng xét dấu f'x
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x=1.Chọn đáp án A
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3−2x2−4x+5 trên đoạn 1 ; 3 bằng
0
2
-3
3
Ta có y'=3x2−4x−4. Xét trên đoạn 1 ; 3.
y'=0⇔x=2 Nx=−23L.
Ta có y1=0, y2=−3, y3=2
Vậy min1 ; 3y=−3.Chọn đáp án C
Cho hàm số y=x−1x+2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hàm số đồng biến trên R.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số đồng biến trên ℝ\{−2}.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định
Tập xác định: D=ℝ\−2
Ta có: y'=3x+22>0,∀x∈D⇒ Hàm số y=x−1x+2 đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.Chọn đáp án D
Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;−1) và mặt phẳng (P):x+z−2=0.Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
x=3+ty=1+2tz=−t.
x=3+ty=2+tz=−1.
x=3+ty=2tz=1−t.
x=3+ty=2z=−1+t.
Ta có mặt phẳng (P):x+z−2=0
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là nP→=1;0;1
Gọi đường thẳng cần tìm là Δ. Vì đường thẳng Δ vuông góc với (P) nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ.
⇒uΔ→=nP→=1;0;1
Vậy phương trình đường thẳng Δ đi qua M(3;2;−1) và có véc tơ chỉ phương uΔ→=1;0;1 là:
x=3+ty=2z=−1+t.Chọn đáp án D
Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 2 và z+1−2i=3?
2
1
3
0
Gọi số phức z có dạng: z=2+bi b∈ℝ
Ta có: z+1−2i=3⇔2+bi+1−2i=3⇔3+b−2i=3
⇔9+b−22=3⇔b−22=0⇔b=2.
Vậy có một số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán: z=2+2i.Chọn đáp án B
Cho hai số thực x, y thỏa mãn x3+2i+y1−4i=1+24i. Giá trị x+y bằng
3
2
4
-3
Ta có: x3+2i+y1−4i=1+24i
⇔3x+y+2x−4yi=1+24i⇔3x+y=12x−4y=24⇔x=2y=−5
Vậy x+y=−3.Chọn đáp án D
Cho hàm số có f'x và f''x liên tục trên R. Biết f'2=4 và f'−1=−2, tính ∫−12f''xdx
-8
-6
6
2
Ta có: ∫−12f''xdx=f'x−12=f'2−f'−1=4−−2=6Chọn đáp án C
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M3;−2;5, N−1;6;−3. Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
x+12+y+22+z+12=36
x−12+y−22+z−12=36
x+12+y+22+z+12=6
x−12+y−22+z−12=6
Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn MN⇒I1;2;1.
Bán kính mặt cầu R=MN2=−1−32+6+22+−3−522=6.
Vậy phương trình mặt cầu là x−12+y−22+z−12=36.Chọn đáp án B
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?
cosα=22
cosα=1414
cosα=24
cosα=1010
Gọi O là giao điểm của AC và BD, N là trung điểm của BC.
α=SBC,ABCD=SN,ON=SNO^
OB=12BD=2a
Xét ΔSOB vuông tại O: SO=SB2−OB2=a7
Xét ΔSON vuông tại O: SN=SO2+ON2=22a
Xét ΔSON vuông tại O: cosα=ONSN=122=24Chọn đáp án C
Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?
P=13
P=56
P=15
P=23
Số phần tử của không gian mẫu: nΩ=6!=720.
Gọi A là biến cố “hai bi vàng không xếp cạnh nhau”. Do đó A¯ là biến cố hai bi vàng xếp cạnh nhau.
•Xếp 2 bi vàng cạnh nhau vào 6 vị trí có: 5 cách.
•Xếp 4 bi còn lại vào 4 vị trí còn lại có: 4! cách.
Do đó nA¯=5.4!=120.
Vậy P=PA=1−PA¯=1−120720=56.Chọn đáp án B
Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 9m2x+4m2x≥m.5m2x có nghiệm?
1
10
Vô số
9
Từ giả thiết, ta chỉ xét m∈ℤ+
Ta có: 9m2x+4m2x≥m.5m2x⇔95m2x+45m2x≥m 1
Có 95m2x+45m2x≥295m2x.45m2x=265m2x.
Do đó nếu có x0 là nghiệm của bất phương trình 265m2x≥m
thì x0 cũng là nghiệm của 95m2x+45m2x≥m.
Ta xét các giá trị m∈ℤ+ làm cho bất phương trình 265m2x≥m 2 có nghiệm.
Vì 265m2x≥m⇔65m2x≥m2, m∈ℤ+
⇔m2x≥log65m2⇔x≥1m2log65m2, với m∈ℤ+.
Vậy với m∈ℤ+ thì bất phương trình (2) có nghiệm tương ứng là x≥1m2log65m2.
Suy ra có vô số giá trị m∈ℤ+ làm cho bất phương trình (1) có nghiệm.Chọn đáp án C
Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh A1,A2,B1,B2. như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh B1,trục đối xứng B1B2 và đi qua các điểm M,N.Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/m2 .Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết A1A2=4m, B1B2=2m, MN=2m .
2.760.000 đồng
1.664.000 đồng
2.341.000 đồng
2.057.000 đồng
Phương trình (E)có dạng: x24+y21=1
Diện tích (E) là: SE=πab=2π.
Vì MN=2m nên M1;32 .
Vì Parabol có đỉnh B0;−1 và đi qua M1;32 nên (P) có phương trình: y=32+1x2−1.
Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi y=32+1x2−1 và y=1−x24 là: S1=∫−111−x24−32+1x2+1dx
Vậy kinh phí cần sử dụng là: P=S1.200000+(SE−S1).500000≈2340000 đồng.
Chọn đáp án C
Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên 1 ; 3, fx≠0 với mọi x∈1 ;3, đồng thời f'x1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b a∈ℤ, b∈ℤ, tính tổng S=a+b2.
S=0
S=2
S=−1
S=4
Với x∈1; 3 ta có: f'x1+fx2=fx2x−12⇔f'x1+fx2fx4=x−12.
⇔1fx4+2fx3+1fx2f'x=x2−2x+1
Suy ra: −13fx3−1fx2−1fx=x33−x2+x+C (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: f1=−1⇒13−1+1=13−1+1+C⇒C=0.
Dẫn đến: −131fx3−1fx2−1fx=−13−x3−−x2−−x *.
Vì hàm số gt=−13t3−t2−t nghịch biến trên R nên *⇒1fx=−x⇒fx=−1x.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó ∫13fxdx=∫13−1xdx=−ln3⇒a=−1, b=0. Vậy S=a+b2=−1.Chọn đáp án C
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại C biết AB=2a, AC=a, BC'=2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
V=4a3.
V=3a36.
V=4a33.
V=3a32.
Tam giác ABC vuông tại C nên BC=AB2−AC2=a3.
Tam giác BCC' vuông tại C nên CC'=BC'2−BC2=a.
Thể tích của khối lăng trụ là V=SABC.CC'=12AC.BC.CC'=3a32.Chọn đáp án D
Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong C có phương trình y=14 x2. Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số S1S2 bằng
12
2
32
3
Ta có diện tích hình vuông OABC là 16 và bằng S1 + S2.
S2= ∫0414x2dx = x31204 = 163 ⇒ S1S2 = 16−S2S2 = 16−163163 = 2Chọn đáp án B
Cho hàm số fx=x4. Hàm số gx=f'x−3x2−6x+1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1, x2. Tính m=g(x1)g(x2).
m=116
m=−11
m=0
m=−37116
Theo bài ra ta có f'x=4x3.
Suy ra gx=4x3−3x2−6x+1.
Suy ra g'x=12x2−6x−6=0⇔x1=1x2=−12
Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.
Hàm số gx=f'x−3x2−6x+1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1=1, x2=−12.
Suy ra m=g1.g2=4−3−6+14.−123−3.−122−6.−12+1=−11.Chọn đáp án B
Cho hàm số y=fx liên tục trên 12; 2 và thỏa điều kiện fx+2.f1x=3x ∀x∈ℝ*. Tính I=∫122fxxdx.
I=32
I=4ln2−158
I=52
I=4ln2+158
Xét x∈ℝ*, ta có
fx+2.f1x=3x 1.
Thay x bằng 1x ta được
f1x+2.fx=3x 2.
Nhân hai vế đẳng thức (2) cho 2 rồi trừ cho đẳng thức (1) vế theo vế ta có
3fx=6x−3x⇒fxx=2x2−1.
Suy ra I=∫122fxxdx=∫1222x2−1dx=−2x−x122=32.Chọn đáp án A
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x+32=y+11=z−1 và mặt phẳng P: x+y−3z−2=0. Gọi d' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d. Đường thẳng d' có phương trình là
x+12=y5=z+11
x+1−2=y5=z+11
x+1−2=y5=z+1−1
x+1−2=y−5=z+11
Phương trình tham số của d: x=−3+2ty=−1+tz= −t.
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ:
x=−3+2ty=−1+tz= −tx+y−3z−2=0⇔x=−3+2ty=−1+tz= −t−3+2t−1+t+3t−2=0⇒t=1x=−1y=0z=−1⇒d∩P=M−1; 0; −1.
Vì d' nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d nên d' đi qua M và có véc tơ chỉ
phương u→d'=n→P∧u→d=2; −5; −1 hay d' nhận véc tơ v→=−2; 5; 1 làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình của : x+1−2=y5=z+11.Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A2 ; 0 ; 1, B3 ; 1 ; 5, C1 ; 2 ; 0, D4 ; 2 ; 1. Gọi α là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với α và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng α là lớn nhất. Giả sử phương trình α có dạng: 2x+my+nz−p=0. Khi đó, T=m+n+p bằng:
9
6
8
7
Vì mặt phẳng α đi qua D4 ; 2 ; 1 nên phương trình α có dạng:
a.x−4+b.y−2+c.z−1=0 (với a2+b2+c2>0)
Đặt S=dA,α+dB,α+dC,α=−2a−2b+−a−b+4c+−3a−ca2+b2+c2.
Theo giả thiết A, B, C, nằm cùng phía đối với α nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
−2a−2b>0−a−b+4c>0−3a−c>0.
Khi đó, S=−2a−2b−a−b+4c−3a−ca2+b2+c2=−6a−3b+3ca2+b2+c2.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số −6 ; −3 ; 3 và a ; b ; c, ta được:
−6a−3b+3c≤−6a−3b+3c≤62+32+32.a2+b2+c2.
⇒S≤36.
Đẳng thức xảy ra ⇔−6a−3b+3c≥0a−6=b−3=c3. Ta chọn a=−2b=−1c=1.
⇒α:−2x−y+z+9=0 hay α:2x+y−z−9=0.
⇒m=1, n=−1, p=9
Vậy T=m+n+p=9.Chọn đáp án A
Cho hàm số y=fx có đạo hàm f'x=x+14x−m5x+33 với mọi x∈ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈−5;5 để hàm số gx=fx có 3 điểm cực trị?
5
4
3
6
Do hàm số y=fx có đạo hàm với mọi x∈ℝ nên y=fx liên tục trên R, do đó hàm số gx=fx liên tục trên R. Suy ra g0=f0 là một số hữu hạn.
Xét trên khoảng 0;+∞: gx=fx
g'x=f'x=x+14x−m5x+33
g'x=0⇔x−m5=0⇔x=m
- TH1: m=0 thì x=0. Khi đó x=0 là nghiệm bội lẻ của g'x nên g'x đổi dấu một lần qua x=0 suy ra hàm số gx có duy nhất một điểm cực trị là x=0.
- TH2: m<0 thì g'x vô nghiệm, suy ra g'x>0 với mọi x>0
Hàm số y=gx đồng biến trên khoảng 0;+∞
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số gx=fx có duy nhất một điểm cực trị là x=0.
- TH 3: m>0 thì x=m là nghiệm bội lẻ của g'x
Bảng biến thiên của hàm số gx=fx
- Lại có m∈[−5;5] và m nguyên nên m∈1,2,3,4,5.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m.Chọn đáp án A
Cho số phức z thỏa mãn z+1=3. Tìm giá trị lớn nhất của T=z+4−i+z−2+i.
213
246
226
223
Gọi z=x+yi, x, y∈ℝ.
Ta có, số phức z thỏa mãn z+1=3⇔x+12+y2=3.
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn z+1=3 là một đường tròn có tâm I−1 ; 0 và bán kính r=3.
Gọi Mx ; y∈CI,3.
⇒T=z+4−i+z−2+i
=MI1+MI2=x+42+y−12+x−22+y+12, với I1−4 ; 1, I22 ; −1.
Ta có, II1→=−3 ; 1, II2→=3 ; −1. Suy ra II1→, II2→ cùng phương và 3 điểm I, I1, I2 thẳng hàng.
Ta lại có, I là trung điểm của I1, I2 và II1→=10>r, II2→=10>r. Suy ra các điểm I1, I2 nằm ngoài đường tròn CI,3.
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.
Mặt khác: MI12+MI22=2MI2+I1I222=2.3+20=26, với I1I2→=26, I1I2→=6 ;−2.
Ta có, T=MI1+MI2≤2MI12+MI22⇒T=MI1+MI2≤213.
Vậy, giá trị lớn nhất của T=z+4−i+z−2+i bằng 213 khi và chỉ khi MI1=MI2 ⇒ΔMI1I2 cân tại M.Chọn đáp án A
Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình 4x2−2x+1−m.2x2−2x+2+3m−2=0 có 4 nghiệm phân biệt.
−∞;1∪2;+∞
2;+∞
2;+∞
1;+∞
Xét phương trình: 4x2−2x+1−m.2x2−2x+2+3m−2=0 1
Đặt t=2x2−2x+1=2x−12. Do đó, ta có x−12=log2t. Điều kiện t≥1
Ta có phương trình: (1) trở thành: t2−2mt+3m−2=0 2
Ta nhận thấy mỗi giá trị t>1 cho hai giá trị x tương ứng. Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 1<t1<t2.
2⇔2t−3m=t2−2.
Nhận xét: , không là nghiệm phương trình.
Xét t≠32,2⇔m=t2−22t−3. Xét hàm gt=t2−22t−3 trên 1;+∞\32
g't=2t2−6t+42t−32; g't=0⇔t=1t=2
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần m>2.Chọn đáp án B
