Đề số 13
50 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và SA = SB = SC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
13a3
12a3
16a3
23a3
Đáp án C
Thể tích của khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau là: V=16SA.SB.SC=a36
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy, cho A(0;-1;1), B(-2;1;-1), C(-1;3;2). Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:
D-1;1;23
D1;3;4
D1;4;4
D-1;-3;-2
Đáp án C
Ta có BA→=CD→⇔2;-2;2=xD+1;yD-3;zD-2⇒D1;1;4.
Tập xác định của hàm số y=1x2-4x+5+log3x-4 là
D=-4;+∞
D=[4;+∞)
D=4;5∪5;+∞
D=4;+∞
Đáp án D
Hàm số đã cho xác định khi x-4>0x2-4x+5>0⇔x>4x-22+1>0⇔x>4.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):6x - 3y + 2z - 6 = 0. Tính khoảng cách d từ điểm M(1;-2;3) đến mặt phẳng (P).
d=317
d=128585
d=187
d=127
Đáp án D
Khoảng cách từ điểm M(1;-2;3) đến mặt phẳng (P) là d=6.1+3.2+2.3-662+9+4=127.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên đoạn -π2;-π3 lần lượt là
-12;-32
-32;-1
-32;-2
-22;-32
Đáp án B
Ta có: y' = cosx trên đoạn -π2;-π3 hàm số y = sinx đồng biến.
Lại có sin-π2=-1;sin-π3=-32 vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên đoạn -π2;-π3 lần lượt là -32;-1.
Cho số phức w=2i-3+2i7. Tính môđun của số phức wi.
Không tồn tại
wi=13
wi=5
wi=17
Đáp án C
Ta có w=2i-3+2i.(i2)3=2i-3+2i=-3+4i⇒wi=-4-3i⇒wi=16+9=5.
Tính đạo hàm của hàm số y=-x7+2x5+3x3
y'=-x6+2x4+3x2
y'=-7x6-10x4-6x2
y'=7x6-10x4-6x2
y'=-7x6+10x4+9x2
Đáp án D
Ta có y'=-7x6+10x4+9x2.
Tính L=lim8n5-2n3+14n5+2n2+1
L=2
L=8
L=1
L=4
Đáp án A
Ta có: L=lim8n5-2n3+14n5+2n2+1=lim8-2n2+1n54+2n3+1n5=2.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f(x) trục Ox và hai đường thẳng x = a,x = b (a < b) xung quanh trục Ox
π∫abf2xdx
∫abf2xdx
π∫abfxdx
2π∫abf2xdx
Đáp án A
Ta có| V = π∫abf2xdx.
Số nào sau đây lớn hơn 1
log0,518
log0,2125
log1636
log0,512
Đáp án A
Ta có| logab>0⇔[a,b>11>a;b>0.
Cho hàm số fx=4x-4-x2. Tính M = y' + yln4
M=4x
M=4-x
M=4xln4
M=4-xln4
Đáp án C
Ta có y'=4xln4+4-xln42⇒M=124x+4-xln4+124x-4-x=4xln4.
Gọi x, y là các số thực thỏa điều kiện 3x-iy+5xyi=x+iy2. Tìm tất cả các giá trị của y.
y = -1
y = 0
y = 3
y=13
Đáp án B
Ta có 3x-y+5xyi=x2-y2+2xyi⇔5xy-y=2xy3x=x2-y2⇒[y=0x=13⇒y2=-89.
Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của một hình lập phương là
16
26
8
24
Đáp án B
Khối lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt.
Do đó tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của một hình lập phương là 26.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2-2x+4y+2z-3=0. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
R = 3
R = 9
R = 33
R = 3
Đáp án A
Xét mặt cầu: S:x-12+y+22+z+12=9⇒bán kính R = 3.
Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 2a, góc ở đỉnh của hình nón 2β=60°. Tính thể tích V của khối nón đã cho
V=πa3
V=πa32
V=πa333
V=πa33
Đáp án C
Ta có R=l.sin30°=2a.12=ah=l.cos30°=2a.32=a3→V=13πR2.h=13πa2.a3=33πa3.
Cho cấp số cộng un có u4=-12,u14=18. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
S16=-24
S16=26
S16=-25
S16=24
Đáp án D
Ta có: u14=u4+10d⇒d=u14-u410=3
Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là: S=u1+u162.16=u4-3d+u14+2d2.16
=6-32.16=24.
Cho hàm số y = f(x) có limx→+∞fx=1 và limx→-∞fx=-1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = -1
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = -1
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang
Đáp án A
Từ limx→+∞fx=1⇒TCN:y=1 và limx→-∞fx=-1⇒TCN:y=-1.
Cho hàm số y=fx=21+x-8-x3x. Tính limx→0fx
112
1312
+∞
1011
Đáp án B
Ta có limx→0fx=21+x-8-x3x=limx→021+x-8-x3x
limx→02x1+x+1-x4+28-x3+8-x23x=limx→021+x+1+14+28-x3+8-x23=1312.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB. Cạnh bên SD = 3a2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
13a3
33a3
63a3
23a3
Đáp án A
Ta có AD=HA2+AD2=a22+a2=a52⇒SH=SD2-AD2=a
Thể tích khối chóp đã cho là: V=13SH.SABCD=13a.a2=13a3.
Biết rằng ∫013e1+3xdx=a5e2+b3e+c. Tính T=a+b2+c3.
T=6
T=9
T=10
T=5
Đáp án C
Đặt t=1+3x⇒t2=1+3x⇒2tdt=3dx⇒dx=2tdt3. Đổi cận x=0⇒t=1;x=1⇒t=2
Khi đó ∫013e1+3xdx=∫123et.2tdt3=2∫12tetdt=2∫12td(et)=2tet12-2∫12etdt=4e2-2e-2et12
=4e2-2e-2e2-e=2e2⇒a=10,b=0,c=0⇒T=10.
Cho bốn hàm số y=3x1, y=13x2, y=4x3, y=14x4 có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là C1,C2,C3,C4 như hình vẽ. Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là
1-C2,2-C3,3-C4,4-C1
1-C1,2-C2,3-C3,4-C4
1-C4,2-C1,3-C3,4-C2
1-C4,2-C2,3-C3,4-C1
Đáp án C
Ở đây chúng ta có 2 hàm đồng biến là (1), (3) tương ứng C3 và C4 và 2 hàm nghịch biến còn lại. Để ý rằng 4>3 nên đồ thị hàm số (3) sẽ tăng nhanh hơn đồ thị hàm số (1) với x > 0.
Suy ra 3-C3,1-C4. Tương tự ta cũng có 2-C1,4-C2.
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD. DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
ABE⊥ADC
ABD⊥ADC
ABC⊥DFK
DFK⊥ADC
Đáp án B
Ta có ngay B sai, góc giữa (ABD) và (ADC) không nhất thiết phải bằng 90°
Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ
56143
87143
73143
70143
Đáp án D
Xác suất cần tìm là C83C51+C84C5+84=70143.
Cho hàm số fx=x+4-2x,x>0mx+m+14,x≤0,m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.
m = 1
m = 0
m=12
m=-12
Đáp án B
Ta có limx→0+x+4-2x=limx→0+x+4-2x+4-22=limx→0+1x+4+2=14
Và limx→0-fx=limx→0-mx+m+14=m+14
Yêu cầu bài toán limx→0+f(x)=limx→0-f(x)⇔m=0.
Tính F(x)=∫xsinxdx. Chọn kết quả đúng?
Fx=142xcos2x+sin2x+C
Fx=-142xcos2x+sin2x+C
Fx=-142xcos2x-sin2x+C
Fx=142xcos2x-sin2x+C
Đáp án C
Ta có: F(x)=-12∫xdcos2x=-12xcos2x+12∫cos2xdx=-12xcos2x+14sin2x+C.
Một cấp số nhân có số hạng đầu u1=3, công bội q = 2. Biết Sn=765. Tìm n?
n = 7
n = 6
n = 8
n = 9
Đáp án C
Ta có: Sn=u1.1-qn1-q=3.1-2n1-2=765⇒2n-1=255⇒n=8.
Biến đổi ∫03x1+1+xdx thành ∫12ftdt với t=1+x. Khi đó f(t) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?
ft=2t2-2t
ft=t2+t
ft=2t2+2t
ft=t2-t
Đáp án A
Ta có ∫03x1+1+xdx=∫12t2-11+tdt2-1=∫12t-1.2tdt⇒ft=2t2-2t.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a, cạnh bên SA = a2 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD
a66
a64
a62
a63
Đáp án C
Gọi O là trung điểm của SD. Ta có:
AD=DM=a2 và AD=2a⇒AM⊥DM
Lại có DM⊥SA⇒DM⊥SAM⇒DM⊥SM
Vì tam giác SAD vuông tại A nên OS = OD = OA. Tương tự với tam giác SMD nên OS = OD = OM.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ADM. Khi đó R=SD2=SA2+DA22=a62.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau mà số đó nhất thiết có mặt các chữ số 1,2,5?
684
648
846
864
Đáp án B
Số có 5 chữ số khác nhau mà có 1, 2, 5 thì 2 chữ số còn lại lấy từ 4 chữ số 0, 3, 4, 6.
Lấy 2 số trong 4 số có C42=6 cách, trong đó có 3 trường hợp gồm 0;3,0;4,0;6.
Ba trường hợp trên giống nhau và có 3.4.4.3.2.1=288 số.
Ba trường hợp còn lại giống nhau và có 3.5! = 360 số.
Vậy có tất cả 288 + 360 = 648 số cần tìm
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình log22x+mlog2x-m≥0 nghiệm đúng với mọi giá trị của x∈0;+∞?
Có 4 giá trị nguyên
Có 6 giá trị nguyên
Có 5 giá trị nguyên
Có 7 giá trị nguyên
Đáp án C
Đặt t=log2x với x∈0;+∞ thì t∈ℝ, khi đó bất phương trình trở thành t2+mt-m>0*
Để (*) nghiệm đúng với mọi t∈ℝ⇔∆*≤0⇔m2+4m≤0⇔m∈-4;0
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d a,b,c∈ℝ,a≠0 có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f '(x) cho bởi hình vẽ dưới đây.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
S = 9
S=54
S=214
S=274
Đáp án D
Dựa vào đồ thị hàm số y=f'(x)⇒f'x=3x2-1
Khi đó fx=∫f'xdx=x3-3x+C.
Điều kiện đồ thị hàm số f(x) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 là:
fx=4fx=0⇒x3-3x+C=43x2-1=0⇔x=-1C=2 (Do x < 0 suy ra fx=x3-3x+2C
Cho C∩Ox⇒ hoành độ các giao điểm là x = -2,x = 1
Khi đó S=∫-21x3-3x+2dx=274.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:x1=y2=z-1-1 và d':x=1-3ty=1+2tz=1-t. Mặt phẳng (P) chứa d, tạo với đường thẳng d¢ một góc lớn nhất đi qua điểm nào dưới đây?
M(-1;2;1)
N(1;2;-3)
P(1;1;1)
Q(1;0;-4)
Đáp án D
Áp dụng công thức tính nhanh, ta có: nP→=ud→;ud→;nd'→=20;-8;4=45;-2;1
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là: 5x - 2y +z - 1 = 0 đi qua Q(1;0;-4).
Cho hàm số y=x3-3x-m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có 5 điểm cực trị?
1
2
3
4
Đáp án C
Ta có y'=3x2-3x3-3x-mx3-3x-m=3x-1x+1x3-3x-mx3-3x-m
Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình x3-3x-m có 3 nghiệm khác -1;1
Ta có x3-3x-m=0⇔m=x3-3x. Xét hàm số fx=x3-3x với x∈ℝ
Ta có
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có 3 nghiệm thì -2<m<2⇒m∈-1;0;1.
Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100 000đ m/m2chi phí để làm mặt đáy là 120 000đ m/m2. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).
58135 thùng
57582 thùng
18209 thùng
12525 thùng
Đáp án A
Gọi R và h lần lượt là bán kính và chiều cao của 1 thùng sơn
Suy ra dung tích 1 thùng sơn: V=πR2h=0,005m3
Gọi n là số thùng sơn tối đa sản xuất được
Tổng chi phí đó bỏ ra là: T=n×100.000×Sxq+120.000×Sd
=n×100.000×2πRh+120.000×2πR2≤109⇔n≤5×104π10×Rh+12×R2
Mà 10Rh+12R2=5Rh+5Rh+12R2≥3300R4h23=3300V2π23
⇒n≤5×104π10×Rh+12×R2≤5×104π3×300V2π23≈58135,9⇒n=58135.
Cho y = f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [-6;6]. Biết rằng ∫-12fxdx=8 và ∫13f-2xdx=3. Tính I=∫-16fxdx
I = 11
I = 5
I = 14
I = 2
Đáp án C
Đặt -2x=t⇒∫-2-6ftd-t2=3⇒∫-6-2ftdt=6⇒∫-6-2fxdx=6
Ta có y = f(x) là hàm số chẵn ⇒f-x=fx⇒∫-6-2f-xdx=6
Đặt -x=u⇒∫62fud-u=6⇒∫62fudu=6⇒∫26fxdx=6
Bài ra ∫-12fxdx=8⇒∫-12fxdx+∫26fxdx=14⇒∫-16fxdx=14.
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất
h=R2
h=R2
h=R22
h=R
Đáp án A
Vì hình trụ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R cố định
⇒R2=r2+h22=r2+h24≥2r2×h24=rh⇒rh=R2
Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq=2πrh≤2πR2
Dấu “=” xảy ra khi r2+h24=R2r2=h24⇒h=R2.
Đội thanh niên xung kích của trường THPT Moon.vn có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm cụ mỗi buổi sáng. Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối.
511
611
2122
1522
Đáp án A
Chọn 4 học sinh có C124 cách chọn.
Chọn 4 học sinh trong đó 4 học sinh được chọn có cả 3 khối có: C52C41C31+C51C42C31+C51C41C32=270
Xác suất để 4 hoc sinh đươc chon có cả 3 khối là P=270C124=611
Do đó xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối là 1-611=511.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=1+x+1x2-1-mx+2m có hai tiệm cận đứng?
0
2
3
1
Đáp án C
Yêu cầu bài toán ⇔x2-(1-m)x+2m=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng -1
Khi và chỉ khi ∆>0x1+x2+2≥0x1+1x2+1≥0⇔1-m2-4.2m>01-m+2≥02m+2-m+1≥0⇔-2≤m≤5-26.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên.
Xét các khẳng định sau:
(I) Hàm số y = f(x) có ba cực trị.
(II) Phương trình f(x) = m + 2018 có nhiều nhất ba nghiệm.
(III) Hàm số y = f(x + 1) nghịch biến trên khoảng (0;1) .
Số khẳng định đúng là:
1
3
2
0
Đáp án C
Ta có f'x=0⇔x=1;2;3⇒ hàm số có 3 điểm cực trị
Lại có gx=fx-m-2018⇒g'x=f'x=0⇒ có 3 nghiệm phân biệt
Suy ra phương trình fx=m+2018 có nhiều nhất 4 nghiệm
Xét y=fx+1⇒y'=f'x+1<0⇔[x+1∈1;2x+1∈3;+∞⇔[0<x<1x>2
Suy ra hàm số y = f(x + 1) nghịch biến trên khoảng (0;1).
Xét tứ diện AB = BC = CD = DA = 1 và AC = BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng
2327
4327
239
439
Đáp án A
Gọi I, H lần lượt là trung điểm AC, BD. Ta có BI⊥ACDI⊥AC⇒AC⊥IBD và VI.BCD=VI.ABD
Lại có IB=AB2-AI2=1-x24,với AC = BD = x.
Và IH=IB2-BH2=1-x24-x24=1-x22
Diện tích tam giác IBD là S∆IBD=12IH.BD=x21-x22
Suy ra VABCD=2VI.BCD=23IC.SIBD=x3.x21-x22=x261-x22
Xét hàm số fx=x22-x2→maxfx=469
Vậy thể tích lớn nhất là Vmax=469:62=2327
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số (x;y) thỏa mãn e2x+y+1-e3x+2y=x+y+1 đồng thời thỏa mãn log222x+y-1-m+4log2x+m2+4=0.
3
4
5
6
Đáp án A
Ta có e2x+y+1-e3x+2y=x+y+1⇔e2x+y+1+2x+y+1=e3x+2y+3x+2y*
Xét ft=et+t là hàm số đồng biến trên ℝ mà f2x+y+1=f3x+2y⇒y=1-x
Khi đó log222x+y-1-m+4log2x+m2+4=0
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆=m+4-4m2+4≥0⇔0≤m≤83.
Bác An có ba tấm lưới mắt cáo, mỗi tấm có chiều dài 4 m. Bác muốn rào một phần vườn của nhà bác dọc theo bờ tường (bờ tường ngăn đất nhà bác với đất nhà hàng xóm) theo hình thang cân ABCD (như hình vẽ) để trồng rau (AB là phần tường không cần phải rào). Bác An rào được phần đất vườn có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào nhất sau đây?
28m2
7m2
35m2
21m2
Đáp án D
Theo bài ra, ta có AD = DC = CB = 4. Đặt AB = x
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D, C trên AB
Vì ABCD là hình thang cân ⇒AH = BK;CD = HK
Đặt AH=x⇒AB=HK+2AH=2x+4 và DH=16-x2
Diện tích hình thang cân ABCD là
SABCD=12DH.AB+CD=x+416-x2=fx
Xét hàm số fx=x+416-x2 trên (0;4]→max(0;4]fx=123. Vậy Smax=123
Tính giá trị của biểu thức P=x2+y2-xy+1 biết rằng 4x2+1x2-1=log214-y-2y+1 với x≠0;-1≤y≤132.
P = 4
P = 2
P = 1
P = 3
Đáp án B
Ta có x2+1x2-1≥2x2.1x2-1=1⇒4x2+1x2-1≥414-y-2y+1≤16⇒log214-y-2y+1≤4
Theo giả thiết 4x2+1x2-1=log214-y-2y+1⇒x2=1x2y=0⇔x2=1y=0
Vậy giá trị biểu thức P=x2+y2-xy+1=2.
Cho dãy số un thỏa mãn log3u1-2log2u1+logu1-2=0 với mọi n≥1. Giá trị nhỏ nhất của n để un>100100-10 bằng:
326
327
225
226
Đáp án B
Đặt t=logu1, khi đó giả thiết⇔t3-2t2+t-2=0⇔t-2t2+1=0⇔t=2⇒logu1=2
Ta có un+1=2un+10⇔un+1+10=2un+10⇔vn+1=2vn với vn=un+10
Dễ thấy vn+1=2vn là một cấp số nhân với công bội q=2⇒vn=v1.2n-1
Mà logu1=2⇒u1=102=100 suy ra v1=u1+10=110⇒vn=100.2n-1
Khi đó un=vn-10=100.2n-1-10>10100-10⇔2n-1>1098⇔n>log21098+1=326,54
Vậy giá trị nhỏ nhất của n cần tìm là nmin=327.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đạo hàm f '(x) thỏa mãn f'x=1-xx+2.gx+2018 trong đó gx<0,∀x∈ℝ. Hàm số y=f1-x+2018x+2019 nghịch biến trên khoảng nào?
1;+∞
0;3
-∞;3
3;+∞
Đáp án D
Ta có y'=f1-x+2018x+2019'=1-x'.f'1-x+2018=-f'1-x+2018
=-x3-x.g1-x-2018+2018=-x3-x.g1-x mà g1-x<0;∀x∈ℝ
Nên y'<0⇔-x3-x.g1-x<0⇔x3-x.g1-x>0⇔x3-x<0⇔[x>3x<0
Khi đó, hàm số y=f1-x+2018x+2019 nghịch biến trên khoảng 3;+∞
Cho tứ diện ABCD có CD = 3. Hai tam giác ACD, BCD có diện tích lần lượt là 15 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 20. Tính cotan của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)?
34
35
53
43
Đáp án D
Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) ⇒AH⊥BCD
Kẻ HK⊥CDK∈CD⇒CD⊥AHK⇒ACD;BCD^=AKH^
Ta có VABCD=13AH.S∆BCD⇒AH=3VS∆BCD=3.2010=6
Và S∆ACD=12AK.CD⇒AK=2.SCD=2.153=10
Tam giác AHK vuông tại H, có cotAKH^=HKAH=102-626=43
Cho số phức z thỏa 4z+i+3z-i=10. Giá trị nhỏ nhất của z bằng
12
57
32
1
Đáp án D
Hình vẽ minh họa
Gọi A(0;-1);B(0;1) có trung điểm là O(0;0). Điểm M biểu diễn số phức z
Theo công thức trung tuyến trong tam giác MAB thì z2=MO2=MA2+MB22-AB24
Theo giả thiết, ta có 4MA + 2MB = 10.
Đặt MA=t⇒MB=10-4t3
Vì MA-MB=10-7t2≤AB=2⇒-6≤10-7t≤6⇔a∈47;167
Ta có MA2+MB2=t2+10-4t32=25t2-80t+1009=5t-82+369
Do -367≤5t-8≤347⇒0≤5t-82≤129649⇒MA2+MB2≥4 nên z2≥1⇒m=zmin=1.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f(x)>0,∀∈ℝ. Biết f(0) = 1 và f'xfx=2-2x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt.
m > e
0<m≤1
0 < m < e
1 < m < e
Đáp án C
Với fx>0,∀x∈ℝ. Xét biểu thức f'xfx=2-2x*
Lấy nguyên hàm 2 vế (*), ta được ∫dfxfx=∫2-2xdx
⇔∫dfxfx=-x2+2x+C⇔lnfx=-x2+2x+C
Mà f(0) =1 suy ra C = lnf(0) = ln1 = 0. Do đó fx=e-x2+2x
Xét hàm số fx=e-x2+2x trên -∞;+∞, có f'x=-2x+2=0⇔x=1
Tính giá trị f1=e;limx→-∞fx=0;limx→-∞fx=0
Suy ra để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt ⇔0<m<e.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;6;2), B(3;0;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x - y + 2 =0. Bán kính mặt cầu (S) có giá trị nhỏ nhất là:
5344
4266
5304
2186
Đáp án B
Cách 1: Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S), vì I∈(P)⇒I(a;a+2;c)
Ta có R=IA=IB⇔a-12+a-42+c-22=a-32+a+22+c2⇔c=2-2a
Khi đó R=IA=a-12+a-42+4a2=6a2-10a+17=6x-562+776≥4626
Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) là Rmin=4626
Cách 2: Tham khảo hình bên
Ta có I thuộc giao tuyến mặt phẳng trung trực AB và P⇒IM≥MH
⇒R≥HA⇒Rmin=HA với H là hình chiếu của M trên giao tuyến ⇒Rmin=4626
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: f(x)>0,∀∈ℝf'x=-ex.f2x,∀∈ℝf0=12
Tính giá trị của f(ln2)
ln2+12
14
13
ln22+12
Đáp án C
Ta có f'x=-ex.f2x⇔f'xf2x=-ex⇔∫f'xf2xdx=∫-exdx=∫dfxf2xdx=-ex+C
⇔-1fx=-ex+C⇔fx=1ex-C mà f0=12⇒11-C=12⇒C=-1
Vậy fx=1ex+1⇒fln2=1eln2+1=12+1=13.
