Đề số 12
50 câu hỏi
Tập nghiệm của phương trình 2x=−1 là
∅
{1}
{2}
{0}
Ta có 2x>0 nên phương trình 2x=−1 vô nghiệm.Chọn đáp án A
Đường cong trong hình vẽ bên là của hàm số nào dưới đây?
y=−x4+3x2−1
y=−x3+3x2−1
y=x4−3x2−1
y=x3−3x2−1
Dựa vào đồ thị và đáp án, hàm số cần tìm có dạng y=ax4+bx2+c với a<0.Chọn đáp án A
Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
Hàm số có một điểm cực trị
Giá trị lớn nhất của hàm số là 3
Hàm số có hai điểm cực trị
A sai vì hàm số chỉ đạt cực trị tại x=2
B sai vì trên 0 ; 2 hàm số đồng biến.
C đúng vì hàm số chỉ đạt cực trị tại x=2.
D sai vì limx→−∞y=+∞ nên hàm số không có giá trị lớn nhất.Chọn đáp án B
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB=AC=a, BAC^=120°. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .
V=a32
V=2a3
V=a38
V=a3
Gọi H là trung điểm đoạn AB⇒SH⊥AB( vì tam giác SAB là tam giác đều).
SAB⊥ABCSAB∩ABC=ABSH⊂SAB; SH⊥AB⇒SH⊥ABCChọn đáp án A
Cấp số cộng un có số hạng đầu u1=3, công sai d=5, số hạng thứ tư là
u4=18
u4=8
u4=14
u4=23
u4=u1+3d=3+5.3=18
Chọn đáp án A
Đạo hàm của hàm số y=log5x là
y'=xln5
y'=1xln5
y'=xln5
y'=ln5x
Ta có logax'=1xlna. Do đó log5x'=1xln5.Chọn đáp án B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M−2 ; 1 ; −1 thuộc mặt phẳng nào sau đây?
−2x+y−z=0
x+2y−z−1=0
2x−y−z+6=0
−2x+y−z−4=0
Xét đáp án A, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 6 = 0 (vô lý).
Xét đáp án B, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 0 = 0 (đúng).
Xét đáp án C, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được -2 = 0 (vô lý).
Xét đáp án D, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 2 = 0 (vô lý).Chọn đáp án B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương tình mặt cầu?
x2+y2+z2−3x+7y+5z−1=0
x2+y2+z2+3x−4y+3z+7=0
2x2+2y2+2z2+2x−4y+6z+5=0
x2+y2+z2−2x+y−z=0
Phương trình dạng tổng quát của mặt cầu: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 với a2+b2+c2−d>0 *.
Xét từng đáp án, với đáp án D ta thấy: a=−32, b=2, c=−32, d=7⇒a2+b2+c2−d=−2<0
nên không thỏa điều kiện (*).Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−2−1=y−12=z1. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
u2→=2;1;0.
u3→=2;1;1.
u4→=−1;2;0.
u1→=−1;2;1.
Phương trình chính tắc của đường thẳng qua Mx0;y0;z0 và có vec tơ chỉ phương u→ = a;b;c có dạng x−x0a = y−y0b = z−z0c với abc ≠ 0 nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là u1→=−1;2;1.Chọn đáp án D
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 là
24π
36π
42π
12π
Diện tích xung quanh của hình trụ đó là Sxq=2πrl=2π.3.4=24π.Chọn đáp án A
Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ ?
C103.C82
A103.A82
A103+A82
C103+C82
Chọn ra 3 học sinh nam trong học sinh nam có C103 cách chọn.
Chọn ra 2 học sinh nữ trong học sinh nữ có C82 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ là: C103.C82.Chọn đáp án A
Cho khối nón có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng r. Thể tích của khối nón đã cho bằng
2πrh
43πr2h
13πr2h
πr2h
Thể tích của khối nón là V=13πr2h.Chọn đáp án C
Cho hai số phức z1=1−2i, z2=−2+i. Khi đó z1z2 bằng
-5i
4-5i
5i
-4+5i
Ta có z1z2=1−2i−2+i=5i.
Vậy z1z2=5i.Chọn đáp án C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1 ; 1 ; 0, B0 ; 3 ; 3. Khi đó
AB→=0 ; 3 ; 0
AB→=−1 ; 2 ; 3
AB→=1 ; 2 ; 3
AB→=−1 ; 4 ; 3
Ta có: AB→=0−1 ; 3−1 ; 3−0⇔AB→=−1 ; 2 ; 3 .
Chọn đáp án B
Cho các hàm số fx và gx liên tục trên R. Tìm mệnh đề sai.
∫abfxdx=−∫bafxdx
∫abfx.gxdx=∫abfxdx.∫abgxdx
∫abfx−gxdx=∫abfxdx−∫abgxdx
∫acfxdx+∫cbfxdx=∫abfxdx
Chọn đáp án B
Cho a là số thực dương tùy ý, a34 bằng
a34
a−34
a43
a−43
Ta có: a34=a34.Chọn đáp án A
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=3−2xx+1 là
x=−1
y=−2
y=3
x=−2
Ta có: limx→±∞y=limx→±∞3−2xx+1=−2.
Suy ra phương trình đường tiệm cận ngang cần tìm là: y=−2Chọn đáp án B
Nguyên hàm ∫e−2x+1dx bằng:
e−2x+1+c
−2e−2x+1+c
12e−2x+1+c
−12e−2x+1+c
∫e−2x+1dx=−12e−2x+1+c
Chọn đáp án D
Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
z=1−2i
z=2−i
z=2+i
z=1+2i
Điểm M trên hình vẽ biểu diễn số phức z=1+2i.Chọn đáp án D
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, BAC^=1200,AB=a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
a336
a334
a3312
a332
Ta có SABC=12AB.AC.sinBAC^=a234, do đó thể tích khối chóp S.ABC là:
VS.ABC=13.SA.SABC=a3312.Chọn đáp án C
Cho số phức z thỏa mãn z¯+2z=3+i. Giá trị của biểu thức z+1z bằng
12−12i
12+12i
32−12i
32+12i
Đặt z=a+bi với a, b∈ℝ.
Ta có z¯+2z=3+i⇔a−bi+2a+bi=3+i⇔3a=3b=1⇔a=1b=1⇔z=1+i.
Khi đó z+1z=1+i+11+i=1+i+1−i2=32+12i.Chọn đáp án D
Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;0;−1 và mặt phẳng P: x+y−1=0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxyz) có phương trình là
x=1+2ty=−1z=−t
x=3+ty=1+2tz=−t
x=3+ty=2tz=1−t
x=2+ty=−tz=−1
Ta có: n→Oxy=1;1;0, n→Oxy=0;0;1.
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó:
u→d⊥n→Pu→d⊥n→(Oxy)⇒u→d=n→P,n→Oxy=1;−1;0. Vậy d: x=2+ty=−tz=−1.Chọn đáp án D
Cho hàm số f(x)=1−x22019. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên R
Hàm số đồng biến trên R
Hàm số đồng biến trên −∞;0
Hàm số nghịch biến trên −∞;0
Tập xác định của hàm số là R.
y'=20191−x22018−2x.
y'=0⇔x=0x=±1.
Dựa vào bảng xét dấu y' ta có hàm số đồng biến trên −∞;0 và nghịch biến trên 0;+∞.Chọn đáp án C
Cho đa giác 30 đỉnh nội tiếp đường tròn, gọi là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua 2 trong số 30 đỉnh đã cho. Chọn hai đường thẳng bất kì thuộc tập. Tính xác suất để chọn được hai đường thẳng mà giao điểm của chúng nằm bên trong đường tròn.
725.
25.
514.
931.
Số đường thẳng tạo ra được từ 30 đỉnh của đa giác là: C302=435
⇒Số cách chọn 2 đường thẳng là: Ω=C4352
Cứ 1 tứ giác nội tiếp đường tròn sẽ có 2 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm nằm trong đường tròn.
⇒Số cách chọn được 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm trong đường tròn bằng số cách chọn 1 tứ giác nội tiếp đường tròn và bằng: C304
⇒Xác suất để chọn được 2 đường thẳng thỏa mãn là: P=C304C4352=931.Chọn đáp án D
Cho số phức z=2−i+−1+i1−3i. Giá trị z bằng
2
2
10
23
Ta có z=2−i+−1+i1−3i=2−i+−25−15i=85−65i.
Vậy z=852+−652=2.Chọn đáp án A
Tập nghiệm của bất phương trình log122x+1>0 là
−12;0
0;+∞
−12;+∞
−14;0
Ta có: log122x+1>0⇔2x+1>02x+1<1⇔−12<x<0.Chọn đáp án A
Biết ∫23fxdx=5. Khi đó ∫233−5fxdx bằng:
-26
-15
-22
-28
∫233−5fxdx=∫233dx−5∫23fxdx=3−5.5=−22.
Chọn đáp án C
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB=4a, AD=3a, SB=5a. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).
1261 a61
61 a12
1241 a41
41 a12
Ta có: SA=SB2−AB2=5a2−4a2=3aCách 1:
Ta có dC,SBD=dA,SBD=h.
Tứ diện ASBD có các cạnh AB,AD,AS đôi một vuông góc với nhau và AB=4a,AD=3a,AS=3a nên ta có
1h2=1AB2+1AD2+1AS2=116a2+19a2+19a2=41144a2⇒h=12a4141
Vậy dC,SBD=12a4141.
Cách 2:
Đặt hình chóp S.ABCD vào một hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O, AB nằm trên tia Ox, AD nằm trên tia Oy, AS nằm trên tia Oz. Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là:
A0 ; 0 ; 0, B4a ; 0 ; 0, C4a ; 3a ; 0, D0 ; 3a ; 0, S0 ; 0 ; 3a
Sử dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng SBD là:
x4a+y3a+z3a=1⇔3x+4y+4z−12a=0
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) ta có:
dC ; SBD=12 a + 12 a − 12 a42+32+42=12 a41=12 41 a41.Chọn đáp án C
Biết rằng đường thẳng y=2x−3 cắt đồ thị hàm số y=x3+x2+2x−3 tại hai điểm phân biệt A và B biết điểm B có hoành độ âm. Hoành độ của điểm B bằng
-2
-1
0
-5
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x3+x2+2x−3 và đường thẳng y=2x−3 là: x3+x2+2x−3=2x−3⇔x3+x2=0⇔x=0x=−1.
Vì điểm B có hoành độ âm suy ra hoành độ của điểm B bằng -1.Chọn đáp án B
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a. Tính góc giữa hai mặt phẳng AB'C' và A'B'C'.
30°
60°
45°
90°
Gọi M là trung điểm B'C'. Do lăng trụ đều nên ta có: A'M⊥B'C', AM⊥B'C'.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng AB'C' và A'B'C' là góc AMA'^.
Lại có tam giác đều A'B'C' nên A'M=2a32=a3.
Từ đó: tanAMA'^=AA'A'M=aa3=13
Vậy góc giữa hai mặt phẳng AB'C' và A'B'C' bằng 30°.Chọn đáp án A
Nguyên hàm của hàm số fx=x+1x trên khoảng 0; +∞ là
x22+lnx+C.
1+lnx+C.
x2−1x2+C.
1−1x2+C.
Ta có ∫fxdx=∫x+1xdx=x22+lnx+C.Chọn đáp án A
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I−1;2;−3 và đi qua điểm A2;0;0 có phương trình là:
x−12+y−22+z−32=22
x+12+y−22+z+32=11
x−12+y+22+z−32=22
x+12+y−22+z+32=22
Bán kính mặt cầu là R=AI=32+22+32=22.
Phương trình mặt cầu tâm I−1;2;−3, có R=22:x+12+y−22+z+32=22Chọn đáp án D
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f'x=xx−1x+23, ∀x∈ℝ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
2
3
5
1
Ta có: f'x=xx−1x+23, ∀x∈ℝ.
⇒f'x=0⇔x=0x=1x=−2.
Bảng xét dấu f'x
Nhìn bảng xét dấu, hàm số có ba điểm cực trị.Chọn đáp án B
Số nghiệm của phương trình log2(x2−4x)=2 bằng
3
1
2
4
Phương trình log2(x2−4x)=2⇔x2−4x=4⇔x2−4x−4=0.
Phương trình này có a.c<0. Vậy phương trình có hai nghiệm.Chọn đáp án C
Tìm tất cả giá trị thực x, y sao cho 2x−3−yi=y+4+x+2y−2i , trong đó i là đơn vị ảo.
x=1, y=−2
x=−1, y=2
x=177, y=67
x=−177, y=−67
Ta có 2x−3−yi=y+4+x+2y−2i⇔2=y+4−(3−y)=x+2y−2⇔y=−2x=1.
Vậy x=1, y=−2.Chọn đáp án A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là
a332
a334
a33
a336
Gọi H là trung điểm cạnh AB . Vì SH⊥AB⇒SH⊥ABCD .
SABCD=a2 và SH=a32 .
Thể tích khối chóp S.ABCD là V=13SABCD.SH=a336 .
Chọn đáp án D
Đặt log2a=x, log2b=y. Biết log8ab23=mx+ny. Tìm T=m+n
T=29
T=89
T=32
T=23
Ta có log8ab23=log232(ab2)13=2313log2a+23log2b=23log2a+49log2b.
Với log2a=x, log2b=y ta suy ra m=29;n=49.
Vậy T=29+49=23.Chọn đáp án D
Giá trị lớn nhất của hàm số y=x+1x−2 trên đoạn −1;0 là
0
−23
2
−12
Hàm số y=fx=x+1x−2 xác định và liên tục trên đoạn −1;0.
f'x=−3x−22<0, ∀x∈−1;0.
f−1=0; f0=−12.
Vậy max−1;0y=0 khi x=−1.Chọn đáp án A
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:x−3−2=y−62=z−11; d':x=t;y=−t;z=2. Đường thẳng đi qua A0;1;1 cắt d' và vuông góc với d có phương trình là
x−1=y−13=z−14.
x−1=y−1−3=z−14.
x1=y−1−3=z−14.
x−1−1=y−3=z−14.
Giả sử d1 là đường thẳng cần dựng và cắt d' tại Bt;−t;2
Suy ra AB→=t;−t−1;1.
Véc tơ chỉ phương của d là ud→=−2;2;1
Ta có d1⊥d⇔AB→.ud→=0⇔−2t+2−t−1+1=0⇔t=−14
⇒AB→=−14;−34;1 suy ra u→=−1;−3;4 cùng phương với AB→
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d1 qua A0;1;1 nhận u→=−1;−3;4 làm véc tơ chỉ phương là: x−1=y−1−3=z−14Chọn đáp án B
Cho hàm số y=fx có đạo hàm trên R và không có cực trị, đồ thị của hàm số y=fx là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số hx=12fx2−2x.fx+2x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đồ thị của hàm số y=hx có điểm cực tiểu là M1;0.
Hàm số y=hx không có cực trị.
Đồ thị hàm số y=hx có điểm cực đại là N1;2.
Đồ thị hàm số y=hx có điểm cực đại là M1;0.
Theo bài ra ta có
h'x=f'x.fx−2fx+2x.f'x+4x=f'xfx−2x−2fx−2x=f'x−2fx−2x
Từ đồ thị ta thấy y=fx nghịch biến nên f'x<0 suy ra f'x−2<0.
Suy ra h'x=0⇔fx−2x=0.
Từ đồ thị dưới ta thấy fx−2x=0⇔x=1.
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra đồ thị của hàm số y=hx có điểm cực tiểu là M1;0.Chọn đáp án A
Cho hàm số y=fx liên tục, có đạo hàm trên −1;0. Biết f'x=(3x2+2x).e−fx∀x∈−1;0. Tính giá trị biểu thức A=f0−f−1.
A=1.
A=0.
A=1e.
A=−1.
f'x=(3x2+2x).e−fx⇔f'xe−fx=3x2+2x⇔f'x.efx=3x2+2x⇒∫−10f'x.efxdx=∫−103x2+2xdx⇔efx−10=x3+x2−10=0⇔ef0−ef−1=0⇔ef0=ef−1
Vì y=ex là hàm số đồng biến ef0=ef−1⇔f0=f−1⇔A=f0−f−1=0Chọn đáp án B
Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình 9x−2m+1.3x−3−2m>0 có nghiệm đúng với mọi số thực x là
m∈∅
m≤−32
m≠2
m<−32
Ta có: 9x−2m+1.3x−3−2m>0
⇔3x2−2.3x−3>3x+1.2m
⇔3x+13x−3>3x+1.2m
⇔3x−3>2m⇔3x>3+2m
Vậy, để 9x−2m+1.3x−3−2m>0, ∀x∈ℝ khi 3+2m≤0⇔m≤−32.Chọn đáp án B
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và f(2)=16, ∫02f(x)dx=4. Tính I=∫04xf/x2dx.
I = 12
I = 28
I = 112
I = 144
Đặt t=x2⇒x=2t⇒dx=2dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0
x = 4 ⇒ t = 2
⇒I=∫024tf/tdt=∫024xf/xdx.
Đặt u=4xdv=f/(x)dx⇒du=4dxv=f(x)
Suy ra I=4x.f(x)|02−4∫02f(x)dx= 4.2.f - 0 - 4.4 = 112.Chọn đáp án C
Một mảnh vườn hoa có dạng hình tròn bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí để trồng hoa là 50.000 đồng/m2. Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật ABCD và MNPQ có AB=MQ=5m?
3.533.058 đồng
3.641.528 đồng
3.641.529 đồng
3.533.057 đồng
Đặt hệ trục Oxy như hình vẽ, mảnh vườn sẽ có phương trình (C):x2+y2=25.
Diện tích hình phẳng giới hạn vởi (C), AD, BC là: S1=4∫05/225−x2dx=25π3+2532.
Diện tích hình phẳng giới hạn vởi (C), MN, QP là: S2=S1 (do tính đối xứng)
Diện tích phần đất trồng hoa (phần tô trong hình vẽ) là:
S=S1+S2−SIJLKL=2(25π3+2532)−25
Số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là: S.50000≈3.533.057 đồng.Chọn đáp án D
Gọi Sm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2 và đường thẳng y=mx+1. Giá trị nhỏ nhất của Sm là
13
1
23
43
Phương trình hoành hoành độ giao điểm của parabol y=x2 và đường thẳng y=mx+1 là:
x2=mx+1⇔x2−mx−1=0. (*)
Ta có: Δ(*)=m2+4>0 , ∀m∈ℝ⇒Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1<x2.
Theo hệ thức Vi-et, ta có: x1+x2=m , x1x2=−1 và x2−x1=Δa=m2+4.
Ta có: Sm=∫x1x2x2−mx−1dx=∫x1x2x2−mx−1dx=x33x1x2−mx22x1x2−xx1x2
=13x23−x13−m2.x22−x12−x2−x1=x2−x1.13x22+x1x2+x12−m2.x1+x2−1
=m2+4.13x1+x22−x1x2−m2.x1+x2−1=m2+4.13m2+1−m2.m−1
=m2+4.−m2+46=16m2+4.m2+4≥16.2.4=43.
Vậy Sm nhỏ nhất bằng 43 khi m=0.
Chọn đáp án D
Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng
11834a2+3b23
π1834a2+b23
π1824a2+3b23
π1834a2+3b23.
Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi E, E' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, A'B'C', M là trung điểm BC và I là trung điểm EE'. Do hình lăng trụ đều nên EE' là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, A'B'C'⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
AE=a33, IE=b2⇒R=IA=AE2+IE2 =4a2+3b212.
Thể tích khối cầu là V=43πR3=43π4a2+3b2123=π1834a2+3b23.Chọn đáp án D
Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ bên
Số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số g(x)=f(x)2 là
2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu
1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu
2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Ta có g'(x)=2fx.f'x. Suy ra g'(x)=0⇔f(x)=0 (1)f'(x)=0 (2)
Dựa vào đồ thị của hàm số y=f(x) ta suy ra: Pt (1) ⇔x=α∈−∞;−1x=β∈−1;0.
Pt (2) ⇔x=x1∈−1;βx=x2∈0;1x=x3∈1;2, trong đó x1,x3 là các điểm cực đại và x2 là các điểm cực tiểu.
BBT
Từ BBT trên suy ra hàm số g(x)=f(x)2 có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.Chọn đáp án C
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3x−3+m−3x3+(x3−9x2+24x+m).3x−3=3x+1 có 3 nghiệm phân biệt bằng:
38
34
27
45
Ta có 3x−3+m−3x3+(x3−9x2+24x+m).3x−3=3x+1⇔3m−3x3+(x3−9x2+24x+m)=3x+13x−3
⇔3m−3x3+(x−3)3+m−3x=33−x⇔3m−3x3+(m−3x)=33−x+(3−x)3(1).
Xét hàm số f(t)=3t+t3 với t∈ℝ, ta có: f'(t)=3tln3+3t2>0,∀t∈ℝ.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R.
Khi đó (1) ⇔f(m−3x3)=f(3−x)⇔m−3x3=3−x⇔m=−x3+9x2−24x+27. (2)
Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số y=−x3+9x2−24x+27 có y'=−3x2+18x−24⇒y'=0⇔x=2x=4
BBT
Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi 7<m<11. Vì m∈ℤ nên m∈8,9,10
Suy ra : ∑m=27.Chọn đáp án C
Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z+1−i=3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2z−4+5i+z+1−7i bằng ab. Tính S=a+b?
20
18
24
17
Gọi z=x+yi, x, y ∈ℝ.
Ta có:
z+1−i=3⇔x+12+y−12=9 C;
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), có tâm là I−1 ; 1 và bán kính R=3.
Ta có:
A=2z−4+5i+z+1−7i=2x−42+y+52+x+12+y−72
=2x−42+y+52+x+12+y−72+3x+12+y−12−9
=2x−42+y+52+4x2+8x+4y2−20y+29
=2x−42+y+52+2x2+2x+y2−10y+294
=2x−42+y+52+x+12+y−522.
Gọi Mx ; y∈C.
⇒A=2z−4+5i+z+1−7i=2MA+MB, A4 ; −5; B−1 ; 7.
⇒A=2MA+MB=2MA+MC, C−1 ; 52.
Ta có: IC→=0 ; 32⇒IC→=32<RC.
Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn (C).
Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn (C) tại hai điểm.
Do đó, để A=2MA+MC đạt giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm giữa hai điểm A và C.
⇒A=2MA+MC≥2AC, AC=5132.
⇒A≥513=ab.
Vậy, a+b=18.Chọn đáp án B
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3 ; 1 ; −3 , B0 ; −2 ; 3 và mặt cầu ( S ): x+12+y2+ z−32=1. Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu (S), giá trị lớn nhất của MA2+2MB2 bằng
102
78
84
52
Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức IA→+2IB→=0→⇒I 1 ; −1 ;1 .
Ta có T=MA2+2MB2=MA→2+2MB→2=MI→+IA→2+2MI→+IB→2
=3MI2+IA2+2IB2=3MI2+36
Mặt cầu (S) có tâm J −1 ; 0 ; 3, bán kính R=1.
Ta có: IJ>R⇒I nằm ngoài mặt cầu (S).
Ta có: T lớn nhất ⇔IM lớn nhất.
Mà IMmax=IJ+R=3+1=4.
Do đó: Tmax=3.42+36=84.Chọn đáp án C
