Đề số 12
50 câu hỏi
Cho hàm số y=x3-3x+2. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
(-2;0)
(-1;4)
(0;1)
(1;0)
Đáp án D
Ta có y'=3x2-3⇒y''=6x,y'=0⇔x=±1→y''1>0y''-1<0⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. ⇒ Điểm cực tiểu A(1;0)
Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z=2-3i4-i3+2i?
(-1;-4)
(1;4)
(1;-4)
(-1;4)
Đáp án A
Ta có z=2-3i4-i3+2i=5-14i3+2i=5-14i3-2i3+2i3-2i=-13-52i13=-1-4i⇒-1;-4 là điểm biểu diễn của số phức z.
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sinx = 0?
cosx = -1
cosx = 1
tanx = 0
cotx = 1
Đáp án C
Ta có sinx=0⇔sin2x=0⇔1-cos2x=0⇔cosx=±1
+) tanx=0⇔cosx≠0sinx=0⇔sinx=0
Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=x và F1=1
Fx=23xx
Fx=23xx+13
Fx=12x+12
Fx=23xx-53
Đáp án B
Fx=∫fxdx=∫xdx=23x32+C mà F1=1⇒C=13⇒Fx=23xx+13.
Đồ thị hai hàm số y=2x2-x+1x-1 và y = x - 1 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB
AB = 2
AB=2
AB=10
AB=12
Đáp án B
Điều kiện x≠1.
Phương trình hoành độ giao điểm 2x2-x+1x-1=x-1
⇔2x2-x+1=x-12⇔x2+x=0⇔[x=0⇒y=-1⇒A(0;-1)x=-1⇒y=-2⇒B(-1;-2)⇒AB=2.
Tìm toạ độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=2x-12-3x
I23;1
I23;-23
I32;-23
I-23;23
Đáp án B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=23, tiệm cận ngang là y=-23⇒I23;-23
Đạo hàm của hàm số y=x+2e2x là
y'=2x-4ex
y'=2x+5e2x
y'=2x+5ex
y'=2x+4e2x
Đáp án B
Ta có y'=e2x+2x+2e2x=2x+5e2x.
Cho a là một số thực dương khác 1 thoả mãn log4a=5. Tính loga2
loga2=15
loga2=5
loga2=20
loga2=120
Đáp án D
Ta có log4a=5⇔14log2a=5⇔log2a=20⇒loga2=120.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2
Hàm số có ba cực trị
Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, cực đại tại x = 0
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 4. Thể tích của khối chóp S.ABC là
8
12
163
83
Đáp án D
Ta có: VS.ABC=13SA.SABC=13.4.2=83.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a→=2;-3;1 và b→=-1;0;4. Tìm tọa độ véctơ u→=-2a→+3b→.
u→=-7;-6;10
u→=-7;6;10
u→=7;6;10
u→=-7;6;-10
Đáp án B
Ta có u→=-2a→+3b→=-7;6;10.
Tìm số nghiệm thuộc khoảng -π;π của phương trình cosx + sin2x = 0
4
3
1
2
Đáp án A
Ta có cosx+sin2x=0⇔cosx+2sinxcosx=0⇔[cosx=0sinx=-12⇔[x=π2+kπx=-π6+k2πx=7π6+k2π
Mà x∈-π;π⇒x∈-π2;π2;-π6;-5π6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AC = a5. Cạnh bên SA = a3 và vuông góc với (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
23a33
15a36
3a32
3a33
Đáp án B
Ta có: SABC=12AB.AC=a252⇒VS.ABC=12SA.SABC=12a3.a252=a3156.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a2. Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)
30°
90°
45°
60°
Đáp án A
Ta có BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB 
Ta có SC∩SAB=S;BC⊥SAB
⇒SC;SAB^=SC,SB^=BSC^
Ta có SB=SA2+AB2=a3
Ta có tanBSC^=BCSB=aa3=13⇒BSC^=30°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu x2+y2+z2-2x-4y+6z-2=0 cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này
I1;-2;0,r=5
I1;2;0,r=25
I1;2;0,r=7
I-1;-2;0,r=27
Đáp án C
Mặt cầu có tâm J(1;2;-3) bán kính R = 4
Tâm của đường tròn là hình chiếu của J lên Oxy ⇒I1;2;0
Ta có dJ;Oxy=3⇒r=R2-d2J;Oxy=7
Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển x2+2x7
560
35
280
84
Đáp án C
Ta có x2+2x7=∑k=07C7kx2k2x7-k=∑k=07C7kx7-k23k-7
Hệ số của x5 khi 3k-7=5⇔k=4⇒ hệ số là C7423=280.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a. Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD)?
55
255
12
1
Đáp án B
Vì ABCD là hình vuông ⇒AB⊥AD1
Ta có SAB⊥ABCDSAC⊥ABCD⇒SA⊥ABCD⇒SA⊥AB2
Từ (1), (2) suy ra AB⊥SAD ⇒SB;SAD^=SB;SA^=BSA^
Tam giác SAB vuông tại A, có cosBSA^=SASB=SASA2+AB2=255.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=mx-2m-2x nghịch biến trên 12;+∞
-2<m≤1
m > 2
-2 < m < 2
-2≤m≤2
Đáp án A
ĐK: m≠2x. Ta có: y=mx-2m-2x⇒y'=m2-4m-2x2
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 12;+∞⇔m≠2xm2-4m-2x2<0∀x>12⇔m≤1-2<m<2
⇔-2<m≤1.
Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên ℝ. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
∫2fx+3gxdx=2∫fxdx+3∫gxdx
∫fx-gxdx=∫fxdx-∫gxdx
∫2fxdx=2∫fxdx
∫fx.gxdx=∫fxdx.∫gxdx
Đáp án D
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 - i)(2 + i)z + 1 - i = (5 - i)(1 + i). Tính môđun của số phức w=1+2z+z2
8
64
22
5
Đáp án A
Ta có z=5-i1+i+i-11-i2+i=1+2i⇒w=8i⇒w=8.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a (tham khảo hình vẽ).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OC
a2
a22
a32
3a4
Đáp án B
Ta có OC⊥OAOC⊥OB⇒OC⊥OAB
Kẻ OH⊥AB⇒OC⊥OH⇒dAB;OC=OH=OA2=a22.
Hàm f(x) có đạo hàm f'x=x2x+2. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên các -∞;-2 và 0;+∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng -∞;-2và 0;+∞
Hàm số đồng biến trên khoảng -2;+∞
Hàm số nghịch biến trên khoảng -2;0
Đáp án C
Ta có f'x>0⇔x2x+2>0⇔x>-2 nên hàm số đồng biến trên khoảng -2;+∞ và nghịch biến trên khoảng -∞;-2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M đến (Oxz), (Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến (Oxy).
12
5
2
6
Đáp án D
Gọi M(a;b;c)⇒dM,Oxz=b=2;dM,Oyz=a=3
Do OM=7⇒a2+b2+c2=49⇒c=49-a2-b2=6
Vậy dM;Oxy=6.
Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.z¯+2017z-z¯=48-2016i
z=4
z=2016
z=2017
z=2
Đáp án A
Đặt z=a+bia,b∈ℝ⇒z¯=a-bi
Khi đó 3z.z¯+2017(z-z¯)=48-2016i⇔3(a2+b2)+2017.2bi=48-2016i
⇒3a2+b2=48⇒z=a2+b2=4.
Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn fx=6x2.fx3-63x+1. Tính ∫01fxdx.
2
4
-1
6
Đáp án B
Ta có: ∫01fxdx=∫016x2.fx3dx-∫0163x+1dx=A-B
Đặt t=x3⇒dt=3x2dx, đổi cận x=0⇒t=0x=1⇒t=1⇒A=2∫01ftdt=2∫01fxdx
Mặt khác B=∫0163x+1dx=43x+101=4
Suy ra ∫01fxdx=2∫01fxdx-4⇒∫01fxdx=4.
Cho hàm số y=x+bax-2ab≠-2. Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;-2) song song với đường thẳng d:3x+y-4=0. Khi đó giá trị của a - 3b bằng
-2
4
-1
5
Đáp án A
Ta có: x=1⇒y=-2⇒-2=1+ba-2⇔-2a+4=b+1⇔2a+b=3
Do tiếp tuyến A song song với đường thẳng d:3x+y-4=0 hay y=-3x+4 nên y'1=-2-aba-22=-3⇒-2-a3-2aa-22=-3⇔-2a2+3a+2a-22=-3⇔a-2-2a-1a-22=-3
⇔-2a-1=-3⇔a=1⇒b=1⇒a-3b=-2
Cho dãy số un xác định bởi u1=1 và un+1=un2+2,∀n∈N*. Tổng S=u12+u22+u32+...+u10012 bằng
1002001
1001001
1001002
1002002
Đáp án A
Ta có un+12=un2+2=un-12+2.2=un-22+2.3=u12+2n
Do đó S=1001u12+2(0+1+2+...+1000)=1001+2.1001.10002=1002001.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;4) và B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?
d=-33
d=3
d=13
d=13
Đáp án D
Ta có: dB;P≤AB, dấu “=” xảy ra ⇔AB⊥P
Khi đó nP→=AB→1;-1;1⇒P:x-y+z-1=0⇒dO;P=13.
Số các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=12x3-6x2+mx+2 luôn đồng biến trên khoảng (1;3) là
8
9
10
Vô số.
Đáp án B
Ta có: y'=12x3-6x2+mx+23x2-12x+m.ln12=-12x3-6x2+mx+23x2-12x+m.ln2
Hàm số y=12x3-6x2+mx+2 luôn đồng biến trên khoảng 1;3⇒y'>0∀x∈1;3
⇔3x2-12x+m≤0∀x∈1;3⇔m≤12x-3x2=gx∀x∈1;3⇔m≤Min1;3gx
Lại có g'x=12-6x⇔x=2⇒g2=12;limx→1gx=limx→3gx=9
Lập bảng biến thiên suy ra m≤9 là giá trị cần tìm. Vậy có 9 giá trị nguyên dương của m.
Tìm giá trị của tham số m để hàm số fx=3x+1-2x-1 khi x≠1m khi x=1 liên lục tại điểm x0=1
m = 3
m = 1
m = 34
m = 12
Đáp án C
Ta có limx→1f(x)=limx→13x+1-2x-1=limx→133x+1+2=34, vì 3x-3=3x+1-23x+1+2
Để hàm số liên tục tại điểm x0=1⇔limx→1fx=f1⇔m=34.
Biết nghiệm của phương 2x.15x+1=3x+3 được viết dưới dạng x = 2loga - logb là các số nguyên dương nhỏ hơn 10. Tính S = 2017a3-2018b2
S = 4009
S = 2014982
S =1419943
S = -197791
Đáp án A
Ta có 2x.15x+1=3x+3⇔2x.5x+1=32⇔log2x.5x+1=log32⇔xlog2+x+1log5=2log3
⇔xlog2+log5=2log3-log5⇔x=2log3-log5log2+log5=2log3-log5⇒a=3b=5.
Vậy S = 4009.
Cho hàm số y=x3-mx2-mx+2m-3 có đồ thị là (C), với m là tham số thực. Gọi T là tập tất cả giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương. Tính tổng các phần tử của T.
3
6
-6
-3
Đáp án D
Ta có y=x3-mx2-mx+2m-3⇒y'=3x2-2mx-m;∀x∈ℝ
Yaau cầu bài toán ⇔y'>0,∀x∈ℝ⇔3x2-2mx-m>0,∀x∈ℝ
⇔ ∆'=m2+3m<0⇔-3<m<0 mà m∈ℤ⇒m=-2;-1.
Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10π của phương trình sin22x+3sin2x+2=0?
1052π
1054π
2974π
2994π
Phương trình: sin22x + 3sin2x + 2 = 0
⇔sin2x=−1sin2x=−2VL⇔sin2x=−1
⇔x=−π4+kπ,k∈ℤ
Ta có: x∈0;10π
⇒0≤−π4+kπ≤10π
⇒π4≤kπ≤41π4
⇒14≤k≤414
Mà k∈ℤ nên k∈1;2;3;4;5;6;7;8;9;10.
Khi đó các nghiệm của phương trình là: x∈3π4;7π4;11π4;15π4;...;39π4
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 3π4+7π4+11π4+15π4+...+39π4=105π2
Chọn đáp án A.
Cho tam giác SOA vuông tại O có MN//SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ bên. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R = OA. Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất
MN=h2
MN=h3
MN=h4
MN=h6
Đáp án B
Đặt SO' = x. Theo định lí Talet ta có: xh=r'r0<x<h 
Thể tích khối trụ là V=πr'2h-x=πxr2h2h-x=fx
Ta có fx=πr2h2x2h-x
Cách 1. Xét Mx=x2h-x
Cách 2. Ta có Mx=4.x2.x2.h-x≤4x2+x2+h-x33=4h327
Dấu “=” xảy ra ⇔x2=h-x⇔x=23h⇒MN=h-x=h3.
Với n là số nguyên dương thỏa mãn đăng thức 3Cn+13-3An2=52n-1. Trong khai triển biểu thức x3+2y2n, gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34. Hệ số của là
54912
1287
2574
41184
Đáp án D
Ta có 3Cn+13-3An2=52n-1⇔3n+1!n-2!.3!-3n!n-2!=52n-1
⇔3nn2-12-3nn-1=52n-1⇔n2+n-6n=104⇔n2-5n-104=0⇔n=13
Khi đó x3+2y2n=x3+2y213=∑k=013C13kx313-k.2y2k=∑k=013C13k2kx39-3k.y2k
Vì tổng số mũ của x và y bằng 34→39-3k+2k=34⇔k=5
Vậy hệ số cần tìm ứng với k=5→T5=C13525=41184.
Cho phương trình 25x-m+25x+2m+1=0 với m là số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên m∈0;2018 để phương trình có nghiệm?
2015
2016
2018
2017
Đáp án C
Đặt t=5xt>0
Khi đó PT⇒t2-m+2t+2m+1=0⇔t2-2t+1=mt-2 *
Rõ ràng t = 2 không là nghiệm của phương trình
Do đó *⇔m=t2-2t+1t-2=t+1t-2=ft
Xét f(t) trên tập 0;2∪2;+∞ ta có: f't=1-1t-22=0⇔[t=1t=3
Mặt khác limx→0ft=-12;f1=0;limx→2-ft=-∞;limx→2+ft=+∞;f3=2;limx→+∞ft=+∞
Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi m∈(-∞;0]∪[2;+∞)
Kết hợp m∈ℤ và m∈0;2018 suy ra có 2018 giá trị của tham số m.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a2. Biết góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng 60° và hình chiếu của A lên (A'B'C') là trung điểm H của đoạn thẳng A'B'. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A.HB'C' theo a
a217
3a68
a628
2a217
Đáp án C
Do góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng 60°
Suy ra AB'C';ABC^=60°
Dựng HK⊥B'C', do AH⊥B'C'⇒B'C'⊥AKH
Do đó AKH^=60°
Mặt khác B'C'=a3,sinA'B'C'^=A'C'B'C'=23
Suy ra HK=HB'sinB'^=a223;AH=HKtan60°=a22
Do C'H=A'H2+A'C'2=3a2⇒rHB'C'=HC'2sinHB'C'^=3a68
Áp dụng công thức tính nhanh R=r2+AH24=a628.
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 9a3+ab+1=3b+2. Giá trị lớn nhất của biểu thức S = 6a - b là
1712
823
113
8912
Đáp án C
Ta có: 9a3+ab+1=3b+2⇔9a3+a=b+13b+2
Đặt t=3b+2⇒b=t2-23⇒ 9a3+a=t2+13t⇔27a3+3a=t3+t⇔3a3+3a=t3+t
Xét hàm số fu=u3+uu∈ℝ⇒f'u=3u2+1>0 ∀u∈ℝ⇒fu đồng biến trên ℝ
Khi đó: f3a=ft⇔t=3a⇒3b+2=3a⇔b=9a2-23
Suy ra S=6a-3a2+23=-3a-12+113≤113.
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức S = 6a - b là 113.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;0), N(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b > 0,c > 0. Hệ thức nào dưới đây đúng?
bc=2b+c
bc=1b+1c
bc=b+c
bc=b-c
Đáp án A
Mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz tại M, N, P có phương trình x2+yb+zc=1
Vì N thuộc mặt phẳng (P) ⇒12+2b+1c=1⇔1b+1c=12⇔bc=2b+c.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 6a3. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AC', BB', CC' sao cho AMAA'=12,BNBB'=CPCC'=23. Tính thể tích V¢ của khối đa diện ABC.MNP ?
V'=1127a3
V'=916a3
V'=113a3
V'=1118a3
Đáp án C
Ta có VABC.MNPVABC.A'B'C'=AMAA'+BNBB'+CPCC'3=12+2.233=1118→VABC.MNP=11186a3=113a3.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f '(x) được cho như hình bên và các mệnh đề sau:
(1). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-1;0)
(2). Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1;2)
(3). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (3;5)
(4). Hàm số y = f(x) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Số mệnh đề đúng là
1
3
4
2
Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
+ Đồ thị hàm số f '(x) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt x1-1;0,x20;1,x32;3
Và f '(x) đổi dấu từ -→+ khi đi qua x1,x3⇒ Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng -1;x1 đồng biến trên x1;x2 (1) sai
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng x2;x3 (chứa khoảng (1;2)), đồng biến trên khoảng x3;5 (chứa khoảng (3;5)) ⇒2;3 đúng
Vậy mệnh đề 2,3 đúng và 1, 4 sai.
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại các điểm x1,x2 thỏa mãn x1∈-1;0,x2∈1;2. Biết hàm số đồng biến trên (x1,x2). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a<0,b>0,c>0,d<0
a<0,b<0,c>0,d<0
a>0,b>0,c>0,d<0
a<0,b>0,c<0,d<0
Đáp án A
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm ⇒y0=d<0
Ta có y'=3ax2+3bx+c,y'=0⇔x1+x2=-2b3ax1.x2=c3a. Mà y'>0,∀x∈x1,x2⇒a<0
Mặt khác x1+x2>0x1.x2<0⇒-2b3a>0c3a<0⇔b>0c<0. Vậy a<0,b>0,c>0,d<0.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: f(x) > 0 với ∀x∈ℝ,f'(x)=-ex.f2x với ∀x∈ℝ f0=12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0=ln2 là:
2x+9y-2ln2=0
2x-9y-2ln2+3=0
2x-9y+2ln2-3=0
2x+9y-2ln2-3=0
Đáp án D
Ta có f'x=-ex.f2x⇔-f'xf2x=ex⇔∫-f'xf2xdx=∫exdx⇔1fx=ex+C
Mà f0=12⇒1f0=e0+C⇔C+1=2⇒C=1→fx=1ex+1
Do đó f'x=-exex+12⇒f'ln2=-29. Vậy phương trình tiếp tuyến là 2x+9y-2ln2-3=0.
Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT XXX, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp.
Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
900.000 đồng
1.232.000 đồng
902.000 đồng
1.230.000 đồng
Đáp án C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình y=4-x2 và trục hoành
Suy ra ∫-224-x2dx=323 m2
Gọi điểm Ca;0,a>0⇒D-a;0B(a;4-a2),A-a;4-a2
Gọi S1 là diện tích ABCD, suy ra S1=AB.BC=2a.4-a2 m2
Gọi S2 là diện tích có hoa văn, suy ra S2=S-S1
S2 nhỏ nhất khi và chỉ khi S1 lớn nhất
Xét hàm số fa=2a4-a2,a∈0;4
Ta có f'a=8-6a2⇒f'a=0⇔a=23
Xét bảng biến thiên hàm số f(a) với a∈0;4
Suy ra max0;4fa=f23=3239 m2. Suy ra S2min=323-3239≈4,51m2
Suy ra số tiền cần bằng 902.000 đồng.
Cho hàm số f(x). Biết hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình bên.
Trên đoạn [-4;3] hàm số g(x) = 2f(x) + 1-x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
x0=-4
x0=-1
x0=3
x0=-3
Đáp án B
Ta có gx=2fx+1-x2→g'x=2f'x-21-x;g'x=0⇔f'x=1-x
Đồ thị hàm số y = f '(x) cắt đường thẳng y = 1 - x tại x = -4, x = -1, x = -2
Đồng thời g '(x) đổi dấu từ - sang + khi đi qua x=-1→min-4;3gx=g-1.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y=14x4-192x2+30x+m-20 trên đoạn [0;2] không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng:
210
105
-195
300
Đáp án B
Xét hàm số fx=14x4-192x2+30x+m-20 trên [0;2] có f'x=0⇔x=2
Tính f0=m-20;f2=m+6→max0;2y=max[0;2]fx=m-20;m+6
TH1. Với max0;2y=m-20⇒m-20≥m+6m-20≤20⇔m≤7-20≤m≤20⇔0≤m≤7
TH2. Với max0;2y=m+6⇒m-20≤m+6m+6≤20⇔m≥7-20≤m+6≤20⇔7≤m≤14
Kết hợp với m∈ℤ, ta được m=0;1;2;...;14→∑m=105.
Biết số phức z thỏa mãn z-3-4i=5 và biểu thức T=z+22-z-i2 đạt giá trị lớn nhất. Tính z.
z=33
z=50
z=10
z=52
Đáp án D
Đặt z=x+yix,y∈ℝ⇒ Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm I(4;3) bán kính R=5
Ta có P=z+22-z-i2=x+2+yi2-x+y-1i2=x+22+y2-z2-y-12
=x2+y2+4x+1-x2-y2+2y-1=4x+2y+3→∆:4x+2y+3-P=0
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung ⇔dI,∆≤R
⇔4.3+2.4+3-P42+22≤5⇔23-P≤10⇔-10≤23-P≤10⇔13≤P≤33
Do đó, maxP = 33. Dấu “=” xảy ra ⇔4x+2y-30=0x-32+y-42=5⇔x=5y=-5. Vậy z=52
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số lập được từ tập hợp X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 6
427
928
19
49
Đáp án A
Gọi số cần tìm có dạng abcd¯ vì abcd¯ chia hết cho 6 ⇒d={2;4;6;8}a+b+c+d:3.
Khi đó, chọn d có 4 cách chọn; b và c đều có 9 cách chọn (từ 1→9)
Nếu b + c + d:3 thì a = {3;6;9}⇒ có 3 cách chọn a
Nếu b + c + d chia 3 dư 1 thì a = {2;5;8}⇒ có 3 cách chọn a
Nếu b + c + d chia 3 dư 2 thì a = {1;4;7}⇒ có 3 cách chọn a
Suy ra a chỉ có 3 cách chọn ⇒ có 4.9.9.3 = 972 số chia hết cho 6
Vậy xác suất cần tính là P=97294=427.
Cho hàm số y=fx=-x3+6x2+2 có đồ thị (C) và điểm M(m;2). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng các phần tử của S là:
123
203
193
233
Đáp án B
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua M(m;2) là y - 1 = k(x - m) (d)
Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi k=f'xkx-m+2=-x3+6x2+2⇔k=-3x2+12xkx-m=-x3+6x2
⇔-3x2+12xx-m+x3-6x2=0⇔[x=0-3x+12xx-m+x2-6x=0
⇔[x=0-3x2+3mx+12x-12m+x2-6x=0⇔[x=02x2-3m+2x+12m=0*
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:
TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 ⇔∆=9m+22-96m=0⇔[m=6m=23
TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0 ⇔12m=0∆>0⇔m=0
Vậy m=0;23;6 là các giá trị cần tìm →∑m=0+23+6=203 .
Phương trình 2log3cotx=log2cosx có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2018π?
2018 nghiệm
1008 nghiệm
2017 nghiệm
1009 nghiệm
Đáp án D
Điều kiện: cotx<0cosx>0. Ta có 2log3cotx=log2cosx⇔log3cot2x=log2cosx=t
Suy ra cot2x=3tcos2x=4t⇔cos2x1-cos2x=3tcos2x=4t⇔4t1-4t=3t⇔4t+12t-3t=0⇔43t+4t-1=0
Xét hàm số ft=43t+4t-1 trên ℝ có f't=43t.ln43+4t.ln4>0,∀t∈ℝ
⇒ft là hàm số đồng biến trên ℝ mà f-1=0⇒t=-1⇒cosx=12⇒x=π3+k2π
Kết hợp với điều kiện x∈0;2018π⇒-16<k<1008,83→k∈ℤ có 1009 nghiệm.
