Đề số 11
50 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 2 =0 và mặt cầu tâm I(1;4;1) bán kính R tiếp xúc với (P). Bán kính R là:
R=73
R=3
R=1
R=9
Đáp án B
Mặt cầu tâm I(1;4;1) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên R=dI;P=x1+2y1-2z1+212+22+-22=3.
Tính L=limx→-∞x2+x+1+x3+13.
L = -0,5
L = -∞
L = 0
L = 0,5
Đáp án A
Ta có: L=limx→-∞x2+x+1+x3+13=limx→-∞x2+x+1+x+x3+13-x
=limx→-∞x+1x2+x+1-x+1x3+123+x3+13.x+x2=limx→-∞1+1x-1+1x+1x2-1+1x3+123+x3+13.x+x2=-0,5+0=-0,5.
Trong các phép biến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình
Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng
Phép đối xứng trục
Phép đồng nhất
Phép vị tự tỉ số -1
Đáp án A
Cho số phức z = 5 +2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
Phần thực bằng -5 và phần ảo bằng -2
Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 2
Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng -2
Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng -2i
Đáp án C
z¯=5-2i có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng -2.
Tìm a để hàm số y=x2+1, x>3a.x+4, x≤3 liên tục tai điểm x0=3?
a = 1
a = 2
a = 4
a = 3
Đáp án B
Ta có: limx→3-y=f3=3a+4;limx→3+y=10
Hàm số đã cho lien tục tại điểm x = 3 khi limx→3-y=f3=3a+4=limx→3+y=10⇔a=2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3;2); B(3;5;-4). Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:
x + y - 3z + 9 = 0
x + y - 3z + 2 = 0
x-31=y-51=z+4-3
x + y - 3z - 9 = 0
Đáp án D
AB¯=(2;2;-6) và I(2;4;-1) là trung điểm của AB. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB nhận véc tơ n→=1;1;-3 và đi qua điểm I là 1x-2+1y-4-3z+1=0⇔x+y-3z-9=0.
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
Cho hai đường thẳng song song với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Cho hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Đáp án B
Hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song hoặc chứa đường thẳng kia.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng?
(AFD)//(BEC)
EC//(ABF)
(ABD)//(EFC)
AD//(BEF)
Đáp án A.
Do AF//BEAD//BC⇒AFD//BEC
Cho hình chóp S.ABC có BSC=120°, CSA=60°, ASB=90°, SA=SB=SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
I là trung điểm của AB
I là trung điểm của BC
I là trọng tâm của tam giác ABC
I là trung điểm của AC
Đáp án B
Ta có: SI⊥ABC⇒∆SIA=∆SIB=∆SIC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
Suy ra IA = IB = IC hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đặt SA = SB = SC = x⇒BC=x3AC=xAB=x2⇒∆ABC vuông tại A do AB2+AC2=BC2
Do đó I là trung điểm của BC.
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA = a6. Gọi là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
cosα=33
α=60°
α=45°
α=30°
Đáp án B
Ta có: AC=a2⇒tanSCA^=SAAC=a3⇒SCA^=60°
Do đó SC;ABCD=SCA^=60°.
Cho hàm số y=2x+1x-1. Số tiệm cận của đồ thị hàm số là:
3
2
1
0
Đáp án B
Đồ thị hàm số dạng y=ax+bcx+d có hai đường tiệm cận là:y=ac là TCN và x=-dc là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số y=2x+1x-1 có y = 2 là TCN và x = 1 là TCĐ.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3AD. Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta thu được hai hình trụ tròn xoay tương ứng có thể tích V1;V2. Hỏi hệ thức nào sau đây là đúng?
V2=3V1
V2=V1
V1=3V2
V1=9V2
Đáp án C
Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AD. Khi đó hình trụ có h = AD và r = AB nên V1=πr2h=πAB2.AD.
Quay hình chữ nhật ABCD quanh canh AB. Khi đó hình trụ có h = AB và r = AD nên V2=πr2h=πAD2.AB
V1V2=πAB2.ADπAD2.AB=ABAD=3 nên V1=3V2
Cho hai số phức z1=4+i và z2=1-3i. Tính môđun của số phức z1-z2.
z1-z2=17-10
z1-z2=13
z1-z2=25
z1-z2=5
Đáp án D
z1-z2=4+i-1-3i=3+4i nên z1-z2=5
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số fx=2x-12.
∫fxdx=2x-136+C
∫fxdx=2x-133+C
∫fxdx=42x-1+C
∫fxdx=22x-1+C
Đáp án A
Ta có ∫fxdx=12.2x-133+C=2x-136+C
Ba người cùng đi săn A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng với 0,7; 0,6; 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng?
0,75
0,45
0,94
0,80
Đáp án C
Gọi X¯ là biến cố: Không một xạ thủ nào bắn trúng. Khi đó X¯=A¯∪B¯∪C¯. Do A, B, C độc lập với nhau nên A¯; B¯; C¯ độc lập với nhau.
Suy ra PX¯=0,3.0,4.0,5=0,06⇒PX¯=1-PX¯=0,94.
Cho a, b, c là các số thực dương, a≠1. Xét các mệnh đề sau:
(I) 2a=3⇔a=log23
(II) ∀x∈ℝ\0,log3x2=2log3x
(III) logab.c=logab.logac
Trong ba mệnh đề (I), (II), (III), tổng số mệnh đề đúng là?
3
2
1
0
Đáp án C
Mệnh đề (I) đúng.
Mệnh đề (II) sai vì log3x2=2log3x khi x > 0 nên điều kiện ∀x∈ℝ\0 là chưa đủ.
Mệnh đề (III) sai vì logab.c=logab+logac
Số mệnh đề đúng là 1.
Có 10 chiếc bút, 15 cái thước, 5 cái tẩy, các đồ vật này phân biệt. Chọn 1 đồ vật trong số các đồ vật trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
30
10!.15!.5!
30!
25!
Đáp án A
Chọn 1 đồ vật trong 30 đồ trên có C301=30 cách chọn.
Cho hàm số y = f(x). Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là:
k=f'x0.x-x0+fx0
k=f'x0+fx0
k=fx0
k=f'x0
Đáp án D
PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc k=f'x0.k=f'x0.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin3x - 4cos3x + 5 ?
5
10
4
12
Đáp án B
Ta có: 3sin3x-4cos3x≤32+-42=5⇒MaxRy=5+5=10.
Cho x = log2017, y = ln2017. Hỏi quan hệ nào sau đây giữa x và y là đúng?
1x+1y=e10
xy=10e
10y=ex
10x=ey
Đáp án D
10x=10log2017=2017,ey=eln2017=2017→10x=ey.
Kí hiệu z1,z2,z3,z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4-3z2-4=0. Tính T=z1+z2+z3+z4
T = 3
T = 0
T = 4 + 2
T = 4
Đáp án B
z4-3z2-4=0⇔[z2=-1=i2z2=4⇔z1=-i,z2=i,z3=-2,z4=2⇔z1+z2+z3+z4=0⇒T=0.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x+9x trên đoạn [1;4]. Tính hiệu M - m.
M-m=14
M-m=154
M-m=16
M-m=4
Đáp án D
f'x=1-9x2=x2-9x2=0→x∈1;4x=3. So sánh các f1=10=M,f3=6=m,f4=254.
Vậy M - m = 10 - 6 = 4
Cho số phức z thỏa mãn (2 - i)z = (2 + i)(1 - 3i). Gọi M là điểm biểu diễn của z. Khi đó tọa độ điểm M là.
M(3;1)
M(3;-1)
M(1;3)
M(1;-3)
Đáp án B
Dùng CASIO rút gọn z=2+i1-3i2-i=3-i→M3;-1.
Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích 16π cm3. Tính bán kính đáy R của lọ để ít tốn nguyên liệu sản xuất lọ nhất.
R=2 cm
R=1,6 cm
R=π cm
R=16π cm
Đáp án A
Ta có: VT=πR2h=16π⇒R2h=16
Diện tích nguyên liệu cần dung là: S=2πR2+2πRh=2πR2+16R. Lại có R2+16R=R2+8R+8R≥3823.
Dấu bằng xảy ra ⇔R=2.
Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số fx=3x4-2x3-1x2 và F(1) + 2F(2) = 40. Tính F(-1).
8
7
-8
0
Đáp án B
Ta có: ∫fxdx=∫3x2-2x-1x2dx=x3-x2+1x+C=Fx
Lại có F1+2F2=C+1+2C+92=3C+10=40⇒C=10.
Do đó F(-1) = -3 + 10 = 7.
Một khối nón có diện tích toàn phần bằng 10π và diện tích xung quanh bằng 6π. Tính thể tích V của khối nón đó.
V=4π5
V=4π53
V=12π
V=4π
Đáp án B
Sđ=Stp-Sxq=4π=πR2⇒R=2⇒l=SxqR=3⇒h=l2-R2=5
Do đó V=13πR2h=4π53.
Đồ thị hàm số y=x+1x2-4x+3 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
1
2
3
4
Đáp án C
Ta có: y=x+1x2-4x+3=x+1x2-4x+3=x+1x-1x-3
Với x≥0⇒y=x+1x-1x-3 đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng.
Với x<0⇒y=x+1-x-1-x-3=1x+3 đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Do đó đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng.
Cho số phức z có phần ảo âm, gọi w=2z+z-z¯i. Khi đó khẳng định nào sau đây về w là đúng?
w là số thực
w có phần thực bằng 0
w có phần ảo âm
w có phần ảo dương
Đáp án A
Đặt z=x+yix,y∈ℝ, vì z có phần ảo âm suy ra y < 0. Khi đó w=2z+z¯-zi=2x+yi+x+yi-x-yii=2x+2yi+2yi=2x+2yi-2yi=2x.
Vậy w là một số thực.
Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
log3a23=2log3a-2
log3a23=2log3a+2
log3a23=2log3a-12
log3a23=2log3a+12
Đáp án C
Ta có log3a23=log3a2-log33=2log3a-12.
Cho số thực x lớn hơn 1 và ba số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn điều kiện logax>logbx>0>logcx. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
c > a > b
b > a > c
c > b > a
a > b > c
Đáp án B
Ta có:
logax>logbx>0>logcx⇔1logxa>1logxb>0logxc<0⇔logxb>logxc>0c<1⇔b>a>1>c.
Cho tích phân I=∫0π4sin2xdxcos4x+sin4x. Nếu đặt t = cos2x thì mệnh đề nào sau đây đúng?
I=∫01-dtt2+1
I=∫01dtt2+1
I=12∫01dtt2+1
I=∫012dtt2+1
Đáp án B
Ta có: sin4x+cos4x=sin2x+cos2x2-2sin2xcos2x=1-122sinxcosx2=1-12sin22x
=1-121-cos22x=121+cos22x
Khi đó đặt t=cos2x⇒dt=-2sin2xdx. Đổi cận x=0⇒t=1x=π4⇒t=0
Do đó I=∫01dt2.12.1+t2=∫01dtt2+1.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C:y=2x-1x+1, tiệm cận ngang của (C) trục tung và đường thẳng x = a(a > 0). Tìm a để S = ln2017.
a=20173-1
a=20173-1
a=2016
a=2017-1
Đáp án A
Tiệm cận ngang của (C) là y = 2. Khi đó
S=∫0a2-2x-1x+1dx=∫0a3x+1dx=∫0a3dxx+1=3lnx+10a=3lna+1=ln2017⇔a=20173-1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;3) và hai đường thẳng, d1:x-41=y+24=z-1-2, d2=x-21=y+1-1=z-11. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.
d:x-44=y+11=z-34
d:x-12=y+11=z-33
d:x-12=y+1-1=z-3-1
d:x-1-2=y+12=z-33
Đáp án C
Gọi B2+t;-1-t;1+tAB¯=1+t;-t;t-2. Cho AB¯.ud¯=0⇔t+1-4t-2t+4=0⇔t=1⇒AB¯=2;-1;-1
Khi đó d:x-12=y+1-1=z-3-1.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4-2x2-3+m=0 có đúng 2 nghiệm thực.
-∞;3
-∞;3∪4
-3;+∞
-4∪-3;+∞
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác vuông OAB với A chạy trên trục hoành và có hoành độ dương; B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA + OB = 1. Hỏi thể tích lớn nhất của vật thể tạo thành khi quay tam giác OAB quanh trục Oy bằng bao nhiêu?
4π81
25π27
9π4
17π9
Đáp án A
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có bán kính đáy r = OA và chiều cao h = OB. Theo bài ra, ta có OA + OB = r + h = 1 với (0 < r, h < 1)
Khi đó, thể tích khối nón là VN=13πr2h=13πr21-r.
Ta có r21-r2=4.r2.r2.1-r≤4.r2+r2+1-r327=427⇒VN≤13π.427=4π81.
Tham khảo: Ta có thể đưa điểm B có tung độ âm về tung độ dương thì thể tích của khối nón không đổi.
Gọi Aa;0B0;ba,b>0 suy ra phương trình đường thẳng AB:xy+yb=1⇒x=a-ab.y.
Khi đó VOy=π.∫aba-aby2dy=πa2b3.
Ta có 4π3.a2.a2.b≤4π3.a2+a2+b327=4π81⇒VMax=4π81.
Đặt a=log35, b=log45. Hãy biểu diễn log1510 theo a và b.
log1510=a2-abab+b
log1510=a+2ab2ab+2b
log1510=a+2ab2ab
log1510=a2-abab
Đáp án B
Ta có log1510=log510log515=log52.5log53.5=log52+1log53+1 mà log53=1a; log52=log542=12b.
Khi đó log1510=12b+11a+1=2b+12ba+1a=a2b+12ba+1=a+2ab2b+2ab.
Một hình lập phương cạnh bằng a nội tiếp khối cầu S1 và ngoại tiếp khối cầu S2, gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của các khối S1 và S2. Tính tỉ số k=V1V2.
k=122
k=133
k=22
33
Đáp án D
Gọi khối lập phương cần xét ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối cầu là R2=AA'2=a2⇒V1=43R23.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối cầu là
R1=AC'2=AB2+AD2+AA'22=a32⇒V1=43πR31
Vậy tỉ số k=V1V2=R31R31=R1R23=33=33.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AA' = 2a. Biết thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD' là 9πa32. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
V=9a34
V=4a3
V=4a33
V=2a3
Đáp án B
Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD’ chính là thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, bán kính khối cầu ngoại tiếp là R=AC'2.
Ta có V=43πR3=43π.AC'38=92πa3⇒AC'3=27a3⇒AC'=3a.
Mặt khác AC'2=AB2+AD2+AA'2⇒AD2=(3a2)-a2-(2a)2=4a2⇒AD=2a.
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là V=AA'.AB.AD=a.2a.2a=4a3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;3;0), C(0;0;2), D(1;3;-2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm O, A, B, C, D (O là gốc tọa độ )?
5 mặt phẳng
4 mặt phẳng
Có vô số mặt phẳng
7 mặt phẳng
Đáp án A
Phương trình mặt phẳng (ABC) là x1+y3+z2=1 mà D1;3;-2⇒D∈ABC.
Và ta thấy rằng AC¯=-1;0;2 và BD¯=-1;0;2 suy ra ABCD là hình bình hành.
Vậy O.ABCD là một hình chóp có đáy là hình bình hành, do đó có 5 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu gồm:
Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC,BD và song song với (SAD) hoặc (SBC).
Mặt phẳng đi qua trung điểm cuả AD,BC đồng thời song song với (SAC) hoặc (SBD).
Mặt phẳng đi qua trungđiểm của OA,OB,OC,OD.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y=2x-m-1x2+1x-1 có đúng hai tiệm cận ngang?
m = 1
m∈1;4∪4;+∞
m < 1
m > 1
Đáp án D
Ta có y=2x-m-1x2+1x-1=2x-xm-1+1x2x-1=2=xx.m-1+1x21-1x
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường TCN ⇔m-1+1x2>0;∀x∈ℝ⇔1-m<0⇔m>1.
Các giá trị của tham số m để phương trình 12x+4-m.3x-m=0 có nghiệm thực khoảng (-1;0) là:
m∈1716;52
m∈2;4
m∈52;6
m∈1;52
Đáp án A
Phương trình 12x+4-m.3x-m=0⇔12x+4.3x=m3x+1⇔m=12x+4.3x3x+1 (*).
Xét hàm số xfx=12x+4.3x3x+1 trên khoảng (-1;0) có f'x=12x.(3x+1).ln12-(12x-4).ln33x+12.
Ta có 12x.3x+1.ln12-12x-4.ln3=12x.3x.ln12-ln3+12x.ln2+4.ln3>0;∀x∈-1;0.
Khi đó f'x>0;∀x∈-1;0 suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0)
Tính các giá trị f-1=1716;f0=52 suy ra minfx=1716 và maxfx=52.
Nên để phương trình (*) có nghiệm ⇔minf(x)<m>maxfx⇒m∈1716;52.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 8. Trên AB lấy 2 điểm M, N đối xứng nhau qua O sao cho MN = 4. Qua M, N kẻ 2 dây cung PQ và EF cùng vuông góc với AB. Tính diện tích S phần giới hạn bới đường tròn và 2 dây cung PQ, EF (phần chứa điểm O ).
S=163π+83
S=8π+5
S=12π-7
S=6π+83
Đáp án A
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với O là gốc tọa độ. Phương trình đường tròn tâm O, đường kính AB = 8 là x2+y2=16⇔y2=16-x2⇔x=±16-x2.
Diện tích hình phẳng cần tính gấp 2 lần diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=16-x2,y=0,x=-2,x=2.
Khi đó S=2.SH=2.∫-2216-x2dx⇒S=S=163π+83.
Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z-i≥3 và z-1≤5. Gọi z1,z2∈T lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z1+2z2.
12 - 2i
-2 + 12i
6 - 4i
12 + 4i
Đáp án A
Đặt z=x+yix,y∈ℝ. Khi đó, ta có
z-1=x-12+y2≤5⇔x-12+y2≤25→
Tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn
tâm I11;0 bán kính R1=5.
z-i=x2+(y-1)2≥3⇔x2+(y-1)2≥9→Tập hợp các số phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm , bán kính R2=3.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng zmin=z1=0-2i=-2izmax=z2=6+0i=6⇒z1+2z2=12-2i.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y=gx=xfx2 có đồ thị trên đoạn [0;2] như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tô màu là S=52, tính tích phân I=∫14fxdx.
I=54
I=52
I=5
I=10
Đáp án C
S=∫12xfx2dx=52⇔52=12∫12fx2dx2=12∫14fudu=I2⇒I=5..
Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường Elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí của mỗi m2 làm đường 600.000đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
293.904.000
283.904.000
293.804.000
294.053.072
Đáp án D
Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật và Ox, Oy song song với cạnh chiều dài và chiều rộng.
Diện tích mặt đường là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi 2 elip E1:x2502+y2302=1 và E2:x2482+y2282=1⇒S=π50.30-48.28=156π.
Số tiền là đường là: T=600.000×S≈294.053.072.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19) và mặt cầu S:x-12+y-12+z-12=1. M(a;b;c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T=3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
a + b + c = 0
a + b + c = 12
a + b + c = 125
a + b + c = 154
Đáp án D
Gọi điểm Ix;y;z sao cho 3IA¯+2IB¯+IC¯=0¯ suy ra điểm I(1;4;-3)
Xét mặt cầu S:x-12+y-12+z-12=1 có tâm E(1;1;1) và bán kính R = 1.
Suy ra IE¯=(0;-3;4)⇒IE=5>R=1. Ta có T=3MA¯2+2.MB¯2+MC¯2=3.MI¯+IA¯2+2.MI¯+IB¯2+MI¯+IC¯2
=6.MI2+2.MI¯.3IA¯+2IB¯+IC¯+3IA2+2IB2+IC2=6MI2+3IA2+2IB2+IC2.
Để tổng T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất vì tổng 3IA2+2IB2+IC2 không đổi. Suy ra M, E, I thẳng hàng mà IE = 5 và EM = 1 nên ⇒5.EM¯=EI¯.
Lại có EI¯=0;3;-4 và EM¯=a-1;b-1;c-1 suy ra a=15b-1=35c-1=-4⇒a+b+c=154.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 60°. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
43π4
43π36
43π12
4πa316
Đáp án C
Gọi M là trung điểm BC.
Dễ dàng chứng minh ∠SBC,ABC=∠SMA=60°
⇒SA=AM3=32. Đây là khối chóp có cạnh bên
vuông góc đáy nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính là: R2=SA22+2AM32=4348⇒S=4πR2=43π12.
Cho ∫-15fxdx=5, ∫45ftdt=-2 và ∫-14gudu=13.Tính ∫-14fx+gxdx bằng.
83
223
-203
103
Đáp án B
Ta có ∫54ftdt=-∫54ftdt=-2⇒∫54ftdt=∫54fxdx=2 .
Suy ra ∫-15fxdx+∫45ftdt=∫-15fxdx+∫54fxdx=∫-14fxdx=7.
Khi đó
∫-14fx+gxdx+∫-14fxdx+∫-14gxdx=∫-14fxdx+∫54fxdx=∫-14gudu=7+13=223.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=lnx,y=0,x=1 và x=kk>1. Gọi Vk là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox. Biết rằng Vk=π, hãy chọn khẳng định đúng?
3 < k < 4
1 < k < 2
2 < k < 3
4 < k < 5
Đáp án C
Thể tích khối tròn xoay cần tính là VH=π.∫1klnxdx⇒I=∫1klnxdx.
Đặt u=lnxdv=dx⇔du=dxxv=xsuy ra I=x.lnx1k-∫1kdx=x.lnx-11k=k.lnk-1+1.
Mặt khác VH=π.I=π⇒I=1 suy ra k.lnk-1+1=1⇔k.lnk-1=0⇔k=e.
Một khối đá có hình một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
43πR33
43πR39
43πR36
43πR312
Đáp án B
Gọi h và r (0 < h,r < 2R) lần lượt là chiều cao và bán kính mặt đáy của viên đá cảnh hình trụ ⇒r2=R2-h24 và áp dụng bất đẳng thức với 3 số x,y,z > 0 là:
x2+y2+z2≥3x2y2z23⇔xyz≤x2+y2+z233.
Thể tích viên đá là:
V=πr2h=πR2-h24h⇒Vπ2R2-h24R2-h24≤h22+R2-h24+R2-h2433⇒Vπ2≤π2R369⇒V≤4πR339
