Đề số 10

Đáp án A

Xét hàm số $y=x^3+3x^2-2$ ta có $y\text{'}=3x^2+6x;y\text{'}=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ 

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right) và \left(0;+\infty \right)$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2;1\right)$.

Đáp án B

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3x^3+2x+5\right)=+\infty$

Đáp án D

Ta có $v\left(t\right)=\left[S\left(t\right)\right]\text{'}=3t^2+4t.$ 

Khi vật chuyển động được quãng đường $16m\Rightarrow t^3+2t^2=16\iff t=2$. 

Khi đó vận tốc của vật là $v\left(t\right)=3t^2+4t=20$.

Đáp án C

Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{5}{4}{u}_n+3<0\Rightarrow u_{n+1}<u_n$ nên u_n là dày sổ giảm

Với n = 1 ta có $u_1=10<3$. 

Giả sử $u_n>3$ ta sẽ chửng minh $u_{n+1}>3$ 

Ta có $u_{n+1}=\frac{1}{5}{u}_n>\frac{1}{5}.3+3>3$ nên ta suy ra dãy số bị chặn dưới

Do dãy số giảm và bị chặn dưới nên ta suy ra dãy số có giới hạn

Giả sử $lim{u}_n=L\Rightarrow L=\frac{1}{5}L+3\iff L=\frac{15}{4}\Rightarrow lim{u}_n=\frac{15}{4}$.

Đáp án D

Ta có ${\left(x+2y\right)}^{50}=\sum _{k=0}^{50}{C}_{50}^k{x}^k.{\left(2y\right)}^{50-k}$

Số hạng thứ 31 trong khai triển Newton của A là $2^{20}{C}_{50}^{30}{x}^{30}{y}^{20}$.

Đáp án C

Ta có: $9{\ln }^{2}x+4{\ln }^{2}y=12\ln x.\ln y$

$\iff {\left(3\ln x\right)}^2-12\ln x.\ln y+{\left(2\ln y\right)}^2=0\iff {\left(3\ln x-2\ln y\right)}^2=0$

$\iff 3\ln x=2\ln y\iff \ln x^3=\ln y^2\iff x^3=y^2$.

Đáp án D

Ta có

$z^2+2z+10=0\iff {\left(z+1\right)}^2+9=0\iff {\left(z+1\right)}^2=-9={\left(3i\right)}^2\iff [\begin{array}{l}z=z_1=-1+3i\Rightarrow \left|z_1\right|=\sqrt{10}\\ z=z_2=-1-3i\Rightarrow \left|z_2\right|=\sqrt{10}\end{array}$

Khi đó $A={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2=10+10=20$.

Đáp án C

Ta có $f\text{'}\left(\mathrm{\pi }\right)=5{\sin }^4\left(a\mathrm{\pi }\right).a\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=5a{\sin }^{4}ax.\cos ax\Rightarrow f\text{'}\left(\mathrm{\pi }\right)=5a.{\sin }^4\left(a\mathrm{\pi }\right).\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)$

Đáp án C

Ta có $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{A}_1}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

Đáp án D

Ta có $\overline{z}=4-2i-\left(2-i\right)\left(1+i\right)=4-2i-\left(3+i\right)=1-3i$

Do đó $z=1+3i$

Đáp án B

Do $x\in \left[-1;1\right]$ nên $0\le \left|x\right|\le 1$.  Do đó $2^0\le 2^{\left|x\right|}\le 2^1\Rightarrow 1\le y\le 2$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi x = 0.

Đáp án D

${\log }_{25}15=\frac{{\log }_{3}15}{{\log }_{3}25}=\frac{m}{2{\log }_{3}25}=\frac{m}{2\left({\log }_{3}15-{\log }_{3}3\right)}=\frac{m}{2\left(m-1\right)}$

Đáp án C

Theo công thức lãi kép ta có $T=A{\left(1+r\right)}^n$ với T là số tiền cả gốc cả lãi thu được, A là số tiền ban đầu, r là số tiền lãi suất, n là kì hạn

Để sổ tiền tăng gấp đôi thì $T=2A\Rightarrow 2A=A{\left(1+r\right)}^n\iff 2={\left(1+0,075\right)}^n\iff n={\log }_{1075}2\approx 9,6$ năm

Vậy cẩn 10 năm để sổ tiền tâng gấp đôi

Đáp án C

để phương trình: 2sinx + mcosx - 2m = 0 có nghiệm

$2^2+m^2\ge {\left(2m\right)}^2\iff m^2\le \frac{4}{3}\iff -\frac{2}{\sqrt{3}}\le m\le \frac{2}{\sqrt{3}}$

Đáp án A

Ta có $\overline{z}=\frac{{\left(1-\sqrt{3}i\right)}^3}{1-i}=\frac{1-3\sqrt{3}i-9+3\sqrt{3}i}{1-i}=\frac{-8}{1-i}=\frac{-8\left(i+1\right)}{\left(1-i\right)\left(i+1\right)}=-4\left(i+1\right)\Rightarrow z=-4+4i$

Do đó $\overline{z}+iz=-4\left(1+i\right)+i\left(-4+4i\right)=-8-8i\Rightarrow \left|\overline{z}+iz\right|=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=8\sqrt{2}$

Đáp án C

${\log }_{a}b=\alpha \iff b=a^{\alpha }$.

Đáp án C

Ta có $y\text{'}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{\left(x-1\right)}{x^2}>0\left(\forall x\in \left[e;e^2\right]\right)$  

Do đó hàm số đã cho liên tục và đồng biến trên đoạn $\left[e;e^2\right]$

GTLN của hàm số trên đoạn $\left[e;e^2\right]$ là $y\left(e^2\right)=2+\frac{1}{e^2}$

Đáp án C

Diện tích của lá để làm cái nón lá chính là diện tích xung quanh của hình nón

Ta có $S_{xq}=\mathrm{\pi rl}=\mathrm{\pi }\frac{5}{2}.5=\frac{25\mathrm{\pi }}{2}$

Đáp án B

Gọi a là cạnh của khối lập phương đã cho

Ta có $V_1=a^3$;$V_2={\left(a-4\right)}^3 \left(a\left(m\right)>0\right)$ 

Lại có $V_1-V_2=a^3-{\left(a-4\right)}^3=604\iff 12a^2-48a-540\iff [\begin{array}{l}a=9\\ a=-5\left(loai\right)\end{array}$

Đáp án B

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-6=0\iff x=1$.

Khi đó $f\text{'}\left(1\right)=-3;f\left(1\right)=0$ 

PTTT cần tìm là $y=-3\left(x-1\right)=-3x+3$

Đáp án C

Đặt $t=e^x$ do $x\in \left(-2;-1\right)\Rightarrow t\in \left(\frac{1}{e^2};\frac{1}{e}\right)$ khi đó $y=\frac{t-1}{t-m}\left(t\ne m\right)$ 

Ta có $y\text{'}=\frac{-m+1}{{\left(t-m\right)}^2}$, để hàm số đồng biến $\left\{\begin{array}{l}-m+1>0\\ m\in \left(\frac{1}{e^2};\frac{1}{e}\right)\end{array}\right.\Rightarrow [\begin{array}{l}m\le \frac{1}{e^2}\\ \frac{1}{e}\le m<1\end{array}$

Đáp án D

Ta có $A={\log }_{\frac{1}{3}}7+2{\log }_{9}49-{\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{7}=-{\log }_{3}7+2{\log }_{3^2}49-{\log }_{3^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{7}$

$=-{\log }_{3}7+{\log }_{3}49-{\log }_3\frac{1}{49}={\log }_{3}343=3{\log }_{3}7$

Đáp án B

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

Đáp án A

Ta có $\left[u^n\left(x\right)\right]\text{'}=n.u^{n-1}\left(x\right).u\text{'}\left(x\right)$.

Đáp án C

Ta có $\cos 2x=\cos \left(-2x\right)\Rightarrow y=\cos 2x$ là hàm số chẵn

Đáp án A

Ta có $y\text{'}=\frac{8}{{\left(x-2\right)}^2}$. PTTT cần tìm là $y=y\text{'}\left(0\right)\left(x-x_M\right)+y_M\iff y=-2x-1$

Đáp án D

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=\end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}\Rightarrow$ không tồn tại $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$.

Đáp án A

Xét hàm số f(x) là một hàm số tùy ý. Ta có $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right);f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=x_0$ Khi đó

- Nếu f(x) có đạo hàm tại $x_0$ và đạt cực đại tại $x_0$ thì $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ 

- Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì f(x) đạt cực tiểu tại $x=x_0$

- Nếu f(x) đạt cực tiểu tại $x=x_0$ thì $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$

Đáp án D

Trong một giờ máy bơm đó bơm được

$V=S.v={\mathrm{\pi r}}^2.\mathrm{v}=\mathrm{\pi }\frac{1}{4}{\left(\frac{50}{100}\right)}^2.0,5.60.60=\frac{225\mathrm{\pi }}{2} \left(m^3\right)$

Đáp án B

Ta có ${\int }_0^a\cos \left(x+a^2\right)dx={\overline{)\sin \left(x+a^2\right)}}_0^a=\sin \left(a+a^2\right)-\sin a^2=\sin a \left(1\right)$

Với $a=\sqrt{2\mathrm{\pi }}\Rightarrow \sin \left(\sqrt{2\mathrm{\pi }}+2\mathrm{\pi }\right)-\sin 2\mathrm{\pi }=\sin \sqrt{2\mathrm{\pi }}$ (thỏa mãn)

Với $a=\sqrt{3\mathrm{\pi }}\Rightarrow \sin \left(\sqrt{3\mathrm{\pi }}+3\mathrm{\pi }\right)-\sin 3\pi =\sin \sqrt{3\mathrm{\pi }}$ (loai)

Tương tự các đáp án  không thỏa mãn đẳng thức (1)

Đáp án D

Xét hàm số $y=x^3-3m{x}^2-2x-m$ trên khoảng (0;1) có $y\text{'}=3x^2-6mx-2$

Hàm số đã cho liên tục và nghịch biến trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi  $y\text{'}\le 0,\forall x\in \left[0;1\right]$

Khi đó $3x^2-6mx-2\le 0;\forall x\in \left[0;1\right]\iff 6m\ge \frac{3x^2-2}{x};\forall x\in \left[0;1\right]\iff 6m\ge \underset{\left[0;1\right]}{max}\left\{\frac{3x^2-2}{x}\right\}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x^2-2}{x}$  trên [0;1], ta có $f\text{'}\left(x\right)=3+\frac{2}{x^2}>0,\forall x\in \left[0;1\right]$  suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [0;1].

Do đó $\underset{\left[0;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$. Khi đó $6m\ge 1\iff m\ge \frac{1}{6}$.

Đáp án D

Đặt z = x + yi ta có

$\left|x+yi\right|=\left|\left(1+i\right)\left(x+yi\right)\right|\iff \left|x+\left(y-1\right)i\right|=\left|\left(x-y\right)\left(x+y\right)i\right|$

$x^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(x-y\right)}^2+{\left(x+y\right)}^2\iff x^2+y^2-2y-1=0\iff x^2+{\left(y+1\right)}^2=2$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm  bán kính $R=\sqrt{2}$

Đáp án B

Ta có $\frac{{\log }_{3}5.{\log }_{5}a}{1+{\log }_{3}2}-{\log }_{6}b=2\iff {\log }_{6}a-{\log }_{6}b=2\iff {\log }_6\frac{a}{b}=2\iff a=36b$.

Đáp án D

Bán kính của quả bóng đá là  $C=2\mathrm{\pi R}\Rightarrow \mathrm{R}=\frac{68,5}{2\mathrm{\pi }}=10,9 \mathrm{cm}$

Diện tích xung quanh của quả bóng là  $S_{xq}=4{\mathrm{\pi R}}^2=1493,6 {\mathrm{cm}}^2$

Vậy số miếng da để làm quả bóng trên là $N=\frac{S_{xq}}{S}=\frac{1493,6}{49,83}\approx 30$ miếng

Đáp án A

Mệnh đề (I),(IV) đúng

Đáp án C

Theo công thức lãi kép ta có $T=A{\left(1+r\right)}^n$ trong đó

T là cả tiền gốc lẫn lãi khi lấy về

A là số tiền ban đầu

R là lãi suất

N là số kỳ hạn

Khi đó $250=100{\left(1+\frac{7}{100}\right)}^n\Rightarrow n={\log }_{1,07}\frac{250}{100}\approx 13,54$  năm.

Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu thì người đó  cần gửi trong khoảng thời gian 14 năm

Đáp án B

Gọi chiều cao của đáy là 2x và chiều rộng là x. Chiều cao của hồ là h

Khi đó  $V=2x^{2}h=\frac{500}{3}\Rightarrow h=\frac{500}{6x^2}$

Phần diện tích cần xây (bao gồm đáy hộ và phần abo quanh) là

 $S=2x^2+6xh=2x^2+6x.\frac{500}{6x^2}=2x^2+\frac{500}{x}=2x^2+\frac{250}{x}+\frac{250}{x}\ge \sqrt[3]{2x^2.\frac{250}{x}.\frac{250}{x}}=150$

(Bất đẳng thức AM-GM). Dấu bằng xảy ra  $\iff 2x^2=\frac{250}{x}\Rightarrow x=5\left(m\right)$

Khi đó chi phí là 600000.150=90.000.000

Đáp án C

Vẽ đồ thị hàm số $y=\left|x^3-3x+2\right|=[\begin{array}{l}{x}^3-3x+2\left(x^3-3x+2\ge 0\right)\\ -\left(x^3-3x+2\right)\left(x^3-3x+2<0\right)\end{array}$

Gồm 2 phần (hình bên dưới)

Phần 1: là đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$

Phần 2: lấy đối xứng đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ qua trục Ox

Khi đó nghiệm của phương trình $\left|x^3-3x+2\right|={\log }_{\sqrt[4]{2}}\left(m^2+1\right)$ là số giao điểm của (C) và đường thẳng $y={\log }_{\sqrt[4]{2}}\left(m^2+1\right)$

Vật phương trình có 4 nghiệm $\iff 0<{\log }_{\sqrt[4]{2}}\left(m^2+1\right)<4\iff 0<4{\log }_2\left(m^2+1\right)<4$

$1<m^2+1<2\iff m^2<1\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ m\ne 0\end{array}\right.$

Đáp án B

Ta có $P=2\left(x^3+y^3\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(2-xy\right)-3xy$

Mặt khác $x^2+y^2=2\iff {\left(x+y\right)}^2-2xy=2\iff 2xy={\left(x+y\right)}^2-2\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}\iff -2\le x+y\le 2$

Khi đó  $2P=2\left(x+y\right)\left(4-2xy\right)-6xy=2\left(x+y\right)\left[4-{\left(x+y\right)}^2+2\right]-3\left[{\left(x+y\right)}^2-2\right]$

$=6+12\left(x+y\right)-3{\left(x+y\right)}^2-2{\left(x+y\right)}^3=f\left(t\right)=6+12t-3t^2-2t^3$

Với  $t=x+y\in \left[-2;2\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=6+12t-3t^2-2t^3$  trên đoạn [-2;2] ta có

$f\text{'}\left(t\right)=12-6t-6t^2$;$f\text{'}\left(t\right)=0\iff [\begin{array}{l}t=-2\\ t=1\end{array}$

So sánh các giá trị f(-2);f(1);f(2), ta được $\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(t\right)=f\left(1\right)=13\Rightarrow M=\frac{13}{2}$.

Đáp án B

Bán kính đáy của hình trụ là R = 20 cm

Diện tích toàn phần của hình lập phương là $S_1=6.{40}^2=9600 c{m}^2$

Diện tích toàn phần của hình trụ là  $S_2=2\mathrm{\pi Rh}+2{\mathrm{\pi R}}^2=2\mathrm{\pi }20.40+2\mathrm{\pi }{40}^2=4800 {\mathrm{cm}}^2$

Vậy tổng $S=S_1+S_2=9600+4800\mathrm{\pi }=2400\left(4+2\mathrm{\pi }\right) {\mathrm{cm}}^2$

Đáp án B

Ta có $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{ax}a=a$  vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{ax}=1$

Vậy để hàm số f(x) liên tục tại $x_0=x\iff \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff a=\frac{1}{2}$.

Đáp án A

Ta có $C_n^2-C_n^1=44\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}-n=44\iff \frac{n\left(n-1\right)}{2}-n=44\Rightarrow n=11$

Khi đó ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\right)}^n={\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\right)}^{11}=\sum _{k=0}^{11}{C}_{11}^k.{\left(x\sqrt{x}\right)}^{11-k}.{\left(\frac{1}{x4}\right)}^k=\sum _{k=0}^{11}{C}_{11}^k.{\left(x\right)}^{\frac{3}{2}(11-k)-4k}$.