Đề số 01
51 câu hỏi
Thể tích khối nón có bán kính bằng 2a và chiều cao bằng 3a là:
2πa3
4πa3
12πa3
πa3
Đáp án B
Thể tích khối nón là V=13π2a3.3a=4πa3
Phương trình 2cos2x+cosx-3=0 có nghiệm là
π2+kπ
k2π
π2+k2π ; x=arcsin32+k2π
kπ
Đáp án B
2cos2x+cosx-3=0⇔[cosx=1cosx=-32⇔x=k2π k∈ℤ
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=a,BC=a10. Thể tích khối nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC là:
3πa3
9πa3
πa3
10πa3
Đáp án C
Bán kính đáy hình nón là a, chiều cao hình nón là
h=10a2-a2=3a⇒V=13πa2.3a=πa3
Tính P=log216+log1464.log22
P = -2
P = 10
P = 1
P = -1
Đáp án A
Ta có P=log216+log1464.log22=4-2log464=4-3.2=-2
Số hạng chính giữa trong khai triển 3x+2y4 là
36C42x2y2
43x22y2
6C42x2y2
C42x2y2
Đáp án A
Số hạng chính giữa trong khai triển 3x+2y4 là C42.3x2.2y2=36C42x2y2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD. Gọi M là trung điểm của SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD) Mệnh đề nào sau đây đúng?
MN và SD cắt nhau
MN và CD cắt nhau
MN và CD song song với nhau
MN và SC cắt nhau
Đáp án B
Gọi I=AB∩CD và N=SB∩MI khi đó giao điểm của SB và (MCD) là N. Dễ thấy MN và CD cắt nhau
Tính giới hạn M=limx→-1x3+1x+1
M = 0
M = -1
M = 1
M = 3
Đáp án D
Ta có M=limx→-1x+1x2-x+1x+1=limx→-1x2-x+1x+1=3
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức N=A.ert trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0) và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?
48 giờ
24 giờ
60 giờ
36 giờ
Đáp án D
N=A.ert⇒1500=250.e12r⇔12r=ln6⇒r=112ln6ert=216⇒112ln6.t=ln216⇒t=36
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a,BC=a,AA'=2a3 .Tính theo a thể tích khối trụ ABC.A'B'C'
2a333
a333
4a33
2a33
Đáp án D
VABC.A'B'C'=AA'.SABC=12AA'.AB.BC=4a332=2a33
Cho các số tự nhiên n, k thỏa mãn 0≤k≤n. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng.
Ank=n!k!
Cn+1k=Cn+1n-k
Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1
Pn=n!(n-k)!
Đáp án C
Ank=n!n-k!; Cn+1k=Cn+1n+1-k; Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1; Pn=n!
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi G là trọng tâm ∆BCD Khi đó, giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng
BC
AC
AN
AB
Đáp án C
Do 4 điểm A, M, G, N cùng thuộc mặt phẳng (AND) khi đó MG cắt AN suy ra giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song CD). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB, O là giao điểm của AC và BD. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau
SO và AD
MN và SC
SA và BC
MN và SO
Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy 2 đường thẳng MN và SO cắt nhau. Các cặp đường thẳng (SO;AD),(MN;SC),(SA;BC) chéo nhau
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=2x3-3x2-12x+10 trên đoạn [-3;3] là
max[-3;3]fx=1;min[-3;3]fx=-35
max[-3;3]fx=1;min[-3;3]fx=-10
max[-3;3]fx=17;min[-3;3]fx=-10
max[-3;3]fx=17;min[-3;3]fx=-35
Đáp án D
fx=2x3-3x2-12x+10⇔f'x=6x2-6x-12⇔x=-1;x=2
So sánh f-3=-35,f-1=17,f2=-10,f3=1
max[-3;3]fx=17;min[-3;3]fx=-35.
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân
u1=2un+1=un2
u1=-3un+1=un+1
u1=-1un+1=3un
u1=3un+1=2n.un
Đáp án C
Cấp số nhân có công thức truy hồi dạng u1=aun+1=q.un
Dãy số u1=-1un+1=3unlà CSN với u1=-1 và công sai q = 3.
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
y=sin2x+sin4x
y=cosx-sin4x+2017
y=tanx+cotx
y=xcos2x+x2
Đáp án B
Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn f(x) = f(-x)
Xét hàm số
y=f(x)=cosx-sin4x+2017⇒f-x=cos(-x)-sin4(-x)+2017=cosx-sin4x+2017
Do đó f(x) = f(-x)
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm ∆ABD,∆ABC. Tìm mệnh đề đúng
Hai đường thẳng IJ, CD chéo nhau
Đường thẳng IJ cắt CD
Đường thẳng IJ cắt mặt phẳng (BCD)
Đường thẳng IJ//CD
Đáp án D
Gọi M và N lần lượt là trung điểm BD và BC khi đó AIAM=AJAN=23⇒IJ//MN
Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác BCD do đó MN // CD do đó IJ // CD.
Cấp số cộng un có u1+u3=82u2+3u4=32. Khi đó, số hạng đầu tiên là
8
32
2
223
Đáp án C
Ta có u1+u3=2u2⇒u2=4⇒u4=8⇒d=u4-u22=2⇒u1=u2-d=2
Giải phương trình 4+152x2-5x=4-156-2x
x=32;x=2
x=32;x=-2
x=-32;x=-3
x=-32;x=2
Đáp án A
4+152x2-5x=4-156-2x⇔4+152x2-5x=4+152x-6⇔2x2-5x=2x-6⇔2x2-7x+6=0⇔x∈{2;1;5}
Cho cấp số cộng có u4=-12,d=3 Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
-24
24
-26
26
Đáp án B
Ta có: u4=u1+3d⇒u1=u4-3d=-12-3.3=-21
Suy ra S16=16.u1+16.152d=16.-21+16.152.3=24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F, G là các điểm thuộc cạnh SC, AB (F không là trung điểm của SC). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFG) là:
Lục giác
Tứ giác
Ngũ giác
Tam giác
Đáp án C
Kẻ EG cắt SB tại I, nối FI cắt BC tại M.
Kẻ GM cắt CD tại H, nối FH cắt SD tại N
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác GMFNE (hình vẽ bên)
Cho hàm số y=3-4xx+1 có đồ thị (C) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
(C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 4
(C)có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
(C) không có tiệm cận
(C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -4
Đáp án B
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là x = -1;y = -4
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ
815
17
715
115
Đáp án D
Chọn ngẫu nhiên 2 người có Ω=C102 cách
Gọi A là biến cố: 2 người được chọn đều là nữ
Ta có ΩA=C32 Do đó sác xuất cần tìm là PA=C32C102=115
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình fx=m có 6 nghiệm thực phân biệt
m > 4
0 < m < 4
0 < m < 3
3 < m < 4
Đáp án D
Đồ thị hàm số y=fx đối xứng với đồ thị hình vẽ qua trục hoành
Phương trình fx=m có 6 nghiệm thực phân biệt khi 3 < m < 4
Cho hình trụ có đường kính đáy là 8, đường sinh 10. Thể tích khối trụ là:
160
160π
1603π
640π
Đáp án B
Bán kính đáy là 4, chiều cao hình trụ là 10, thể tích khối trụ là π42.10=160π
Cho hàm số y=fx=-2x3+3x2+12x-5 Mệnh đề nào dưới đây sai?
f(x) nghịch biến trên khoảng 1;+∞
f(x)đồng biến trên khoảng -1;1
f(x)đồng biến trên khoảng 0;2
f(x) nghịch biến trên khoảng -∞;-3
Đáp án A
Ta có y'=-6x2+6x+12=-6x+1x-2
Hàm số đồng biến trên khoảng -1;2 và nghịch biến trên khoảng -∞;-1 và 2;+∞
Do đó A sai
Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn a34>a43 và logb12<logb23 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a > 1,0 < b < 1
0 < a < 1,b > 1
0 < a < 1,0 < b < 1
a > 1,b > 1
Đáp án B
Ta có a34>a43⇒0<a<1(do34<43)
Mặt khác logb12<logb23⇒b>1(do23>12)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-2;-1) và có limx→2-f(x)=2,limx→1-f(x)=-∞. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Đồ thị hàm số f(x)có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
Đồ thị hàm số f(x)có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2và y = -1
Đồ thị hàm số f(x)có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
Đồ thị hàm số f(x)có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -2và x = -1
Đáp án C
limx→2-f(x)=2,limx→1-f(x)=-∞ nên đồ thị hàm số có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng là x = -1
Cho hàm số y=110x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Hàm số nghịch biến trên ℝ
Tập xác định của hàm số là D=(0;+∞)
Tập giá trị của hàm số là ℝ
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng
Đáp án A
Hàm số y=110x xác định và nghịch biến trênℝ. Tập giá trị của hàm số là (0;+∞). Đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển x3-3x12
559
559x4
181
-181
Đáp án A
x3-3x12=∑k=012C12k.x312-k.-3xk=∑k=012C12k.x12-2k.32k-12-1k
Tìm số hạng chứa x4 ứng với 12-2k=4⇔k=4
Tìm tất cả các giả trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x3-3x2+m+2x-m và đồ thị của hàm số y = 2x - 2 có 3 điểm chung phân biệt
m < 3
m > 3
m < 2
m > 2
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm
x3-3x2+m+2x-m=2x-2⇔x3-3x2+mx-m+2=0⇔x-1x2-2x-2+mx-1=0⇔x-1x2-2x-2+m=0⇔[x=1gx=x2-2x-2+m=0
Hai đồ thị có 3 điểm chung ⇔gx có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔∆'=3-m>0g1=-3+m≠0⇔m<3
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cận tại A,AB=AC=2a,CAB^=120° góc giữa (A'BC) và (ABC) là 45° Thể tích lăng trụ là
V=2a33
V=a33
V=a333
V=a332
Đáp án B
Kẻ AP⊥BC(P∈BC)⇒A'PA^=45°⇒AA'=AP
Mà cos60°=APAB=12⇒AP=a⇒AA'=a
⇒V=A'A.SABC=a.1a.sin120°=a33
Cho m=log220. Tính log205 theo m được
m-2m
m-1m
mm-2
m+2m
Đáp án A
Ta có
log220.log205=log25=log2204=log220-log24=log220-2⇒log205=log220-2log220=m-2m
Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d Biết fx+1=x3+3x2+3x+2 hãy xác định biểu thức f(x)
fx=x3+1
fx=x3+3x+2
fx=x3+3x2
fx=x3+3x2+3x+1
Đáp án A
Ta có fx+1=x3+3x2+3x+2=x+13+1⇒fx=x3+1
Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hĩnh vẽ sau
Tính S = a + b
S = 1
S = 0
S = -2
S = -1
Đáp án C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 điểm cực trị A(0;2),B(2;-2)
Điểm A(0;2) là điểm cực đại suy ra y'0=0y'0=2⇔c=0d=2(1)
Điểm B(2;-2) là điểm cực đại suy ra y'(2)=0y'(2)=-2⇔12a+4b+c=08a+4b+2c+d=-2(2)
Từ (1),(2) suy ra a = 1,b = -3,c = 0,d = 2 Vậy tổng a + b = 1 - 3 = -2.
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC),SA=2a tam giác ABC cân tại A, BC=2a2,cosACB^=13. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
S=97πa23
S=97πa24
S=97πa22
S=97πa25
Đáp án B
Gọi H là trung diểm của BC suy ra cosACB^=sinHAB^=13⇒cosHAB^=223
Mà sinBAC^=2sinHAB^.cosHAB^=429 nên theo định lí Sin, ta có R∆ABC=BC2sinBAC^=94
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R=R2∆ABC+SA24=a974
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là S=4πR2=4πa9742=97πa24
Cho hàm số fx=x2-1x+1 khi x≠-1-2 khi x=-1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng -∞;-1
Hàm số không liên tục trên ℝ
Hàm số f(x) liên tục trên ℝ
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng 1;+∞
Đáp án B
Ta có limx→-1x2-1x+1=limx→-1x-1x+1x+1=limx→-1x-1=-2=f-1⇒ Hàm số f(x) liên tục trên ℝ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng α với tanα=105. Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD).
60°
69,3°
90°
45°
Đáp án A
Ta có CB⊥ABCB⊥SA⇒CB⊥(SAB)
Do đó SC;SAB^=CSB^=α
⇒SB=atanα=5a10⇒SA=SB2-AB2=a62
Ta có SO;ABCD^=SOA^ trong đó tanSCA^=SAOA=a62a22=3.
Bổ dọc một quả dưa hấu ta được tiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 31000cm dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)
183.000đ
180.000đ
185.000đ
190.000đ
Đáp án A
Xét hình elip có trục lớn là 28 cm suy ra 2a=28⇒a=14cm
Và có trục nhỏ là 25 cm suy ra 2b=25⇒b=5cm
Vậy thể tích của quả dưa hấu bằng thể tích khối tròn xoay quanh khi quay elip xung quanh trục lớn khi đặt quả dưa hấu nằm ngang, do đó thể tích
V=43πab2=43π.14.12,52=87503π cm3
Vậy số tiền từ việc bán nước sinh tố là T=V1000.20,000=183,000 đồng
Cho dãy số un với un=an+2n+1, a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số là một dãy số tăng
a < 1
a > 1
a > 2
a < 2
Đáp án C
Để dãy số tăng thì
un+1-un=an+1+2n+1+1-an+2n+1=a-1n+2n+1>0 ∀n⇔a-2>0⇔a>2
Tìm m để phương trình log32x-m+2log3x+3m-1=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1x2=27
m>4+22
m = 1
m = 3
m=283
Đáp án B
Điều kiện: x > 0 Đặt t=log3x khi đó phương trình trở thành t2-m+2t+3m-1=0 (*)
Để phương trình có có hai nghiệm ⇔* có 2 nghiệm phân biệt ⇔∆=m+22-4.3m-1>0
Khi đó, gọi t1,t2 là hai nghiệm phân biệt của (*) theo hệ thức Viet, ta có t1+t2=m+2t1t2=3m-1
Theo bài ra, có
x1x2=27⇔log3x1x2=log327⇔log3x1+log3x2=3⇔t1+t2=3⇔m=1
Đối chiếu điều kiện m+22-43m-1>0 suy ra m = 1 là giá trị cần tìm.
Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số f(x)
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = -1
Hàm số f(x)đạt cực tiểu tại x= 1
Hàm số f(x)đạt cực tiểu tại x = -2
Hàm số f(x)đạt cực đại tại x = -2
Đáp án B
Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị
Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số f(x)
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = -1
Hàm số f(x)đạt cực tiểu tại x= 1
Hàm số f(x)đạt cực tiểu tại x = -2
Hàm số f(x)đạt cực đại tại x = -2
Đáp án B
Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị
Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích 2dm3. Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy thêm 23dm thì thể tích của hộp giấy là 16dm3. Hỏi nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu lên 223dm thì thể tích hộp giấy mới là:
32dm3
54dm3
64dm3
72dm3
Đáp án B
Thể tích hình hộp chữ nhật V=abc=2 (với a, b, c là các kích thức dài, rộng và chiều cao của khối hộp)
Thể tích khối hộp khi tăng mỗi cạnh lên 23dm là V2=a+23b+23c+23=16
Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có: a+23≥a.23
Tương tự ta có: V2=a+23b+23c+23≥8abc.2.2.23=16
Dấu bằng xảy ra ⇔a=b=c=23. Do đó V2=a+23b+23c+23=54.
Xét các mệnh đề sau
(1). Đồ thị hàm số y=12x-3 có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang
(2). Đồ thị hàm số y=x+x2+x+1x có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng
(3). Đồ thị hàm số y=x-2x-1x2-1 có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
Số mệnh đề đúng là:
0
3
2
1
Đáp án D
Đồ thị hàm số y=12x-3 có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang
Đồ thị hàm số y=x+x2+x+1x có 1 tiệm cận đứng là x = 0
Mặt khác limx→+∞y=x+x2+x+1x=limx→+∞x+x+1x+1x2x=0 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang
Xét hàm số y=x-2x-1x2-1=x-2x-1x+2x-1x2-1=x-1x+2x-1x-1x>12 suy ra đồ thị không có tiệm cận đứng. Do đó có 1 mệnh đề đúng
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét 4 mệnh đề sau
(1) Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x0=0
(2) Hàm số y=f(x) có ba cực trị.
(3) Phương trình y=f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt
(4) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]
Hỏi trong 4 mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
1
3
4
2
Đáp án D
Hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x0=0
Hàm số y=f(x) có ba điểm cực trị.
Phương trình f(x)=0 có 4 nghiệm phân biệt
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]
Cho a∈19;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=9log133a3-log13a3+1. Khi đó giá trị của A=5m+3M gần giá trị nào nhất
-1,3
-1,5
-1,4
-1,2
Đáp án A
Đặt t=log13a với a∈19;3⇒t∈-1;2.
Khi đó P=9log133a3-log13a3+1=13log13a3-3log13a+1⇒P=f(t)=t33-3t+1
Xét hàm số ft=t33-3t+1 trên đoạn [-1;2] ta có:
f't=t2-3;f't=0⇔t2=3-1≤t≤2⇔t=3
Tính các giá trị f-1=113;f2=-73;f3=1-23
Vậy giá trị lớn nhất của f(t) là f-1=113 và giá trị nhỏ nhất của f(t) là f3=1-23
Do đó 3M+5m=3.113+51-23=16-103=-1,32
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là điểm trên đường chéo CA’ sao cho MC→=-3MA'→ Tính tỉ số giữa thể tích V1 của khối chóp M.ABCD và thể tích V2 của khối lập phương?
V1V2=13
V1V2=34
V1V2=19
V1V2=14
Đáp án D
Do MCA'C=34⇒dN;ABCdM;ABC=34
Ta có
VM.ABCD=13SABCD.dM;ABCD=13SABCD.34dA;ABCD=14VABCD.A'B'C'D'⇒V1V2=14
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) có một đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h>0). Tính h để khối trụ (T) có giá trị lớn nhất
h=2R3
h=2R33
h=R3
h=R33
Đáp án B
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r
Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là R2=r2+h24
Thể tích khối trụ là V=πr2h=π44R2-h2.h
Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có
4R2-h24R2-h22h2≤4R2-h2+4R2-h2+2h2327
Nên 4R2-h2.h2≤256R627⇒V≤π44R2-h2h≤4π39R3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4R2-h2=2h2⇔h=2R33.
Kể từ năm 2017 giả sử mức lạm phát ở nước ta với chu kỳ 3 năm là 12%. Năm 2017 một ngôi nhà ở thành phố X có giá là 1 tỷ đồng. Một người ra trường đi làm vào ngày 1/1/2017 với mức lương khởi điểm là P triệu đồng/ 1 tháng và cứ sau 3 năm lại được tặng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng là 50% của lương. Với P bằng bao nhiêu thì sau đúng 21 năm đi làm anh ta mua được nhà ở thành phố X, biết rằng mức lạm phát và mức tăng lương không đổi. (kết quả quy tròn đến chữ số hàng đơn vị)
9 588 833 đồng
11 558 431 đồng
13 472 722 đồng
12 945 443 đồng
Đáp án B
Gía trị ngôi nhà sau 21 năm là Tn=1.1+12%6.109 đồng
Lương của người đó sau 3 năm đầu là 36P triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là 18.P triệu đồng
Lương của người đó sau 3 năm tiếp theo là
361+10%+10%.P1+10%=36.P1+10%2 triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là 18P.1+10%2 triệu đồng
Khi đó, sau 21 năm số tiền người đó tiết kiệm được là 18P.1+10%6 triệu đồng cũng chính là số tiền dùng để mua nhà. Vậy 18.P(1+1,1+1,12+...+1,16)=Tn⇒P=11 558 431 đồng
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là
V=67πa3
V=32πa3
V=43πa3
V=76πa3
Đáp án D
Gọi P là hình chiếu của N xuống BK
Khi quay tứ giác ANPB quanh trục BC ta được khối trụ có thể tích V1=πAB2.BP=2a3π3
Lại có BP=23a;NP=a suy ra PK=NP2BP=3a2
Khi quay tam giác NKP quanh trục BC ta được khối nón có thể tích do đó V=V1+V2=76πa3
Cho hình cầu (O;R) hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O, đồng thời cắt khối cầu thành ba phần sao cho thể tích phần nằm giữa hai mặt phẳng bằng 1327 thể tích khối cầu .Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
3R2
R3
2R3
R2
Đáp án C
Ta có công thức chỏm hình cầu bán kính R và chiều cao h là: V=πh2R-h3
Vò 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O nên thể tích phần giữa và thể tích khối cầu được tính là V1Vc=4πR33-2πh2R-h34πR33=1327⇔1427=3h22R2-h32R3⇔hR=23 vì 0<h<R
Khoảng cách giữa (P) và (Q) là 2R-2h=2R3.
