Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 2)
22 câu hỏi
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
\(2\).
\( - 2\).
\( - 1\).
\(1\).
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và giá trị cực tiểu của hàm số bằng \( - 2.\) Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? 
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn B.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\], có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \[ - 1\].
Đồ thị hàm số \[f\left( x \right)\] có đúng hai điểm cực trị.
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \[0\].
Đồ thị hàm số \[f\left( x \right)\] có đúng một điểm cực tiểu.
Khẳng định đúng là: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \[ - 1\]. Chọn A.
Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0\,;\,ad - bc \ne 0} \right)\] có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 
\[y = - 1\].
\[y = 2\].
\[x = - 1\].
\[x = 2\].
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \[x = 2\]. Chọn D.
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? 
\(y = - {x^3} - 3{x^2} - 2.\)
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 2.\)
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2.\)
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 2.\)
Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số là hàm bậc ba và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên \(a > 0\), suy ra loại A, C. Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) nên chọn đáp án B. Chọn B.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) .
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 5\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 4\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 7\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = \frac{{15}}{2}\).
Ta có \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}} \Rightarrow y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 4x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Với \(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left[ { - 4; - 2} \right)\\x = - 3 \in \left[ { - 4; - 2} \right)\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào đồ thị \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 7\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới.
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {1;4} \right)\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\].
Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x > 4\end{array} \right.\). Suy ra hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên các khoảng \[\left( { - 1;1} \right),\left( {4; + \infty } \right)\]. Chọn B.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}}\) có đường tiệm cận xiên là
Đường thẳng \(y = - 1\).
Đường thẳng \(y = - x + 6\).
Đường thẳng \(x = - 2\).
Đường thẳng \(y = - x\).
Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}} = - x + 6 - \frac{{15}}{{x + 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}} - \left( { - x + 6} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 15}}{{x + 2}} = 0\).
Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = - x + 6\). Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^4}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(0\).
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^4} = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^5}\).
\(f'\left( x \right) = 0\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\) nhưng chỉ có \(x = 1\) ảnh hưởng đến dấu của \(f'\left( x \right)\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) có một điểm cực trị. Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(0\).
Dựa vào đồ thị ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là \(x = - 2\) và \(x = 0\). Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Chọn A.
Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10\] trên đoạn \[\left[ { - 2\,;\,2} \right]\] là
\[17\].
\[10\].
\[15\].
\[ - 12\].
Ta có \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\]. Có \[f\left( { - 1} \right) = 15;\,\,f\left( { - 2} \right) = 8;\,\,f\left( 2 \right) = - 12\].
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 2\,;\,2} \right]\] là \[15\]. Chọn C.
Đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\] có toạ độ điểm cực đại là
\(\left( {3\,;0} \right)\).
\(\left( {3\,;1} \right)\).
\(\left( {1\,;4} \right)\).
\(\left( {1\,;3} \right)\).
Ta có \[y' = 3{x^2} - 12x + 9\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên:
Vậy đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\] có toạ độ điểm cực đại là \(\left( {1\,;3} \right)\). Chọn D.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\).
b) \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = 0\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0;1} \right\}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) là \(0\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\). Có \(f\left( 0 \right) = {e^{ - 1}} - 0 = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = {e^{1 - 1}} - 1 = 0\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{e^{{x^2} - 1}} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{e^{{x^2} - 1}} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0; \pm 1} \right\}\).
Ta có bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\):
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) với \(t \ge 0\). Nếu coi \(y = f\left( t \right)\) là hàm số xác định trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) thì \(f'\left( t \right)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm \(t\).
a) Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm \(t\) là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\).
b) Số người bị nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là 4 752.
c) Đến ngày thứ 45 thì không còn người nhiễm bệnh.
d) Trong 35 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.
Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm \(t\) là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\).
Số người nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là:
\(f\left( {13} \right) = 45 \cdot {13^2} - {13^3} = 5\,408\) người.
Ta có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 90t - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 30}\\{t = 0\,\,\,}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy, đến ngày 45 thì không còn người nhiễm bệnh và trong 30 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).
a) Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là điểm \(I\left( {2;1} \right)\).
c) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành.
d) Gọi \(M\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục tung. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}\).
Hàm số xác định khi \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 1\).
Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1 \Rightarrow {y_1} = - 1\\{x_2} = - 3 \Rightarrow {y_2} = - 5\end{array} \right.\).
Vì \[{y_1} \cdot {y_2} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 5 > 0\] nên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành.
Ta có \(M\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\), \(f'\left( 0 \right) = \frac{3}{4}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(y = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) - \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + x\sqrt 2 \).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2\sin x + \sqrt 2 \).
b) \(f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( \pi \right) = - 2 + \pi \sqrt 2 \).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).
d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(\pi \sqrt 2 \).
Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = - 2\sin x + \sqrt 2 \).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 2\cos 0 + 0 \cdot \sqrt 2 = 2;\,\,f\left( \pi \right) = 2\cos \pi + \pi \sqrt 2 = - 2 + \pi \sqrt 2 \).
\(f'\left( x \right) = - 2\sin x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(0 \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{8} \le k \le \frac{3}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\);
\(0 \le \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{3}{8} \le k \le \frac{1}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\).
Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 2,\,\,f\left( \pi \right) = - 2 + \pi \sqrt 2 ,\,\,f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 + \frac{{\pi \sqrt 2 }}{4},\,\,f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 + \frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}\).
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2 + \frac{{\pi \sqrt 2 }}{4},\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) = - \sqrt 2 + \frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) = \pi \sqrt 2 \).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 1\) có hai điểm cực trị \(A\) và \(B\). Phương trình đường thẳng \(AB\)là \(y = ax + b\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Tính tổng \(a + b\).
Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\). Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {1; - 6} \right)\) và \(B\left( { - 3;26} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;32} \right)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(\overrightarrow n = \left( {8;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng\(AB\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng:
\(8\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow y = - 8x + 2\)\( \Rightarrow a = - 8;b = 2 \Rightarrow a + b = - 6\).
Đáp án: \( - 6\).
Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính \(AB = 150\,{\rm{m}}\). Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc 1,5 \[{\rm{km/h}}\] từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) bất kỳ trên cung . Tại vị trí \(C\) người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục đi bộ dọc theo cung nhỏ đến \(B,\) sau đó đi bộ theo đường thẳng \(BA\) để quay về \(A\) với vận tốc 3 \[{\rm{km/h}}\] (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến \(A\) là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn, \(M\) là trung điểm \(AC,\) \(\widehat {COM} = x\,\,\left( {{\rm{rad}}} \right)\) \(\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right).\)
Khi đó \(AC = 2CM = 2 \cdot 75 \cdot \sin x = 150\sin x\,\,{\rm{(m)}}\); .
Ta có \(1,5\,\,{\rm{km/h}}\, = 25\) m/phút; \(3\,{\rm{km/h}} = 50\) m/phút.
Thời gian di chuyển của người đó là:
\( = 6\sin x - 3x + \frac{3}{2}\pi + 5\) (phút).
\(T' = 6\cos x - 3\); \(T' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3}.\)
\(T\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\pi + 5 \approx 9,7;\,\,T\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 11;\,\,T\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 5 + 3\sqrt 3 + \frac{\pi }{2} \approx 11,8.\)
Vậy thời gian chậm nhất khoảng 11,8 phút.
Đáp án: \(11,8\).
Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là \[30\] nghìn đồng/\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\], bán ra là \[35\]nghìn đồng/\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Với giá bán này thì số gạo bán được trong một tháng là \[12\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \[1\] nghìn đồng/\[{\rm{1}}\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{kg}}\] thì số lượng gạo bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm \[4\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Cửa hàng phải định giá bán gạo mới là bao nhiêu nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?
Giả sử cửa hàng bán gạo với giá giảm \[x\] nghìn đồng /\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\].
Khi đó số gạo bán được trong một tháng là: \[12\,000{\kern 1pt} \, + 4\,000x\] (kg).
Doanh thu của cửa hàng trong một tháng là: \[P\left( x \right) = \left( {35 - x} \right)\left( {12\,000{\kern 1pt} + 4\,000x} \right)\] (nghìn đồng).
Chi phí của cửa hàng trong một tháng là: \[C\left( x \right) = 30\left( {12\,000{\kern 1pt} + 4\,000x} \right)\] (nghìn đồng).
Lợi nhuận của cửa hàng thu được trong một tháng là:
\[L\left( x \right) = P\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {5 - x} \right)\left( {12\,000{\kern 1pt} + 4\,000x} \right) = - 4\,000{x^2} + 8\,000x + 60\,000\] (nghìn đồng).
\[L'\left( x \right) = - 8\,000x + 8\,000 = 0 \Leftrightarrow x = 1\].
\[ \Rightarrow {L_{\max }} = L\left( 1 \right) = 64\,000\].
Vậy cửa hàng phải định giá bán gạo mới là \[34\] nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất.
Đáp án: \[34\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(T = M + m\).
Ta có \(h'\left( x \right) = 3 \cdot \frac{1}{{x\ln 2}} \cdot \le f'\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + 3{x^2} - 18x + 15\).
Với \(x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow - 1 < {\log _2}x - 1 < 1 \Rightarrow f'\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) < 0 \Rightarrow 3 \cdot \frac{1}{{x\ln 2}} \cdot f'\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) < 0\).
Và \(3{x^2} - 18x + 15 \le 0,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow h'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\).
Suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;4} \right]\).
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} h\left( x \right) = h\left( 4 \right) = - 13;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) = 20 \Rightarrow T = 7\).
Đáp án: \(7\).
Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của các quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng \(k\) lần \(\left( {1 \le k \le 2} \right)\) là \({t_k} = \frac{{{N_k}}}{N}\) (trong đó \({N_k}\) là số công nhân vi phạm đúng \(k\) lần, \(N\) là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:
Nếu mỗi công nhân nộp phạt \(x\) nghìn đồng \(\left( {60 \le x \le 300} \right)\) khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt \(x - 20\) nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì \({t_1} = \frac{{36}}{{x + 10}}\) và \({t_2} = \frac{4}{{x - 30}}\) (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).
Biết rằng \(N\) không đổi và bằng \(2\,400\). Tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ta có: \({t_k} = \frac{{{N_k}}}{N} \Leftrightarrow {N_k} = N \cdot {t_k}\).
Số công nhân vi phạm đúng một lần là \({N_1} = N \cdot {t_1} = \frac{{36N}}{{x + 10}}\).
Suy ra số tiền nộp phạt từ \({N_1}\) công nhân này là: \({N_1} \cdot x = \frac{{36Nx}}{{x + 10}}\) (nghìn đồng).
Số công nhân vi phạm đúng hai lần là \({N_2} = N \cdot {t_2} = \frac{{4N}}{{x - 30}}\).
Suy ra số tiền nộp phạt từ \({N_2}\) công nhân này là: \({N_2} \cdot \left( {x + x - 20} \right) = \frac{{4N\left( {2x - 20} \right)}}{{x - 30}}\) (nghìn đồng).
Vậy tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng là:
\(f\left( x \right) = \frac{{36Nx}}{{x + 10}} + \frac{{4N\left( {2x - 20} \right)}}{{x - 30}}\)\( = 4N\left( {\frac{{9x}}{{x + 10}} + \frac{{2x - 20}}{{x - 30}}} \right)\) (nghìn đồng).
Xét hàm số \(f\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {60;300} \right]\), ta có: \(f'\left( x \right) = 4N \cdot \left[ {\frac{{90}}{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}} - \frac{{40}}{{{{\left( {x - 30} \right)}^2}}}} \right]\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{90}}{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}} - \frac{{40}}{{{{\left( {x - 30} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 110\quad (TM)\\x = 14\quad \;\,(L)\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là: \(43N = 43 \cdot 2\,400 = 103\,200\) (nghìn đồng) \( \approx 103\) (triệu đồng).
Đáp án: \(103\).
Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) và đường đi khi đó ứng với đường thẳng \(\left( d \right):y = - x + 4\). Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \(\left( {{d_1}} \right):y = - x + m\) (với \(m > 4\)) song song với \(\left( d \right):y = - x + 4\) và cắt \(\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(B,C\)\(\left( {{x_B}\,;\,{x_C} > 1} \right)\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( C \right)\): \(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m + 1 = 0.\)
\(\Delta = {m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3 + 2\sqrt 3 \) (vì \(m > 4\)) (1).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_B} = m - 1\\{x_C} \cdot {x_B} = m + 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(CB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_B} + m + {x_C} - m} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2}} \).
\( \Rightarrow C{B^2} = 2{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} = 2{\left( {{x_B} + {x_C}} \right)^2} - 8{x_B} \cdot {x_C} = 2{m^2} - 12m - 6\).
Mặt khác chọn \(I\left( {0;4} \right) \in \left( d \right)\), ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( d \right);\left( {{d_1}} \right)\) là:
\(AB = d\left( {I,\left( {{d_1}} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{m - 4}}{{\sqrt 2 }}\).
Để \(ABCD\) là hình vuông thì \(A{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m - 4} \right)}^2}}}{2} = 2{m^2} - 12m - 6 \Leftrightarrow m = \frac{{8 \pm 2\sqrt {37} }}{3}\).
Kết hợp điều kiện (1) suy ra \(m = \frac{{8 + 2\sqrt {37} }}{3}\).
Vậy khoảng cách giữa hai cột đèn bên bờ hồ bằng \(\frac{{\frac{{8 + 2\sqrt {37} }}{3} - 4}}{{\sqrt 2 }} \approx 1,92.\)
Đáp án: \(1,92\).
