Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân (Đề số 1)

Xét dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \({u_n} = 5 \cdot {2^n}\). Ta có \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{5 \cdot {2^{n + 1}}}}{{5 \cdot {2^n}}} = 2\] không đổi với mọi \(n\).

Vậy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \({u_n} = 5 \cdot {2^n}\) là một cấp số nhân. Chọn C.

Dãy số \( - \,\frac{1}{3};\, - \,1; - \frac{5}{3}; - \,\frac{7}{3};\, - \,3;...\) là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là \( - \,\frac{1}{3}\) và công sai là \( - 1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{2}{3}\). Chọn A.

Ta có\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 \Leftrightarrow n = 44\). Chọn B.

Ta có \({u_1} = - 1;\,q = 5\) nên \({S_n} = \frac{{ - 1\left( {1 - {5^n}} \right)}}{{1 - 5}} = \frac{{1 - {5^n}}}{4}\). Chọn B.

Ta có \({S_{25}} = \frac{{25\left[ {2 \cdot 2 + 24 \cdot \left( { - 5} \right)} \right]}}{2} = - 1450\). Chọn A.

Công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 2 + 3\left( {n - 1} \right)\]. Chọn D.

Ta có công sai \[d = \left( { - \frac{7}{6}} \right) - \left( { - \frac{2}{3}} \right) = \left( { - \frac{2}{3}} \right) - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = \left( { - \frac{1}{6}} \right) - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} = - 0,5\]. Chọn C.

Với \({u_n} = 4n - 3,\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_1} = 1,\,\,d = 4\).

Suy ra \({S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20 \cdot 19 \cdot d}}{2} = 20 \cdot 1 + 20 \cdot 19 \cdot 2 = 780\). Chọn A.

Ta có \({S_9} = {u_1} \cdot \frac{{{q^9} - 1}}{{q - 1}} = 342\). Chọn C.

Ta có \(d = {u_4} - {u_3} = 2 - \left( { - 1} \right) = 3.\) Chọn C.

Dãy số \(10,{\rm{ 100}},{\rm{ 1000}},{\rm{ }}...,{\rm{ 1000}}...{\rm{0}}\) (số hạng cuối có \(n\) số 0) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên tổng của dãy số này bằng \(\frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{{10 - 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9}\).

Ta có \(S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9\)\( = \left( {10 - 1} \right){\rm{ + }}\left( {100 - 1} \right){\rm{ + }}\left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {1000...0 - 1} \right)\)

\( = \left( {10 + {\rm{100}} + {\rm{1000}} + {\rm{ }}... + {\rm{1000}}...{\rm{0}}} \right) - \underbrace {\left( {1 + 1 + ... + 1} \right)}_{n\,\,{\rm{s\^o '}}\,1}\)\( = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n\). Chọn A.

Gọi \({u_1},\,\,q\) là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) đã cho.

Ta có \({u_2} = {u_1}q,\,\,{u_6} = {u_1}{q^5}\) nên \(\frac{{{u_6}}}{{{u_2}}} = \frac{{{q^5}}}{q} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \Rightarrow q = \pm 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{4}{{ \pm 2}} = \pm 2\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_n} = - 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\\{u_n} = 2 \cdot {2^{n - 1}}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\\{u_n} = {2^n}\end{array} \right..\)Chọn A.

Gọi số hạng đầu, công sai của cấp số cộng lần lượt là \({u_1},d\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).

Vậy cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 35\) và công sai \(d = 5\).

Số hạng thứ \(15\) là \({u_{15}} = {u_1} + 14d = - 35 + 14 \cdot 5 = 35\).

Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5n - 40\].

Do \({u_n} < 100\) nên \(5n - 40 < 100 \Leftrightarrow n < 28\).

Do đó có \(27\) số hạng là \({u_1},{u_2},...,{u_{27}}\) nhỏ hơn \(100\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Sai.

Theo bài ra ta có, số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).

Số cây của hàng thứ \(3\)là: \({u_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5\) (cây).

Số cây của hàng thứ \(11\)là: \({u_{11}} = 1 + 10 \cdot 2 = 21\) (cây).

Số cây của hàng thứ \(5\)là: \({u_5} = 1 + 4 \cdot 2 = 9\) (cây).

Vậy hàng thứ \(11\)nhiều hơn hàng thứ \(5\)là \(12\)cây.

Tổng số cây được trồng là:

\[{S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} \Leftrightarrow 900 = \frac{{\left( {2 + 2n - 2} \right)n}}{2} \Leftrightarrow {n^2} = 900 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 30\\n = - 30\end{array} \right.\].

Vậy hàng cuối cùng là hàng thứ 30 và ta có\({u_{30}} = 1 + 29 \cdot 2 = 59\)(cây).

Đáp án:           a) Sai,            b) Đúng,         c) Sai,              d) Sai.

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có u1+u5=51u2+u6=102 ⇔u1+u1q4=51u1q+u1q5=102 ⇔u11+q4=51(1)u1q1+q4=102(2)

Nhận xét: Nếu \({u_1} = 0\) hay \(q = 0\) thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có \({u_1}q \ne 0\). Chia theo vế (2) cho (1), ta được: \(q = 2\). Thay \(q = 2\) vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \({u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}\). Ta có \({u_4} = 3 \cdot {2^3} = 24\).

Xét \({u_n} = 12\,288 \Leftrightarrow 3 \cdot {2^{n - 1}} = 12\,288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13\).

Vậy \(12\,288\) là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Sai,              d) Đúng.

Ta có \({u_{n - 1}} = \frac{{{u_n}}}{q} = \frac{{2048}}{2} = 1024\). Vì \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} \Leftrightarrow 2048 = {u_1} \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow 4096 = {u_1} \cdot {2^n}\).

Ta có \({u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_{n - 1}} + {u_n} = {S_n} = 4092\).

\( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{n - 1}} = 4092 - {u_n} = 4092 - 2048 = 2044\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 4092\\{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 2048\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) = 4092\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 2048q\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra \({u_1} - 2048q = 4092 - 4092q \Leftrightarrow {u_1} = - 2044q + 4092 = - 2044 \cdot 2 + 4092 = 4\).

Khi đó \({u_7} = {u_1} \cdot {q^6} = 4 \cdot {2^6} = 256\).

Đáp án:           a) Sai,            b) Đúng,         c) Đúng,          d) Sai.

Gọi công sai của cấp số cộng là \(d\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - 2{u_5} = 13\\{u_1} + 3{u_4} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + d} \right) - 2\left( {{u_1} + 4d} \right) = 13\\{u_1} + 3\left( {{u_1} + 3d} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.\).

Do đó \({u_{2025}} = {u_1} + 2024d = - 6064 = a\). Vậy \(P = 1 - a = 1 - \left( { - 6\,064} \right) = 6\,065\).

Đáp án:\(6\,065\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} = 10\\{u_2} + {u_5} = 4011\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1} - 2d = 10\\{u_1} + d + {u_1} + 4d = 4011\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - 5\\{u_1} = 2018\end{array} \right.\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2018 - 5\left( {n - 1} \right)\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right).\)

Theo đề ra \({u_n} = 2018 - 5\left( {n - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow 2018 < 5\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 2023 < 5n \Leftrightarrow n > 404,6\). Do \(n\) là số tự nhiên nên ta lấy \(n = 405\). Vậy bắt đầu từ số hạng thứ \(405\) thì cấp số cộng có giá trị âm.

Đáp án:\(405\).

Điều kiện: \[k \in \mathbb{N},k \le 12\].

\(C_{14}^k\), \(C_{14}^{k + 1}\), \(C_{14}^{k + 2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có

\(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\)\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = 2\left( {14 - k} \right)\left( {k + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4{\rm{ (tm)}}\\k = 8{\rm{ (tm)}}\end{array} \right.\).

Tổng tất cả các phần tử của \(S = 4 + 8 = 12\).

Đáp án:\(12\).

Gọi cấp số nhân đó là: u1 ;  u2 ;  u3 ; ...... ;  un

Ta có \({u_4} = 24 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^3} = 24 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} = 24 \Leftrightarrow {u_1} = - 3\).

\({u_n} = 786\,432 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 786\,432 \Leftrightarrow \left( { - 3} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 786\,432\)

\( \Rightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = {\left( { - 2} \right)^{18}} \Leftrightarrow n - 1 = 18 \Rightarrow n = 19\).

Vậy cấp số nhân có \(19\)số hạng.

Đáp án:\(19\).

Ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 24 nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\, + y\, + z\, = \,\,24\,\\x + z\, = \,2y\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\). Ta viết lại 3 số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) lần lượt bằng \(8 - d\), 8, \(8 + d\).

Nếu cộng thêm lần lượt các số \(1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13\) vào ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) ta được ba số là \(9 - d,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 12,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 21 + d\).

Vì ba số này theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có phương trình

\[\left( {9 - d} \right)\left( {21 + d} \right) = {12^2}\,\]\[ \Leftrightarrow \,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {d^2} + 12d - 45 = 0\]\[\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\,d = 3\,\\\,d = - 15\end{array} \right.\].

Vì cấp số cộng tăng nên \(d > 0 \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \)ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) lần lượt bằng \(5,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 8,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 11\).

Suy ra \[P = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2} + {8^2} + {11^2} = 210\].

Đáp án:\(210\).

Gọi \({u_n}\) là số lá sen ngày thứ \(n.\) Khi đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 3.\)

Nếu số lá sen ngày đầu là \(1\) thì \({u_1} = 1\), số lá sen ngày thứ 15 là \({u_{15}} = {u_1}{q^{14}} = 1 \cdot {3^{14}} = {3^{14}}\).

Như vậy để hồ đầy lá thì cần \({3^{14}}\) lá.

Nếu số lá sen ngày đầu là \(9\) thì \({u_1} = 9\), số lá sen ngày thứ \(n\) là \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 9 \cdot {3^{n - 1}} = {3^{n + 1}}\).

Để hồ đầy lá sen thì cần \({3^{14}}\) lá nên \({3^{n + 1}} = {3^{14}} \Leftrightarrow n + 1 = 14 \Leftrightarrow n = 13\).

Vậy đến ngày thứ 13 thì hồ đầy lá.

Đáp án:\(13\).