Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 2)
22 câu hỏi
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tất cả các nghiệm của phương trình \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0\) là
\[\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \)\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Chọn A.
Giải phương trình \({\sin ^2}x - {\sin ^2}x \cdot {\cos ^2}x = 1\) ta được
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \({\sin ^2}x - {\sin ^2}x \cdot {\cos ^2}x = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x \cdot {\sin ^2}x = 1\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^4}x = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\)\( \Leftrightarrow \cos x = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)Chọn B.
Nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0\] là
\[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} - k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{2\pi }}{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Ta có\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sin 2x \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - 2x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = - 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \pi + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{2\pi }}{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].Chọn C.
Vận tốc của con lắc đơn \[v\,\,\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\]được cho bởi công thức \[v\left( t \right) = 3\sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right)\]. Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng \[3\;{\rm{cm/s}}\]?
\(\frac{{5\pi }}{3}\).
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
\(\pi \).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
Ta có \[v = 3 \Leftrightarrow 3\sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right) = 3 \Leftrightarrow \sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Kiểm tra các phương án:
Phương án A: \(\frac{{5\pi }}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow k\pi = \frac{{4\pi }}{3} \Leftrightarrow k = \frac{4}{3} \notin \mathbb{Z}\) nên A loại.
Phương án B: \(\frac{{4\pi }}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow k = 1 \in \mathbb{Z}\) nên B thỏa mãn.
Phương án C: \(\pi = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow k = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\) nên C loại.
Phương án D: \(\frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow k = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\) nên D loại.
Chọn B.
Nghiệm của phương trình \({2^x} = 5\) là
\(x = {\log _2}5\).
\(x = {\log _5}2\).
\(x = \sqrt 5 \).
\(x = \frac{5}{2}\).
Ta có\({2^x} = 5 \Leftrightarrow x = {\log _2}5\). Chọn A.
Dân số thế giới được ước tính theo công thức \(S = A \cdot {e^{ni}}\), trong đó \(A\) là dân số của năm lấy làm mốc, \(S\) là dân số sau \(n\) năm, \(i\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Dân số Việt Nam năm 2019 là \(95,5\) triệu người, tỉ lệ tăng dân số hằng năm từ 2009 đến nay là \(1,14\% \). Hỏi dân số Việt Nam năm 2009 gần với số nào nhất trong các số sau? (đơn vị là triệu người, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
\(85,2\)triệu người.
\(84,2\)triệu người.
\(86,2\)triệu người.
\(85,5\)triệu người.
Áp dụng công thức \(S = A \cdot {e^{ni}}\) trong đó: \(S = 95,5\) triệu người; \(n = 10\)năm; \(i = 1,14\% \).
Ta có số dân Việt Nam năm 2009 là: \(A = \frac{S}{{{e^{ni}}}} = \frac{{95,5}}{{{e^{10\, \cdot \,1,14\% }}}} \approx 85,2\) triệu người. Chọn A.
Phương trình \({\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3}\) có bao nhiêu nghiệm?
Vô nghiệm.
Một nghiệm.
Hai nghiệm.
Bốn nghiệm.
Điều kiện: \( - 4 < x < 4\) và \(x \ne - 1\).
Ta có log4x+12+2=log24−x+log84+x3 ⇔log24x+1=log24−x4+x
⇔4x+1=16−x2 ⇔4x+1=16−x24x+1=x2−16 ⇔x=2x=−6 x=2+26x=2−26
Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 2 - 2\sqrt 6 \). Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} + 2x + 5}} + {3^{{x^2} + 2x}} \ge {3^{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} + 5 \cdot {2^{{x^2} + 2x}}\) là
\(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\).
\(\left[ { - 3\,;\,1} \right]\).
\(\left[ { - 1\,;\,0} \right]\).
Ta có \({2^{{x^2} + 2x + 5}} + {3^{{x^2} + 2x}} \ge {3^{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} + 5 \cdot {2^{{x^2} + 2x}}\)\( \Leftrightarrow {2^5} \cdot {2^{{x^2} + 2x}} - 5 \cdot {2^{{x^2} + 2x}} \ge {3^2} \cdot {3^{{x^2} + 2x}} - {3^{{x^2} + 2x}}\)
\( \Leftrightarrow 27 \cdot {2^{{x^2} + 2x}} \ge 8 \cdot {3^{{x^2} + 2x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2} + 2x}} \le \frac{{27}}{8} \Leftrightarrow {x^2} + 2x \le {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1\).Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x + 1} \right) \le 1\) là
\(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\).
\(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\).
\(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\).
Điều kiện xác định: \(2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x + 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow 2x + 1 \le 2 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\).
Kết hợp với điều kiện ta được: \( - \frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\). Chọn C.
Nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{{\log }_5}\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\log }_5}\left( {3 - x} \right)}} < 2\) là
\( - \frac{1}{3} \le x < 2\).
\( - \frac{1}{3} < x < 1\).
\( - \frac{1}{3} < x \le 1\).
\( - \frac{1}{3} < x < 2\).
Xét phương trình \[\frac{{{{\log }_5}\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\log }_5}\left( {3 - x} \right)}} < 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\].
Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}3 - x > 0\\{x^2} - 9x + 8 > 0\\{\log _5}\left( {3 - x} \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 8\end{array} \right.\\3 - x \ne 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x < 1\).
Với điều kiện này, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _{3 - x}}\left( {{x^2} - 9x + 8} \right) < 2\quad \left( 2 \right)\).
Do \(x < 1 \Rightarrow 3 - x > 2\) nên \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 8 < {\left( {3 - x} \right)^2} \Leftrightarrow x > - \frac{1}{3}\).
Kết hợp điều kiện \(x < 1\) ta có \( - \frac{1}{3} < x < 1.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \( - \frac{1}{3} < x < 1.\)Chọn B.
Tập nghiệm của bất phương trình \(2{\log _3}\left( {4x - 5} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)\) là
\(\left[ {\frac{5}{4}\,; + \infty \,} \right]\).
\(\left( {\frac{5}{4}\,;\,\frac{{29 + 3\sqrt {97} }}{{16}}} \right]\).
\(\left( {\,\,\frac{{29 - 3\sqrt {97} }}{{16}};\frac{5}{4}} \right]\).
\(\left[ {3\,;\, + \infty } \right)\).
Ta có \(2{\log _3}\left( {4x - 5} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)\left( * \right)\).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 5 > 0\\18x + 27 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{4}\).
Với điều kiện trên, \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {4x - 5} \right)^2} \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {4x - 5} \right)^2} \le 18x + 27\)\( \Leftrightarrow \frac{{29 - 3\sqrt {97} }}{{16}} \le x \le \frac{{29 + 3\sqrt {97} }}{{16}}\).
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là \(S = \left( {\frac{5}{4}\,;\,\frac{{29 + 3\sqrt {97} }}{{16}}} \right]\). Chọn B.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)nghiệm đúng với mọi \(x\).
\(m \in \left( { - 5;0} \right)\).
\(m \in \left[ { - 5;0} \right]\).
\(m \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
\(m \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\).
Ta có \({\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{ - {x^2} - 2mx - 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} - 2mx - 1 \le 2x - 3m \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3m + 1 \ge 0\).
Yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3m + 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} + 3m - 1 \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 0\). Chọn B.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\).
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \).
b) Phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{3}.\)
d) Khi \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình đã cho có ba nghiệm.
Ta có \(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Xét \(\frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < 0\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \)\(k < \frac{{ - 2}}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Suy ra \(k = - 1\) ta có \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho.
Vì \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) nên \(\frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3},k \in \mathbb{Z}\).
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1\,;\,0} \right\}\).
Với \(k = - 1\) thì \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\); với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
Cho phương trình \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - m + 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với \(m\) là tham số.
a) Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm \[x = \frac{{5\pi }}{2}\].
b) Khi \(m = 4\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
c) Khi \(m = 3\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right].\)
d) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi và chỉ khi \( - 1 < m < 1.\)
a) Thay \[x = \frac{{5\pi }}{2}\] vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được \(\left( {\sin \frac{{5\pi }}{2} - 1} \right)\left( {2\cos \frac{{5\pi }}{2} - m + 1} \right) = 0\) luôn đúng. Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm \[x = \frac{{5\pi }}{2}\].
b) Khi \(m = 4\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - 3} \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Ta có \(\cos x = \frac{3}{2}\) vô nghiệm.
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), suy ra tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
c) Khi \(m = 3\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - 2} \right) = 0\,\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\)phương trình có các nghiệm \(0\,;\,\frac{\pi }{2};\,2\pi \).
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right].\)
d) Phương trình \(\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\, \in \left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
+) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có đúng 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)khi và chỉ khi \(\cos x = \frac{{m - 1}}{2}\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) và khác \(\frac{\pi }{2}\,\)\( \Leftrightarrow - 1 < \frac{{m - 1}}{2} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Cho phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\).
a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\).
c) Khi \(m = 2\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} \cdot {x_2} = {\log _2}3\).
d) Có tất cả \(6\) giá trị nguyên của tham số\(m\) để phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\).
a) Khi \(m = 1\) thì phương trình trở thành \({2^{{x^2} - 2x}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
b)Xét hàm số\(u\left( x \right) = {x^2} - 2x\) trên \(\mathbb{R}\), ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra \( - 1 \le {x^2} - 2x \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{{x^2} - 2x}}\).
Xét phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi
\[{m^2} - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}\].
c)Khi \(m = 2\) thì phương trình trở thành \({2^{{x^2} - 2x}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {\log _2}3 = 0 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = - {\log _2}3\)(theo Viet).
d) Xét hàm số \(u\left( x \right) = {x^2} - 2x\) trên \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\), có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra \( - 1 \le u\left( x \right) \le 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{{x^2} - 2x}} \le 8\).
Do đó, phương trình đã cho \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {m^2} - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 2m + 1 \ge 0\\{m^2} - m - 7 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {29} }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt {29} }}{2}\).
Kết hợp với \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\) có 6 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Cho bất phương trình \({\log _{\frac{1}{{10}}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) \ge 0\), có tập nghiệm là \(S = \left[ {a;b} \right]\).
a) Điều kiện của bất phương trình là \(x \in \mathbb{R}\).
b) Bất phương trình có chung tập nghiệm với \({x^2} - 5x + 6 \le 0\).
c) \(a;b;5\) là ba số lập thành một cấp số cộng.
d) \[\left[ {a;b} \right] \cup \left( {2;9} \right) = \left[ {c;d} \right)\], khi đó \({c^2} + {d^2}\) là số chính phương.
Điều kiện: \({x^2} - 5x + 7 > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\).
Khi đó, do cơ số \(0 < \frac{1}{{10}} < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:
\({x^2} - 5x + 7 \le {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {2;3} \right]\) nên \(a = 2,b = 3\)và số 5 không lập thành một cấp số cộng.
Ta có \[\left[ {2;3} \right] \cup \left( {2;9} \right) = \left[ {2;9} \right)\] nên \(c = 2,d = 9\), khi đó \({c^2} + {d^2} = 85\)không phải là một số chính phương.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _4}{\left( {x - 5} \right)^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\] bằng bao nhiêu?
Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \ne 5\end{array} \right.\]\[\left( * \right)\].
Ta có \[{\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _2}\left| {x - 5} \right| - {\log _2}8 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left| {x - 5} \right|} \right] = {\log _2}8\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left| {x - 5} \right| = 8\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 5\\\left( {x + 2} \right)\left( {5 - x} \right) = 8\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\] thỏa mãn \[\left( * \right)\].
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \[6 + \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} + \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} = 9\].
Đáp án:\(9\).
Một cái cổng vào một trung tâm thương mại có hình dạng là một phần của đồ thị hàm số\(y = 2\cos \frac{x}{2} + 2\). Gọi \(A,B\) là hai điểm nằm trên cổng (trên đồ thị hàm số \(y = 2\cos \frac{x}{2} + 2\) và \(C,D\)là hai điểm nằm trên mặt nền của cổng sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Người quản lí trung tâm thương mại muốn lắp một cái cửa kính tự động vào hình chữ nhật \(ABCD\). Tính diện tích của cái cửa cần lắp biết chiều cao của cái cửa là \(AD = 3\) mét (kết quả làm tròn đến hàng phần chục; lấy \(\pi = 3,14\); đơn vị diện tích là mét vuông).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
\[AD = 3 \Leftrightarrow 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 3 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Chọn \[A\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};3} \right);B\left( {\frac{{2\pi }}{3};3} \right);C\left( {\frac{{2\pi }}{3};0} \right);D\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};0} \right)\].
Khi đó, \[AB = \frac{{4\pi }}{3};AD = 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4\pi \,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) \approx 12,6\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Đáp án:\(12,6\).
Giả sử trong một ngày độ sâu \(d\left( t \right) \,({\rm{m)}}\) của một cảng biển sau \(t\) giờ kể từ lúc nửa đêm được tính bởi công thức \(d\left( t \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 8 \left( {\rm{m}} \right)\), \(0 \le t \le 24\). Trong một ngày có bao nhiêu lần độ sâu của cảng biển đạt mức thấp nhất?
Ta có \(d\left( t \right) = {\left[ {\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 1} \right]^2} + 7\) nên \(d\left( t \right)\) bé nhất khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = - 1\)
⇔πt6=π+k2π,k∈ℤ ⇔t=6+12k,k∈ℤ
Mà \(0 \le t \le 24\) nên \(0 \le 6 + 12k \le 24 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\), suy ra \(k = 0\) hoặc \(k = 1\).
Vậy có độ sâu của cảng biển đạt thấp nhất tại 2 thời điểm trong một ngày.
Đáp án:\(2\).
Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 2\,022\,;\,\,2\,022} \right)\) là nghiệm của bất phương trình \({3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1\)?
Ta có\[{3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} \cdot {2^{{x^2}}}} \right) > {\log _2}1 \Leftrightarrow {\log _2}{3^x} + {\log _2}{2^{{x^2}}} > 0\]
\[ \Leftrightarrow x{\log _2}3 + {x^2}{\log _2}2 > 0 \Leftrightarrow x{\log _2}3 + {x^2} > 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - {\log _2}3\end{array} \right.\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - {{\log }_2}3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Mà \(x \in \left( { - 2\,022\,;\,\,2\,022} \right),\,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2\,021;\, - 2\,020\,;\,...;\, - 2;\,1\,;\,2\,;\,...;\,2\,021} \right\}\).
Vậy có \(4\,041\) số thỏa mãn.
Đáp án:\(4\,041\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) thuộc khoảng \(\left( { - 2024;2025} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)?
Ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 1} \ge 2 - 4x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge 1 - 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x \ge 0\\{x^2} + 1 \ge {\left( {1 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\3{x^2} - 4x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\).
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 0\).
Mà \(x \in \left( { - 2024;2025} \right),\,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,...;\,2024} \right\}\).
Đáp án:\(2\,025\).
Bất phương trình \({\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn?
Ta thấy \(2{x^4} + 2025 > 0\;\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó bất phương trình \({\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{x^4} + mx + m + 2025 \ge 2{x^4} + 2025 \Leftrightarrow mx + m \ge 0\).
Bất phương trình \({\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(mx + m \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Đáp án:\(1\).
