Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 2)

Xét phương trình \[\frac{{{{\log }_5}\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\log }_5}\left( {3 - x} \right)}} < 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\].

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x > 0\\{x^2} - 9x + 8 > 0\\{\log _5}\left( {3 - x} \right) \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 8\end{array} \right.\\3 - x \ne 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x < 1\).

Với điều kiện này, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _{3 - x}}\left( {{x^2} - 9x + 8} \right) < 2\quad \left( 2 \right)\).

Do \(x < 1 \Rightarrow 3 - x > 2\) nên \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 8 < {\left( {3 - x} \right)^2} \Leftrightarrow x > - \frac{1}{3}\).

Kết hợp điều kiện \(x < 1\) ta có \( - \frac{1}{3} < x < 1.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \( - \frac{1}{3} < x < 1.\) Chọn B.

Ta có \(2{\log _3}\left( {4x - 5} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)\left( * \right)\).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 5 > 0\\18x + 27 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{4}\).

Với điều kiện trên, \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {4x - 5} \right)^2} \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {4x - 5} \right)^2} \le 18x + 27\)\( \Leftrightarrow \frac{{29 - 3\sqrt {97} }}{{16}} \le x \le \frac{{29 + 3\sqrt {97} }}{{16}}\).

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là \(S = \left( {\frac{5}{4}\,;\,\frac{{29 + 3\sqrt {97} }}{{16}}} \right]\). Chọn B.

Ta có \({\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{ - {x^2} - 2mx - 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} - 2mx - 1 \le 2x - 3m \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3m + 1 \ge 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3m + 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} + 3m - 1 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 0\). Chọn B.

Ta có \(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét \(\frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < 0\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \)\(k < \frac{{ - 2}}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Suy ra \(k = - 1\) ta có \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho.

Vì \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) nên \(\frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3},k \in \mathbb{Z}\).

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1\,;\,0} \right\}\).

Với \(k = - 1\) thì \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\); với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Sai,              d) Sai.

a) Thay \[x = \frac{{5\pi }}{2}\] vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được \(\left( {\sin \frac{{5\pi }}{2} - 1} \right)\left( {2\cos \frac{{5\pi }}{2} - m + 1} \right) = 0\) luôn đúng. Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm \[x = \frac{{5\pi }}{2}\].

b) Khi \(m = 4\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - 3} \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Ta có \(\cos x = \frac{3}{2}\) vô nghiệm.

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), suy ra tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

c) Khi \(m = 3\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - 2} \right) = 0\,\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\) phương trình có các nghiệm \(0\,;\,\frac{\pi }{2};\,2\pi \).

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right].\)

d) Phương trình \(\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)   

+) \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\, \in \left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)

+) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi và chỉ khi \(\cos x = \frac{{m - 1}}{2}\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) và khác \(\frac{\pi }{2}\,\)\( \Leftrightarrow - 1 < \frac{{m - 1}}{2} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình trở thành \({2^{{x^2} - 2x}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

b) Xét hàm số \(u\left( x \right) = {x^2} - 2x\) trên \(\mathbb{R}\), ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \( - 1 \le {x^2} - 2x \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{{x^2} - 2x}}\).

Xét phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi

\[{m^2} - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}\].

c) Khi \(m = 2\) thì phương trình trở thành \({2^{{x^2} - 2x}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {\log _2}3 = 0 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = - {\log _2}3\) (theo Viet).

d) Xét hàm số \(u\left( x \right) = {x^2} - 2x\) trên \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\), có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra \( - 1 \le u\left( x \right) \le 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{{x^2} - 2x}} \le 8\).

Do đó, phương trình đã cho \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\)  

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {m^2} - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 2m + 1 \ge 0\\{m^2} - m - 7 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {29} }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt {29} }}{2}\).

Kết hợp với \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\) có 6 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.

Điều kiện: \({x^2} - 5x + 7 > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\).

Khi đó, do cơ số \(0 < \frac{1}{{10}} < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:

\({x^2} - 5x + 7 \le {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {2;3} \right]\) nên \(a = 2,b = 3\) và số 5 không lập thành một cấp số cộng.

Ta có \[\left[ {2;3} \right] \cup \left( {2;9} \right) = \left[ {2;9} \right)\] nên \(c = 2,d = 9\), khi đó \({c^2} + {d^2} = 85\) không phải là một số chính phương.

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Sai.

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \ne 5\end{array} \right.\] \[\left( * \right)\].

Ta có \[{\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _2}\left| {x - 5} \right| - {\log _2}8 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left| {x - 5} \right|} \right] = {\log _2}8\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left| {x - 5} \right| = 8\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 5\\\left( {x + 2} \right)\left( {5 - x} \right) = 8\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\] thỏa mãn \[\left( * \right)\].

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \[6 + \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} + \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} = 9\].

Đáp án: \(9\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

\[AD = 3 \Leftrightarrow 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 3 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Chọn \[A\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};3} \right);B\left( {\frac{{2\pi }}{3};3} \right);C\left( {\frac{{2\pi }}{3};0} \right);D\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};0} \right)\].

Khi đó, \[AB = \frac{{4\pi }}{3};AD = 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4\pi \,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) \approx 12,6\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Đáp án: \(12,6\).

Ta có \[{3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} \cdot {2^{{x^2}}}} \right) > {\log _2}1 \Leftrightarrow {\log _2}{3^x} + {\log _2}{2^{{x^2}}} > 0\]

\[ \Leftrightarrow x{\log _2}3 + {x^2}{\log _2}2 > 0 \Leftrightarrow x{\log _2}3 + {x^2} > 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - {\log _2}3\end{array} \right.\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - {{\log }_2}3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(x \in \left( { - 2\,022\,;\,\,2\,022} \right),\,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2\,021;\, - 2\,020\,;\,...;\, - 2;\,1\,;\,2\,;\,...;\,2\,021} \right\}\).

Vậy có \(4\,041\) số thỏa mãn.

Đáp án: \(4\,041\).

Ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 1} \ge 2 - 4x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge 1 - 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x \ge 0\\{x^2} + 1 \ge {\left( {1 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\3{x^2} - 4x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 0\).

Mà \(x \in \left( { - 2024;2025} \right),\,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,...;\,2024} \right\}\).

Đáp án: \(2\,025\).

Ta thấy \(2{x^4} + 2025 > 0\;\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó bất phương trình \({\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^4} + mx + m + 2025 \ge 2{x^4} + 2025 \Leftrightarrow mx + m \ge 0\).

Bất phương trình \({\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(mx + m \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Đáp án: \(1\).