Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 1)
22 câu hỏi
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tổng các nghiệm của phương trình \[\sin x = \sin \frac{\pi }{6}\] trên \[\left[ {0;\pi } \right]\] bằng
\(2\pi \).
\(\pi \).
\(\frac{\pi }{3}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
Ta có \[\sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
Vì \[x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{5\pi }}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi \]. Chọn B.
Có mấy giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \[\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026\] có nghiệm?
\(2026\).
\(2025\).
\(3\).
\(0\).
Phương trình \[\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026\]\( \Leftrightarrow \sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) = m + 2026\).
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m + 2026 \le 1 \Leftrightarrow - 2027 \le m \le - 2025\).
Vậy có \(3\) số nguyên \(m\) thỏa mãn. Chọn C.
Trong khoảng \(\left( {0\,;\,2\pi } \right)\), phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm?
\(1.\)
\(4.\)
\(3.\)
\(2.\)
Ta có\(\sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{{3\pi }}{4} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
Vì\({\rm{ }}x \in \left( {0\,;\,2\pi } \right){\rm{ n\^e n }}x \in \left\{ {\pi \,;\,\frac{\pi }{2};\,\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}\).
Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,2\pi } \right)\). Chọn B.
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x + \sin 2x = 0\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\) là
\(4\pi \).
\(5\pi \).
\(3\pi \).
\(2\pi \).
Ta có \(\sin x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \sin x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - x} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - x + k2\pi \\2x = \pi + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}.\]
Trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\) phương trình có các nghiệm \[0,\,\frac{{2\pi }}{3},\,\frac{{4\pi }}{3},\,2\pi ,\,\pi \].
Suy ra tổng các nghiệm là \[5\pi .\]Chọn B.
Giải phương trình \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}}\) ta được
\(x = \frac{{11}}{8}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = \frac{1}{8}\).
\(x = \frac{8}{{11}}\).
Ta có \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow {2^{2x - 2}} = {2^{9 - 6x}} \Leftrightarrow 2x - 2 = 9 - 6x\)\( \Leftrightarrow 8x = 11\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\). Chọn A.
Số nghiệm thực của phương trình \[{3^{{x^2} + 1}} = 9\] là
\[1\].
\[2\].
\[0\].
\[3\].
Ta có \[{3^{{x^2} + 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 1}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\].Chọn B.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0\] bằng
\[\frac{{17}}{2}\].
\[9\].
\[8\].
\[\frac{{19}}{2}\].
Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\x > \frac{6}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{6}{7} < x \ne 1\,\,\left( * \right)\].
Phương trình \[\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 2 = 0\,\\{\log _x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0\end{array} \right.\,\].
+ Phương trình \[2{x^2} - 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]. Kết hợp với điều kiện \[\left( * \right) \Rightarrow x = 2\].
+ Phương trình \[{\log _x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 7x - 6 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\].
Kết hợp với điều kiện \[\left( * \right) \Rightarrow x = 6\].
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \[x = 2;\,\,x = 6\] suy ra tổng các nghiệm bằng \[8\]. Chọn C.
Tổng các nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {5x - {x^2}} \right) = 2\] bằng
\(4\).
\(5\).
\(3\).
\(1\).
Ta có log25x−x2=2⇔5x−x2>05x−x2=4⇔0<x<5x=1x=4⇒1+4=5 Chọn B.
Phương trình \[{\log _3}\left( {3x - 1} \right) = 2\] có nghiệm là
\(x = \frac{3}{{10}}\).
\(x = 3\).
\(x = \frac{{10}}{3}\).
\(x = 1\).
Ta có \[{\log _3}\left( {3x - 1} \right) = 2\]\[ \Leftrightarrow 3x - 1 = 9\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{{10}}{3}\].Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}\) là
\(\left[ { - 2;4} \right]\).
\(\left[ { - 4;2} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Ta có \({5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - 2;4} \right]\).Chọn A.
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x - 1}}\) là
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Ta có\({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^x} + 2 \cdot {2^x} \le {3^x} + \frac{1}{3}{3^x} \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} \le \frac{4}{3} \cdot {3^x}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{2^x}}}{{{3^x}}} \le \frac{4}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \Rightarrow x \ge 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {2; + \infty } \right)\). Chọn D.
Giải bất phương trình \({\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\) ta được tập nghiệm là
\[\left( { - \infty ;2} \right)\].
\(\left( { - \infty ; - 30} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 30} \right]\).
\[\left( { - 30;2} \right)\].
Điều kiện \(4 - 2x > 0\)\( \Leftrightarrow x < 2\).
Ta có \({\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 - 2x \ge {8^2} \Leftrightarrow 4 - 2x \ge 64 \Leftrightarrow 2x \le - 60 \Leftrightarrow x \le - 30\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 30} \right]\). Chọn C.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình \(\tan x = \sqrt 3 .\)
a) Điều kiện xác định của phương trình\(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) \(x = \frac{\pi }{3}\) là một nghiệm của phương trình.
c) Tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
d) Phương trình có hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
Điều kiện xác định của phương trình: \(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \(\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vì\(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{4\pi }}{3}} \right\}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Cho phương trình lượng giác \(2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0\).
a) Phương trình có nghiệm \[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\].
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{{2\pi }}{9}\).
c) Trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), phương trình đã cho có 3 nghiệm.
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{9}\).
Ta có \(2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\].
Dựa vào công thức nghiệm, ta có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{{2\pi }}{9}.\)
Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Tổng 2 nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{9}.\)
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Cho phương trình \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9\).
a) Điều kiện xác định của phương trình là \[x \in \mathbb{R}\].
b) Phương trình ban đầu tương đương với phương trình \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^{ - 2}}\).
c) Tập nghiệm của phương trình ban đầu là \[T = \left\{ {1\,;\,3} \right\}\].
d) Số các tập con khác tập rỗng của tập nghiệm của phương trình đã cho là 4.
Tập xác định của phương trình là \(\mathbb{R}\).
Ta có \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9\)\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {1\,;\,3} \right\}\).
Số các tập con khác tập rỗng của tập nghiệm của phương trình đã cho là \({2^2} - 1 = 3\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Cho bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\), với \(m\) là tham số.
a) Với \(m = 2\), điều kiện xác định của bất phương trình là \(1 \le x \le 4\).
b) Với \(m = 2\) thì \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình trên.
c) Với \(m = 5\), tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {3\,;\,4} \right)\).
d) Có \(8\) giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình trên có nghiệm.
a)Với \(m = 2\), bất phương trình trở thành \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\).
Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\4 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 4\]. Suy ra mệnh đề sai.
b) Với \(m = 2\), bất phương trình trở thành \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\).
Với \(x = 2\), ta thấy: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _2}2 = 0\).
Suy ra mệnh đề đúng.
c) Với \(m = 5\), bất phương trình trở thành \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - 5} \right)\)\( \Leftrightarrow 0 < 4 - x \le 2x - 5\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\3x \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le x < 4\).
Suy ra mệnh đề đúng.
d) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - m} \right)\)
\( \Leftrightarrow 0 < 4 - x \le 2x - m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x \ge \frac{{m + 4}}{3}\end{array} \right.\).
Để bất phương trình có nghiệm thì \(\frac{{m + 4}}{3} < 4 \Leftrightarrow m < 8\).
Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}\).
Vậy có \(7\) giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn. Suy ra mệnh đề sai.
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {{\rm{cos}}\,x} \right) = 0\) trên đoạn \(\left[ {1\,;\,2021} \right]\).
Ta có \(\sin \left( {{\rm{cos}}x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà −1≤cosx≤1⇒−1≤kπ≤1⇔−1π≤k≤1π→k∈ℤk=0.
⇒cosx=0⇔x=π2+mπ m∈ℤ→x∈1; 20211π−12≤m≤2021π−12
→m∈ℤm∈0 ; 1 ; 2 ; ... ; 642 \( \Rightarrow \)có \(643\) nghiệm thỏa mãn bài toán.
Đáp án:\(643\).
Biết rằng phương trình \[\tan x + \sqrt 3 = 0\] có nghiệm \(x = - \frac{{a\pi }}{b} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(2a + 3b\).
Điều kiện: \[x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Phương trình tanx+3=0⇔tanx=−3⇔tanx=tan−π3⇔x=−π3+kπ,k∈ℤ
⇒a=1b=3⇒2a+3b=11
Đáp án:\(11\).
Tổng các nghiệm của phương trình \({5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) là \(a\pi .\,\)Tính \(a + 2025.\)
Ta có \({5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow {5^{2\sin x}} = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) nênta có \(0\, \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi < 100\pi \Leftrightarrow 1 \le k \le 50,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) là \(\frac{{3\pi }}{2};\,\frac{{7\pi }}{2};\,\frac{{11\pi }}{2};\,...\,;\frac{{199\pi }}{2}\,\), các nghiệm này lập thành một cấp số cộng có \({u_1} = \frac{{3\pi }}{2};\,{u_{50}} = \frac{{199\pi }}{2}.\,\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \(S = \frac{{50}}{2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{{199\pi }}{2}} \right) = 2525\pi \, \Rightarrow \,a + 2025 = 4550.\)
Đáp án:\(4550\).
Gọi \[S\] là tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 \). Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \[S\].
Ta có\({2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2{x^2} - 12x - 5}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^9}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x - 5 = 9 \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x - 14 = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 1;7} \right\}\).
Vậy \[S = \left\{ { - 1;7} \right\}\]. Tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \[S\] là \[{\left( { - 1} \right)^2} + {7^2} = 50\].
Đáp án:\(50\).
Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \(4 \cdot \,3{\,^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + 9 \cdot {4^{\log \left( {10x} \right)}} = 13 \cdot \,{6^{1 + \log x}}\).
ĐKXĐ: \(x > 0\).
Đặt \(t = \log x\), phương trình đã cho trở thành\(\,\,4 \cdot \,3{\,^{2 + 2t}} + 9 \cdot \,{4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}\)
\( \Leftrightarrow \,\,4 \cdot 9{\,^{1 + t}} + 9 \cdot {4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}\)\[ \Leftrightarrow \,\,4 \cdot \,{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{1 + t}} + 9 - 13 \cdot \,{\left( {\frac{6}{4}} \right)^{1 + t}} = 0\].
Đặt \(u = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}}\), \(u > 0\), ta được \(4{u^2} - 13u + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \,u = 1\,;\,u = \frac{9}{4}\) (nhận).
Với \(u = 1 \Leftrightarrow \,{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = 1\)\( \Leftrightarrow \,\,t = - 1\,\, \Leftrightarrow \,\log \,x\, = - 1\, \Leftrightarrow x = \frac{1}{{10}}\) (thỏa mãn).
Với \(u = \frac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow t\, = 1\,\)\( \Leftrightarrow \,\,\log x = 1 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn).
Vậy tích hai nghiệm bằng \(1\).
Đáp án:\(1\).
Một công ty sản xuất điện thoại di động phát hiện số lượng sản phẩm bán ra có thể được mô tả bằng công thức \(N\left( t \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {kt + 1} \right)\) (với \(t \ge 0\), \(k\) là hằng số dương), trong đó \(N\left( t \right)\) là số lượng điện thoại bán được (chiếc) sau \(t\) tháng kể từ khi phát hành sản phẩm. Biết sau tháng thứ nhất công ty bán được \(1\,000\) chiếc, sau tháng thứ 5 công ty bán được \(2\,000\) chiếc. Hỏi sau bao nhiêu tháng công ty bán được \[3\,000\] chiếc điện thoại di động.
Ta có \(N\left( 1 \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right) \Leftrightarrow A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right) = 1000\) (1).
\(N\left( 5 \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right) \Leftrightarrow A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right) = 2000\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right)}}{{A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\left( {k + 1} \right)^2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {k + 1} \right)^2} = 5k + 1 \Leftrightarrow {k^2} - 3k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 0\,\,(l)\end{array} \right.\).
Thay \(k = 3\) vào (1) ta có \(A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3 + 1} \right) = 1000 \Leftrightarrow A = 500\).
Do đó \(N\left( t \right) = 500 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right)\).
Công ty bán được \[3000\] chiếc điện thoại di động khi \[N\left( t \right) = 3000\]
\[ \Leftrightarrow 500 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right) = 3000 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right) = 6 \Leftrightarrow 3t + 1 = {2^6} \Leftrightarrow t = 21\] (tháng).
Đáp án:\(21\).
