Đề ôn luyện Toán Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số (đề số 2)

Đồ thị hàm số \(y\, = \,f\left( x \right)\) đi xuống từ trái qua phải và nhận đường thẳng \(x\, = \,1\) làm tiệm cận đứng.

Do đó, hàm số \(y\, = \,f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Chọn C.

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(x = 6\). Chọn D.

Dựa vào đồ thị ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Vậy phương án C sai. Chọn C.

Ta có \[y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\].

Hàm số đồng biến khi \(y' > 0\)\( \Leftrightarrow 0 < x < 2\). Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \[M\left( {1\,;\, - 2} \right)\]. Chọn C.

Từ đồ thị ta thấy\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 1\). Chọn B.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + 2x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2\).

Nên \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.Chọn D.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng: \(y = ax + b\).

Trong đó, \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{{x^2} + x}} = 1\);

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 3}}{{x + 1}} = - 3\).

Ta cũng có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = - 3.\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 3.\)Chọn A.

Xét dáng hình của đồ thị, ta loại được hàm số \[y = {x^2} - 4\] và \[y = - {x^2} - 4\].

Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \] nên ta loại hàm số \[y = {x^3} - 4\] và nhận hàm số \[y = - {x^3} + 3{x^2} - 4.\] Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left( { - 1; + \infty } \right)} y = f\left( 0 \right)\]. Chọn D.

Tiệm cận ngang: \[y = \frac{a}{c} = - 1\]; tiệm cận đứng: \[x = \frac{1}{c} = 1\].

Từ đây suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.\] mà đồ thị lại cắt trục hoành tại \[x = 2\] nên \[2a + b = 0\] hay \[b = - 2a = 2.\]

Vậy \[S = a + b + c = - 1 + 2 + 1 = 2.\]Chọn C.

Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = - 2\). Suy ra \( - \frac{2}{c} = - 2 \Leftrightarrow c = 1\).

Đồ thị có tiệm cận xiên đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\) nên có phương trình:

\(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{1} = 1 \Leftrightarrow y = x + 1\).

Khi đó ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 1 \Leftrightarrow a = 1\];

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + bx + 1}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {b - 2} \right)x + 1}}{{x + 2}} = b - 2 = 1 \Leftrightarrow b = 3\].

Vậy \(T = 2a + 3b - c = 2 + 9 - 1 = 10\). Chọn B.

a) Đúng. Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 6 \cdot \frac{1}{{x + 2}} = x + 1 - \frac{6}{{x + 2}}\).

b) Sai. Ta có

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x + 1 - \frac{6}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 6}}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Mà \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) nên \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) Đúng. Ta có \(f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 1 - 6{\rm{ln}}\left( { - 1 + 2} \right) = \frac{{ - 1}}{2};\)

\(f\left( 2 \right) = \frac{1}{2} \cdot {2^2} + 2 - 6{\rm{ln}}\left( {2 + 2} \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2\).

d) Sai. Có \(f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) - 6{\rm{ln}}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2} + 2} \right) \approx - 5,05\).

Mà \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 1}}{2} = - 0,5;f\left( 2 \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2 \approx - 4,32\).

a) Sai. Nếu \[y\] là hàm số biểu thị cho chuyển động của hạt thì \[y'\] là hàm vận tốc \(v\).

b) Đúng. Ta có \[y = {t^3} - 12t + 3 \Rightarrow v = y' = 3{t^2} - 12\].

c) Sai. Dựa vào hàm vận tốc \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 12\] thì hạt đi lên khi \(v > 0\) và xuống khi \(v < 0\).

Do đó, vật đi lên khi \(t \in \left( {2; + \infty } \right)\) và đi xuống khi \(t \in \left( {0;2} \right)\).

Vậy tại thời điểm \[t = 1\] thì hạt đang chuyển động đi xuống.

d) Đúng. Từ \[t = 0\] tới \[t = 2\], vật chuyển động từ tọa độ \[y = 3\] đến tọa độ \[y = - 13\], tức là vật đi được quãng đường \[16\] đơn vị độ dài, tương ứng 16 m.

Từ \[t = 2\] tới \[t = 3\], vật chuyển động từ tọa độ \[y = - 13\] đến tọa độ \[y = - 6\], tức là vật đi được quãng đường \[7\] đơn vị độ dài, tương ứng 7 m.

Kết luận quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian \[0 \le t \le 3\] là \[23\] m.

a)  Đúng. Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là

\(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\)triệu đồng.

b) Sai.Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là

\(R\left( {10} \right) = 10 \cdot P\left( {10} \right) = 10 \cdot \left( {45 - 0,001 \cdot {{10}^2}} \right) = 449\) triệu đồng.

c) Đúng.Lợi nhuận mà \(A\) thu được là:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)\)

\( = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

d) Đúng. Xét hàm số \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\), \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\)

Ta có: \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Rightarrow x = 50\sqrt 2 \) (chọn).

Khi đó: \(H\left( 0 \right) = - 100\); \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\]; \(H\left( {100} \right) = 400\).

Vậy \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(50\sqrt 2 \approx 70,7\) tấn sản phẩmmỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\] (triệu đồng).

a) Đúng. Có \[AG = x \Rightarrow BG = 100 - x\] với \[0 \le x \le 100\].

Xét tam giác \[CBG\] vuông tại \[B\] có \[CG = \sqrt {C{B^2} + B{G^2}} = \sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} \].

Khi \[x = 20\,{\rm{km}} \Rightarrow CG = 100\,{\rm{km}}\].

b) Đúng. Chi phí tiền mắc điện là \[f\left( x \right) = 3000x + 5000 \cdot \sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} \]

Khi \[x = 20\,{\rm{km}} \Rightarrow CG = 100\,{\rm{km}}\] và tổng chi phí mắc điện là \[T = f\left( {20} \right) = 560000\,{\rm{USD}}\].

c) Sai. Để chi phí mắc điện ít nhất thì \[f\left( x \right)\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \[f'\left( x \right) = 3000 - 5000\frac{{\left( {100 - x} \right)}}{{\sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} }}\].

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3000 = 5000\frac{{\left( {100 - x} \right)}}{{\sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 55\\x = 145\,\,{\rm{(loai)}}\end{array} \right.\].

Ta có \[f\left( 0 \right) = 583\,095,1895\,\,{\rm{USD; }}f\left( {55} \right) = 540\,000\,\,{\rm{USD;}}\,f\left( {100} \right) = 600\,000\,\,{\rm{USD}}\].

Vậy chi phí mắc điện nhỏ nhất khi \[x = 55\,{\rm{km}}\].

d) Đúng. Chi phí mắc điện nhỏ nhất là \[f\left( {55} \right) = 540\,000\,\,{\rm{USD}}\].

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1} \)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{2\sqrt {x + 1} }}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = - 1\,;\,f\left( 3 \right) = - \frac{1}{2}\) và hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Vậy \(M = - \frac{1}{2};\,m = - 1 \Rightarrow S = 2M - m = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 1 = 0\).

Đáp án: 0.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là \(1\). Vì dựa vào đồ thị của \(f'\left( x \right)\) ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu một lần từ âm sang dương nên hàm số đã cho có một cực trị (một cực tiểu).

Đáp án: 1.

Ta có \(f\left( x \right) = 5x - 1 + \frac{8}{{x - 1}}\) nên đồ thị hàm số nhận hai đường thẳng \(x = 1\) và \(y = 5x - 1\) tương ứng là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Suy ra \(a = 1,\,\,b = 4 \Rightarrow C = 1 + 3 \cdot 4 = 13\).

Đáp án: 13.

Tổng khối lượng của NaOH sau khi trộn \[x\](ml) là: \[25 \cdot 100 + 9x = 2500 + 9x\](mg).

Tổng thể tích của dung dịch sau khi trộn là: \[25 + x\]\[ \Rightarrow C\left( x \right) = \frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}}\] với \[x \ge 0\].

Tập xác định là \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\] có \[C'\left( x \right) = \frac{{9 \cdot \left( {25 + x} \right) - (2500 + 9x)}}{{{{\left( {25 + x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2275}}{{{{\left( {25 + x} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\].

Lại có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2500}}{x} + 9}}{{\frac{{25}}{x} + 1}} = 9\].

Do đó nồng độ NaOH luôn giảm nhưng luôn lớn hơn \[9\]mg/ml.

Đáp án: 9.

Điều kiện: \(x \in \left[ {0;\,15} \right]\) (vì độ giảm huyết áp không thể là số âm).

Có .

\(G\left( 0 \right) = 0;\,G\left( {10} \right) = \frac{{35}}{2};\,G\left( {15} \right) = 0\).

Vậy huyết áp bệnh nhân giảm nhiều nhất khi tiêm cho bệnh nhân liều \(x = 10\) miligam.

Đáp án: 10.

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là \(MNPQ\) có \(OP = x\)\[\left( {0 < x < 4} \right)\], \(ON = 4\).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \[S = MN \cdot NP\]\[ = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \]trên \[\left( {0;\,4} \right)\].

Ta có \(f'\left( x \right) = 2\sqrt {16 - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)\( = \frac{{ - 4{x^2} + 32}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 \in \left( {0;\,4} \right)\\x = - 2\sqrt 2 \notin \left( {0;\,4} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\,4} \right)} f\left( x \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 16\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được là \(16\,{\rm{(d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: 16.