Đề ôn luyện Toán Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số (đề số 1)

Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\). Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng \(0\). Chọn C.

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right) \supset \left( {2;3} \right)\). Chọn A.

Ta có \[M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 3\] và \(m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).

Vậy \(M + m = 3\). Chọn A.

Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{5x + 1}}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{5}} \right\}\).

Ta có .

Vậy đường thẳng \(x = - \frac{1}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{5x + 1}}\). Chọn B.

Lưu ý: Đối với hàm số phân thức bậc nhất chia bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)\(\left( {a \ne 0,c \ne 0,ad - bc \ne 0} \right)\) thì ta có thể kết luận ngay đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}\). Như vậy, trong bài tập trên ta có thể chọn ngay phương án B mà không cần tính giới hạn.

Hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 3\] xác định và liên tục trên \[\left[ {0;3} \right]\].

Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x\], \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\], \[f\left( 0 \right) = 3\], \[f\left( 2 \right) = - 1\], \[f\left( 3 \right) = 3\].

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \[3\]. Chọn C.

Thấy đồ thị hàm số có hai tiệm cận \(x = \alpha ;y = \beta \) nên hàm số có dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) mà đồ thị hàm số cắt \[Ox\] tại điểm có hoành độ dương, như vậy chỉ có đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) thỏa mãn.

Chọn B.

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 2}} = x - \frac{2}{{x + 2}}\).

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 2}}\). Chọn D.

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) và có đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Giải phương trình:\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 2\,;\, - 2} \right)\). Chọn C.

Từ đồ thị ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\\n = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M + n = 1.\) Chọn C.

Nhìn bảng biến thiên ta thấy tại \(x = 0\) hàm số không xác định nên \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3 \Rightarrow y = 3\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow y = 1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Chọn B.

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy đồ thị có hai đường tiệm cận, trong đó tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{b} = - 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right.\) ⇒ bc<0ab>0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b > 0,c < 0,a > 0\\b < 0,c > 0,a < 0\end{array} \right.\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\end{array}\).

Lại có hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên \(f'\left( x \right) = \frac{{ - ac + 6b}}{{{{\left( {bx - c} \right)}^2}}} < 0\)\( \Rightarrow ac > 6b\).

Ta thấy \(\left( 1 \right)\) không thể xảy ra do nếu \(b > 0\) thì \(ac > 6b > 0\) mâu thuẫn do \(c < 0,a > 0\).

Ta thấy \(\left( 2 \right)\) có thể xảy ra do nếu \(c > 0,a < 0\) thì \(6b < ac < 0\).

Vậy trong các số \(a,b,c\) có hai số âm. Chọn C.

a) Đúng.  Hàm số \(f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại \(x = - 2\) và \(x = 2\).

b) Sai. Hàm số \(f\left( x \right)\) chỉ có 1 điểm cực trị tại x = 0 

c) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng đạt được tại x = 0.

d) Sai. Ta thấy hàm số f(x) ≤  2, ∀ x ∈ R và có xảy ra dấu bằng  nên hàm số f (x) có giá trị lớn nhất.

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

a) Đúng. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng\(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).

b) Đúng. Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm \(\left( { - 1\,;\,2} \right)\).

c) Đúng. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,y = - \infty \)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\).

d) Sai. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\left[ {y - \left( {x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\frac{4}{{x - 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\).

a) Đúng.Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\)km là: \(\frac{1}{{10}}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{{10}} \cdot 480000 = 48000\) (đồng).

b) Sai.Gọi \(x\)(km/h) là vận tốc của tàu, \(x > 0\).

Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\)km là: \(\frac{1}{x}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\)(nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).

Khi \(x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03\) nên \(p = 0,03{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần 2 để chạy \(1\)km là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,03{x^3} = 0,03{x^2}\)(nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

c) Đúng.Tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

Thay \(x = v = 30\)(km/giờ) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,03 \cdot {30^2} = 43\)(nghìn đồng).

d) Đúng.\(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2} = \frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{x} + 0,03{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{1728}} = 36.\)

Dấu  “=” xảy ra khi \(x = 20\). Khi đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = 36\) tại \(x = 20\).

Vậy vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\)km đường sông nhỏ nhất là \(v = 20\)(km/giờ).

a) Sai. Ta có \(V'\left( t \right) = 300\left( {2t - 3{t^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\\t = \frac{2}{3} \notin \left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\).

Vậy phương trình \(V'\left( t \right) = 0\) có một nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\).

b) Sai. Với \(t = 0 \Rightarrow V\left( t \right) = 4,5\). Vậy lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là \(4,5\) lít.

c) Sai. Ta có \(V''\left( t \right) = 300\left( {2 - 6t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(V'\left( t \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(V'\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = \frac{1}{3}\)(phút)\( = 20\)(giây).

d) Đúng. Ta có \(t = 30\)(giây) \( = \frac{1}{2}\)(phút).

Thể tích xăng sau khi bơm thêm 30 giây vào bình là \(V\left( {\frac{1}{2}} \right) - 4,5 = 300\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3}} \right) = 37,5\).

Số tiền người mua phải trả là \(37,5 \cdot 21000 = 787\,500\) đồng.

Hàm số đã cho có tập xác định là \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\].

Ta có \[y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]với \[x \ne - 1\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\end{array} \right.\].

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Giá trị cực đại của hàm số bằng \[ - 5\], giá trị cực tiểu của hàm số bằng \[3\].

Vậy \[P = {m^3} + {n^3} = {\left( { - 5} \right)^3} + {3^3} = - 98\].

Đáp án: −98.

Ta có \(y = f\left( x \right) = 4x - 3 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Do đó, đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là \(y = 4x - 3\).

Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4x - 3 + \frac{1}{{x - 2}}} \right) = + \infty \) do đó \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\).

Ta có tâm đối xứng của đồ thị hàm số trên là giao điểm của \(y = 4x - 3\) và \(x = 2\); vậy ta được \(I\left( {2;5} \right)\). Suy ra \(a - 3b = 2 - 3 \cdot 5 = - 13\).

Đáp án: −13.

Chi phí sản xuất mỗi chiếc vợt cầu lông là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{5x + 1}}{x}} \right) = 5\).

Vậy cho đến nay, chi phí sản xuất mỗi chiếc vợt cầu lông là \(5\) nghìn đồng.

Đáp án: 5.

Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập x chiếc điện thoại là \(f\left( x \right) = x\left( {6000 - 3x} \right)\) (nghìn đồng).

Ta có \(f'\left( x \right) = - 6x + 6000\). Khi đó, \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1000\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\)là:

Vậy đại lí nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với 3 000 000 (nghìn đồng).

Đáp án: 1000.

Thể tích của hộp sữa là: \[V = {x^2}h\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].

Theo bài ra, ta có:\[V = 1\,\,\left( l \right) = 1000\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right) \Rightarrow {x^2}h = 1000 \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\].

Ta có diện tích toàn phần của hộp sữa là:

\[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 4hx + 2{x^2} = 4 \cdot \frac{{1000}}{{{x^2}}} \cdot x + 2{x^2} = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].

Đặt \[y = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x} \Rightarrow y' = 4x - \frac{{4000}}{{{x^2}}}\].

Xét \[y' = 0 \Leftrightarrow 4x - \frac{{4000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4000 = 0 \Leftrightarrow x = 10\].

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để hộp sữa có diện tích toàn phần nhỏ nhất thì \[x = 10\].

Đáp án:10.

Đặt \[HE = x,FK = y\], với \[x,\,y > 0\].

Ta có \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].

Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.

Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f\left( x \right)\].

\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }},\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\].

Cho \[f'(x) = 0 \Rightarrow x = 8\].

Bảng biến thiên:

Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16} \approx 8,94\,\,{\rm{(km)}}\).

Đáp án: 8,94.